108年彰化女中教甄-數學詳解

國立彰化女子高級中學108學年度第1次教師甄選數學科試題

一、填充題

1. 已知$x+{1\over x}=2\sqrt 2$,且$x> 1$，求$x^8$的整數部分為_____

$$x+{1\over x}=2\sqrt 2 \Rightarrow (x+{1\over x})^2 =x^2+2+ {1\over x^2}= (2\sqrt 2)^2=8 \Rightarrow x^2+  {1\over x^2}= 6 \Rightarrow x^4+{1\over x^4} =34 \\ \Rightarrow x^8+ {1\over x^8}=1154 \Rightarrow x^8 的整數部份為\bbox[red,2pt]{1153} (\because x > 1 \Rightarrow {1\over x^8} < 1)$$

2. $n$為正整數,已知$2^2+2^n+2^{10}$為完全平方數, $n$的最大值與最小值之和為___

$$(2^5+2)^2 = 2^{10}+2^7+2^2 = 2^{10}+2^n+2^2 \Rightarrow n=7\\ (2^{n/2}+2)^2 = 2^n+ 4\cdot 2^{n/2}+2^2 = 2^n+ 2^{10} +2^2 \Rightarrow n=16 \\ \Rightarrow 7+16= \bbox[red,2pt]{23}$$

3. 設有$A,B$兩支大瓶子，開始時，$A$瓶裝有${2\over 3}$公升的純酒精，$B$瓶裝有${12\over 3}$公升的礦泉水。每一輪操作都是先將 A瓶的溶液倒出一半到 B 瓶，然後再將 B 瓶的溶液倒出一半回 A瓶(不考慮酒精與水混合後體積的縮小)。在第三輪操作後，A瓶的溶液中有____%的酒精。

$$\cases{a_n={1\over 2}a_{n-1}+{1\over 2}({1\over 2}a_{n-1}+b_{n-1})={3\over 4}a_{n-1}+ {1\over 2}b_{n-1} \\b_n={1\over 2}({1\over 2}a_{n-1}+b_{n-1})={1\over 4}a_{n-1}+{1\over 2}b_{n-1}\\ a_0=2/3\\ b_0=1/3} \\ \Rightarrow \begin{bmatrix} a_n \\ b_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/4 & 1/2 \\ 1/4 & 1/2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{n-1} \\ b_{n-1}  \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} a_3 \\ b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/4 & 1/2 \\ 1/4 & 1/2 \end{bmatrix}^3\begin{bmatrix} 2/3 \\ 1/3  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 43/64 & 21/32 \\ 21/64 & 11/32 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2/3 \\ 1/3  \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \cases{a_3的純酒精={43\over 64}\times {2\over 3}={43\over 96}\\ a_3中的礦泉水= {21\over 32} \times{1\over 3}={7\over 32}} \Rightarrow A瓶的酒精濃度={43/96 \over 43/96+ 7/32} ={43\over 64} = 0.671875 \\= \bbox[red,2pt]{67.1875}\%$$

4. 設$0< \theta < \phi, \theta+\phi=45^\circ$，若$\cot \theta,\cot \phi$都是正整數，求$\cot \theta+\cot \phi$之值=_____

 

$$0<\theta < \phi  \Rightarrow \cot \theta > \cot \phi;\\又 \phi+\theta =45^\circ \Rightarrow \cot(\phi+\theta) = \cot(45^\circ) \Rightarrow {\cot \theta \cot \phi -1 \over \cot \phi+\cot \theta} =1 \Rightarrow \cot \theta \cot \phi-\cot \theta-\cot \phi -1=0\\ \Rightarrow \cot \theta(\cot \phi-1)-(\cot \phi-1)=2 \Rightarrow (\cot \theta-1)(\cot \phi-1)=2 \\\Rightarrow \cases{\cot \theta=3\\ \cot \phi=2} (\because \cot \phi,\cot \theta 皆為整數) \Rightarrow \cot \theta+\cot \phi=3+2= \bbox[red,2pt]{5}$$

