教育部105年公費留學考試
科目:微積分
解:
假設x為每週賣出藍光播放器的數量,則每週的售量增加數為x−200;
每週多賣20台,每台售價就減少10元;因此售價為350−(x−200)×1020=450−x2,收入為f(x)=x(450−x2)=450x−x22;
當f′(x)=0⇒450−x=0⇒x=450,即售價為450−4502=225時,rebate(折扣) 為350−225=125時,有最大收入。
解:
(a)letg(t)=√1+t2andddtG(t)=g(t)F(x)=G(x2)−G(x)⇒F′(x)=2xg(x2)−g(x)=2x√1+x2−√1+x2⇒F′(1)=2√2−√2=√2(b)G(x)=∫x1√t2+3dt⇒{G(1)=0G′(x)=√x2+3⇒{G−1(0)=1G′(x)=√x2+3(G−1)′(0)=ddxG−1(0)=1G′(G−1(0))=1G′(1)=1√1+3=12(c)limx→0+x2∫1xcostt3dt=limx→0+−∫x1costt3dtx−2=limx→0+−cosxx3−2x−3=limx→0+cosx2=12(d)∫n+111√n+xdx<n∑k=11√n+k<∫n01√n+xdx⇒2(√2n+1−√n+1)<n∑k=11√n+k<2√n(√2−1)⇒2√n(√2n+1−√n+1)<1√nn∑k=11√n+k<2√n√n(√2−1)⇒2(√2+1n−√1+1n)<1√nn∑k=11√n+k<2(√2−1)⇒2(√2−1)<limn→∞(1√nn∑k=11√n+k)<2(√2−1)⇒limn→∞(1√nn∑k=11√n+k)=2(√2−1)⇒limn→∞(1√n√n+1+1√n√n+2+⋯+1√n√n+n)=2(√2−1)
解:
an=xn1+1/2+1/3+⋯+1/n⇒|an+1an|=|x|(1+1/2+1/3+⋯+1/n1+1/2+1/3+⋯+1/(n+1))⇒limn→∞|an+1an|=|x|⇒interval of convergence:−1<x<1
解:
{u=y−xv=y+x⇒{x=(v−u)/2y=(v+u)/2⇒J=|xuyuxvyv|=|−1/21/21/21/2|=−12
R={1≤x+y≤20≤x0≤y⇒{1≤v≤20≤v−u20≤v+u2⇒{1≤v≤2u≤v−v≤u⇒{1≤v≤2−v≤u≤v∬Rcos(y−xy+x)dA=−12∫21∫v−vcosuvdudv=−12∫21[vsinuv]|v−vdv=−12∫212vsin1dv=−sin1∫21vdv=−sin1[12v2]|21=−sin1(2−12)=−32sin1
證:I=∫∞−∞e−x2dx⇒I2=∫∞−∞e−x2dx∫∞−∞e−x2dx=∫∞−∞e−x2dx∫∞−∞e−y2dy=∫∞−∞∫∞−∞e−(x2+y2)dydx{x=rcosθy=rsinθ⇒I2=∫2π0∫∞0re−r2drdθ=−12∫2π0[e−r2]|∞0dθ=12∫2π01dθ=12×2π=π⇒I=√π⇒∫∞−∞e−x2dx≥√π
未公布標準答案,解題僅供參考
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