103年專科學力鑑定考試--工程數學詳解

103年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試

專業科目(一)：工程數學 詳解

解： $$AB=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right] =\begin{bmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 2\times 3 & 2\times 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 & -4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}，故選：\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\because L\left\{ f\left( t \right)  \right\} =F\left( s \right) \Rightarrow L\left\{ { e }^{ at }f\left( t \right)  \right\} =F\left( s-a \right) \\ \therefore L\left\{ f\left( t \right)  \right\} =\frac { 1-{ e }^{ -s } }{ s } \Rightarrow L\left\{ { e }^{ 2t }f\left( t \right)  \right\} =F\left( s-2 \right) =\frac { 1-{ e }^{ -\left( s-2 \right)  } }{ s-2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$\frac { d }{ dy } \left( x^{ 2 }+6xy+2y^{ 2 }+1 \right) =6x+4y=\frac { d }{ dx } \left( 3x^{ 2 }+4xy+4y^{ 2 }+1 \right)  ， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} \vec { u } =\vec { i } -\vec { j } -2\vec { k }  \\ \vec { v } =2\vec { i } +\vec { j }  \end{cases}\Rightarrow \vec { w } =2\vec { u } -\vec { v } =-3\vec { j } -4\vec { k } \Rightarrow \frac { \vec { w }  }{ \left| \vec { w }  \right|  } =-\frac { 3 }{ 5 } \vec { j } -\frac { 4 }{ 5 } \vec { k } ， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$2xy'=3y\Rightarrow y'-\frac { 3 }{ 2x } y=0\Rightarrow a\left( x \right) ={ e }^{ \int { -\frac { 3 }{ 2x }  } dx }={ x }^{ -\frac { 3 }{ 2 }  }\\ \Rightarrow a\left( x \right) \left( y'-\frac { 3 }{ 2x } y \right) =0\Rightarrow { x }^{ -\frac { 3 }{ 2 }  }y'-\frac { 3 }{ 2 } { x }^{ -\frac { 5 }{ 2 }  }y=0\Rightarrow \left( { x }^{ -\frac { 3 }{ 2 }  }y \right) '=0\Rightarrow y={ Cx }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }\\ y\left( 1 \right) =4\Rightarrow C=4\Rightarrow y={ 4x }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }\Rightarrow y\left( 4 \right) =4\cdot { 2 }^{ 3 }=32， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$b_{ 3 }=\frac { 1 }{ 2 } \int _{ -2 }^{ 2 }{ f\left( x \right) \sin { \frac { 3\pi x }{ 2 } } dx } =\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ 2 }{ \sin { \frac { 3\pi x }{ 2 } } dx } =\frac { 1 }{ 2 } \left. \left[ -\frac { 2 }{ 3\pi } \cos { \frac { 3\pi x }{ 2 } } \right] \right| _{ 0 }^{ 2 }\\ =\frac { 1 }{ 2 } \times \left( -\frac { 2 }{ 3\pi } \right) \times \left( -2 \right) =\frac { 2 }{ 3\pi }，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$g\left( x \right) =\frac { e^{ x }+e^{ -x } }{ 2 } \Rightarrow g\left( x \right) =g\left( -x \right) \Rightarrow \frac { e^{ x }+e^{ -x } }{ 2 } 為偶函數\Rightarrow 1+\frac { e^{ x }+e^{ -x } }{ 2 } 為偶函數\\ g\left( x \right) =\frac { e^{ x }-e^{ -x } }{ 2 } \Rightarrow g\left( -x \right) =\frac { e^{ -x }-e^{ x } }{ 2 } =-g\left( x \right) \Rightarrow \frac { e^{ x }-e^{ -x } }{ 2 } 為奇函數\\ e^{ x }不是奇函數,也不是偶函數， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\left( \vec { a } +3\vec { b }  \right) \cdot \left( \vec { a } +3\vec { b }  \right) ={ \left| \vec { a }  \right|  }^{ 2 }+6\vec { a } \cdot \vec { b } +9{ \left| \vec { b }  \right|  }^{ 2 }=5^{ 2 }+6\vec { a } \cdot \vec { b } +9\cdot 4^{ 2 }=13^{ 2 }\\ \Rightarrow \vec { a } \cdot \vec { b } =0=\left| \vec { a }  \right| \left| \vec { b }  \right| \cos { \theta  } \Rightarrow \cos { \theta  } =0\Rightarrow \theta =90°，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$C=A+B=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{matrix} \right] \Rightarrow det\left( C \right) =18+3+4-2-9-12\\=2，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\frac { d }{ dy } \left( x^{ m }e^{ nx }\left( 3y+4xy \right) \right) =\frac { d }{ dx } \left( x^{ m }e^{ nx }\left( -2x \right) \right) \Rightarrow x^{ m }e^{ nx }\left( 3+4x \right) =x^{ m }e^{ nx }\left( -2m-2-2nx \right) \\ \Rightarrow \begin{cases} 3=-2m-2 \\ 4=-2n \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m=\frac { -5 }{ 2 } \\ n=-2 \end{cases}\Rightarrow m+n=\frac { -9 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$16y''-8y'+y=0\Rightarrow 16\lambda ^{ 2 }-8\lambda +1=0\Rightarrow (4\lambda -1)^{ 2 }=0\Rightarrow \lambda =\frac { 1 }{ 4 } \\ \Rightarrow y=(A+Bx)e^{ \frac { 1 }{ 4 } x }\Rightarrow y'=Be^{ \frac { 1 }{ 4 } x }+\frac { 1 }{ 4 } (A+Bx)e^{ \frac { 1 }{ 4 } x }=\left( \frac { 1 }{ 4 } A+B+\frac { 1 }{ 4 } Bx \right) e^{ \frac { 1 }{ 4 } x }\\ \Rightarrow \begin{cases} y\left( 1 \right) =4\sqrt [ 4 ]{ e } =4e^{ \frac { 1 }{ 4 }  } \\ y'\left( 1 \right) =2\sqrt [ 4 ]{ e } =2e^{ \frac { 1 }{ 4 }  } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} (A+B)e^{ \frac { 1 }{ 4 }  }=4e^{ \frac { 1 }{ 4 }  } \\ \left( \frac { 1 }{ 4 } A+\frac { 5 }{ 4 } B \right) e^{ \frac { 1 }{ 4 }  }=2e^{ \frac { 1 }{ 4 }  } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A+B=4 \\ A+5B=8 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} A=3 \\ B=1 \end{cases}\Rightarrow y=(3+x)e^{ \frac { 1 }{ 4 } x }\Rightarrow y\left( 0 \right) =3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$y=x^{ m }\Rightarrow 2x^{ 2 }y''-3xy'-3y=2x^{ 2 }m(m-1)x^{ m-2 }-3xmx^{ m-1 }-3x^{ m }=0\\\Rightarrow x^{ m }\left( 2m(m-1)-3m-3 \right) =0 \Rightarrow 2m(m-1)-3m-3=0\Rightarrow 2m^{ 2 }-5m-3=0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$y''+4y'-7y=100\sin { 3t } \Rightarrow y_{ p }=A\cos { 3t } +B\sin { 3t } \\ \Rightarrow \left( -9A\cos { 3t } -9B\sin { 3t }  \right) +4\left( -3A\sin { 3t } +3B\cos { 3t }  \right) -7\left( A\cos { 3t } +B\sin { 3t }  \right) =100\sin { 3t } \\ \Rightarrow \left( -16A+12B \right) \cos { 3t } +\left( -12A-16B \right) \sin { 3t } =100\sin { 3t } \\ \Rightarrow \begin{cases} -16A+12B=0 \\ -12A-16B=100 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 4A=3B \\ 3A+4B+25=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A=-3 \\ B=-4 \end{cases}\Rightarrow y_{ p }=-3\cos { 3t } -4\sin { 3t }\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$a_{ 2 }=\frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ f\left( x \right) \cos { \left( 2x \right)  } dx } =\frac { 1 }{ \pi  } \left( \int _{ -\pi  }^{ 0 }{ \left| \sin { x }  \right| \cos { \left( 2x \right)  } dx } +\int _{ 0 }^{ \pi  }{ \left| \sin { x }  \right| \cos { \left( 2x \right)  } dx }  \right) \\ =\frac { 1 }{ \pi  } \left( \int _{ -\pi  }^{ 0 }{ -\sin { x } \cos { \left( 2x \right)  } dx } +\int _{ 0 }^{ \pi  }{ \sin { x } \cos { \left( 2x \right)  } dx }  \right) \\ =\frac { -1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ 0 }{ \sin { x } \cos { \left( 2x \right)  } dx } +\frac { 1 }{ \pi  } \int _{ 0 }^{ \pi  }{ \sin { x } \cos { \left( 2x \right)  } dx } \\ =\frac { -1 }{ \pi  } \left. \left[ \frac { 2 }{ 3 } \sin { x } \sin { 2x } +\frac { 1 }{ 3 } \cos { x } \cos { 2x }  \right]  \right| _{ -\pi  }^{ 0 }+\frac { 1 }{ \pi  } \left. \left[ \frac { 2 }{ 3 } \sin { x } \sin { 2x } +\frac { 1 }{ 3 } \cos { x } \cos { 2x }  \right]  \right| _{ 0  }^{ \pi }\\ =\frac { -1 }{ \pi  } \times \frac { 2 }{ 3 } +\frac { 1 }{ \pi  } \times \left( \frac { -2 }{ 3 }  \right) =\frac { -4 }{ 3\pi  } ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases} \vec { b } =k\vec { a }  \\ |\vec { b } |=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b_{ 1 }=\frac { 7 }{ 9 } k \\ b_{ 2 }=\frac { 8 }{ 3 } k \\ \sqrt { b_{ 1 }^{ 2 }+b_{ 2 }^{ 2 } } =5 \end{cases}\Rightarrow \frac { 49 }{ 81 } k^{ 2 }+\frac { 64 }{ 9 } k^{ 2 }=25\Rightarrow \frac { 625 }{ 81 } k^{ 2 }=25\\ \Rightarrow k^{ 2 }=\frac { 25\cdot 81 }{ 625 } =\frac { 5^{ 2 }\cdot 9^{ 2 } }{ 25^{ 2 } } \Rightarrow k=\frac { 5\cdot 9 }{ 25 } =\frac { 9 }{ 5 } \Rightarrow b_{ 1 }=\frac { 7 }{ 9 } \cdot \frac { 9 }{ 5 } =\frac { 7 }{ 5 }  ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\vec { a } \times \vec { b } =\left( 1,3,4 \right) \times \left( -2,-7,5 \right) =\left( \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -7 & 5 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 5 & -2 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -7 \end{vmatrix} \right) \\ =\left( 43,-13,-1 \right) =43\vec{i}-13\vec{j}-\vec{k} ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$A=\begin{bmatrix} 101 & 102 \\ 103 & 104 \end{bmatrix}\Rightarrow det(A)=101\times 104-102\times 103=\left( 102.5-1.5 \right) \left( 102.5+1.5 \right) -\left( 102.5-0.5 \right) \left( 102.5+0.5 \right) \\ =\left( 102.5^{ 2 }-1.5^{ 2 } \right) -\left( 102.5^{ 2 }-0.5^{ 2 } \right) =0.5^{ 2 }-1.5^{ 2 }=-2\Rightarrow a=\frac { 104 }{ -2 } =-52，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$A-\lambda I=0\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 2+5 & -2 & 3 \\ -2 & -1+5 & 6 \\ 1 & 2 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 7 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\\ \Rightarrow \begin{cases} x_{ 1 }=-x_{ 3 } \\ x_{ 2 }=-2x_{ 3 } \end{cases}\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =t\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{matrix} \right] ,t\neq 0，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$L^{ -1 }\left\{ \frac { 2s+12 }{ s^{ 2 }+6s+13 }  \right\} =L^{ -1 }\left\{ \frac { 2s+12 }{ \left( s+3 \right) ^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } }  \right\} =L^{ -1 }\left\{ \frac { 2\left( s+3 \right) +3\times 2 }{ \left( s+3 \right) ^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } }  \right\} \\ =2L^{ -1 }\left\{ \frac { s+3 }{ \left( s+3 \right) ^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } }  \right\} +3L^{ -1 }\left\{ \frac { 2 }{ \left( s+3 \right) ^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 } }  \right\} \\ ={ 2e }^{ -3t }\cos { \left( 2t \right)  } +{ 3e }^{ -3t }\sin { \left( 2t \right)  } ={ 3e }^{ -3t }\left( 2\cos { \left( 2t \right)  } +3\sin { \left( 2t \right)  }  \right)  ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s^{ 2 }\left( s+1 \right)  }  \right\} =L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s^{ 2 } } +\frac { 1 }{ s+1 } -\frac { 1 }{ s }  \right\} =L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s^{ 2 } }  \right\} +L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s+1 }  \right\} -L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s }  \right\} \\ =t+{ e }^{ -t }-1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解題僅供參考