5. 如圖所示﹐ PQRS 為一給定的矩形，長$\overline{PQ}=14$，寬 $\overline{QR} = 6$,而$\triangle ABC$為等腰三角形﹐其中$\overline{AB} =\overline{AC}, P,Q$ 在$\overline{BC}$邊上,R,S分別在$\overline{CA}, \overline{AB}$邊上,求$\triangle ABC$面積的最小值=____

$$\overline{QC}=a \Rightarrow \triangle RQC=3a\\ \triangle AER\sim \triangle RQC \Rightarrow {\triangle AER\over \triangle RQC} ={\overline{ER}^2 \over \overline{QC}^2} ={49\over a^2} \Rightarrow \triangle AER= {49\over a^2}\triangle RQC ={147\over a} \\ \Rightarrow \triangle ABC = 2\triangle AER + 2\triangle RQC + PQRS = {294\over a} +6a + 84\\ 由於{294\over a} +6a \ge 2\sqrt{{294\over a} \cdot 6a} = 2\times 42=84 \Rightarrow \triangle ABC \ge 84+84= \bbox[red,2pt]{168}$$

6. 將一枚均勻的硬幣丟擲 n 次，在丟擲過程中，正面第一次出現時可得獎金 100 元，正面第二次出現時可再得獎金 200元，正面第三次出現時可再得獎金 300 元，以此類推。則丟擲 n 次的獎金期望值為____元。(以n表示)

$$丟擲 n 次硬幣出現k次正面的機率 ={1\over 2^n}C^n_k \Rightarrow 期望值={1\over 2^n}\sum_{k=1}^n(100\times \sum_{i=1}^k)C^n_k ={100\over 2^n}\sum_{k=1}^n{k(k+1)\over 2}C^n_k \\ ={50\over 2^n}\left(\sum_{k=1}^nk^2C^n_k +\sum_{k=1}^nkC^n_k \right) ={50\over 2^n}\left(\sum_{k=1}^nk(k-1)C^n_k +2\sum_{k=1}^nkC^n_k \right)  \\={50\over 2^n}\left(n(n-1)2^{n-2} +2\cdot n \cdot 2^{n-1} \right) = {50\over 4}n(n-1)+50n ={25\over 2}(n^2-n)+{100\over 2}n = \bbox[red,2pt]{{25\over 2}(n^2+3n)}\\註:\\f(x)=(x+1)^n = \sum_{k=0}^n C^n_kx^k \Rightarrow f'(x)=n(x+1)^{n-1}=\sum_{k=0}^n kC^n_kx^{n-1} \\ \Rightarrow f''(x)=n(n-1)(x+1)^{n-2} =\sum_{k=0}^n k(k-1)C^n_kx^{n-2} \\\Rightarrow \cases{f'(1)=n\cdot 2^{n-1} = \sum_{k=0}^n kC^n_k \\ f''(1)=n(n-1)2^{n-2}= \sum_{k=0}^nk(k-1)C^n_k}$$

7. 在空間直角坐標系中有一點$A(5,2\sqrt 6, 7)$。$x,y$平面上有一圓 C，其圓心為原點 O、半徑為$\sqrt 2$，P 為圓 C 上的點且向量$\overrightarrow{OA}$與向量$\overrightarrow{OP}$所圍三角形面積為整數，則這樣的 P 點有____ 個。

$$\cases{A(5,2\sqrt 6,7)\\ P(\sqrt 2\cos \theta,\sqrt 2\sin \theta,0)\\ O(0,0,0)} \Rightarrow \cases{ \overrightarrow{OA}=(5,2\sqrt 6,7) \\ \overrightarrow{OP}=(\sqrt 2\cos \theta,\sqrt 2\sin \theta,0) } \\\Rightarrow \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP} =(-7\sqrt 2\sin \theta, 7\sqrt 2\cos \theta, 5\sqrt 2\sin \theta-4\sqrt 3\cos \theta)\\\Rightarrow |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP}| =\sqrt{98+(5\sqrt 2\sin \theta-4\sqrt 3\cos \theta)^2} =\sqrt{98+ 98\sin^2(\theta-\alpha)}\\ \Rightarrow R=\triangle OAP面積={1\over 2} \sqrt{98+ 98\sin^2(\theta-\alpha)} \Rightarrow {1\over 2}\sqrt{98} \le R \le {1\over 2}\sqrt{196}\\ \Rightarrow R=5,6,7(R\in Z) \Rightarrow \cases{R=7 \Rightarrow \sin^2(\theta-\alpha)=1 \Rightarrow \theta 有2解\\R=5 \Rightarrow \sin^2(\theta-\alpha)=2/98 \Rightarrow \theta 有4解\\ R=6 \Rightarrow \sin^2(\theta-\alpha)=46/98 \Rightarrow \theta 有4解}\\ \Rightarrow 共有10組解\Rightarrow 這樣的P有\bbox[red,2pt]{10}個$$

8. 函數 $f(x)=x^2-\sqrt 2x$ 與$g(x)=-x^2-1$的圖形有兩條公切線且可得到四個切點，則此四個切點組成的四邊形周長為 ___

$$\cases{f(x)=x^2-\sqrt 2x\\ g(x)=-x^2-1} \Rightarrow \cases{f'(x)=2x-\sqrt 2\\ g'(x)=-2x}\\ 假設在y=f(x)上的切點A(a,a^2-\sqrt 2 a) \Rightarrow 過A之切線斜率為f'(a)=2a-\sqrt 2 \\ \Rightarrow 過A之切線L方程式為:y=(2a-\sqrt 2)(x-a)+a^2-\sqrt 2a \\ \Rightarrow L與y=g(x)相交於一點，即 (2a-\sqrt 2)(x-a)+a^2-\sqrt 2a=-x^2-1有重根\\ \Rightarrow x^2+(2a-\sqrt 2)x-a^2+1=0之判別式為0 \Rightarrow (2a-\sqrt 2)^2-4(1-a^2)=0\\ \Rightarrow 4a^2-2\sqrt 2a-1=0 \Rightarrow a={\sqrt 2\pm \sqrt 6 \over 4} \Rightarrow y=f(x)上的切點為\cases{A({\sqrt 2+\sqrt 6\over 4},-{\sqrt 3\over 4}) \\A'({\sqrt 2-\sqrt 6\over 4},{\sqrt 3\over 4})} \\ \Rightarrow y=g(x)的切點為\cases{B({\sqrt 2-\sqrt 6\over 4},{\sqrt 3-6\over 4})\\ B'({\sqrt 2+\sqrt 6\over 4},-{\sqrt 3+6\over 4})} \Rightarrow \overline{AA}= \overline{BB'}= \overline{AB'} =\overline{A'B}=3/2 \\ \Rightarrow 四邊形AA'BB'周長=4\times{3\over 2}= \bbox[red,2pt]{6}$$

9. 計算$\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n {\sqrt{4n^2-3k^2}\over 4n^2}$=____

$$\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n {\sqrt{4n^2-3k^2}\over 4n^2} =\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n {1\over 2n}{\sqrt{1-{3\over 4}({k\over n})^2} } ={1\over 2} \int_0^1 \sqrt{1-{3\over 4}x^2}\;dx\\ 令\sin u={\sqrt 3\over 2}x \Rightarrow \cos u\;du={\sqrt 3\over 2} dx \Rightarrow 原式={1\over 2}\int_0^{\pi/3}\sqrt{1-\sin^2 u}\cdot {2\over \sqrt 3}\cos u\;du \\ ={1\over 2}\int_0^{\pi/3} {2\over \sqrt 3}\cos^2 u\;du ={1\over 2}\int_0^{\pi/3} {1\over \sqrt 3}(\cos 2u+1)\;du ={1\over 2}\cdot {1\over \sqrt 3} \left. \left[ {1\over 2}\sin 2u+ u\right] \right|_0^{\pi/3} \\ ={1\over 2}\cdot {1\over \sqrt 3}({\sqrt 3\over 4} +{\pi\over 3}) =\bbox[red,2pt]{{1\over 8}+{\sqrt 3\over 18}\pi}$$

10. 已知$A(1,3)$為橢圓${(x+1)^2 \over 25} +{(y-2)^2 \over 16}=1$內部一點， F 是橢圓 Γ 的左焦點且 P 在 Γ 上，則$\overline{PA}+ {5\over 3}\overline{PF}$的最小值為 _______

$${(x+1)^2\over 25} +{(y-2)^2\over 16}=1 \Rightarrow \cases{a=5\\ b=4 \\ O(-1,2)} \Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=3 \Rightarrow \cases{F(-4,2)\\ F'(2,2)\\ e=c/a=3/5} \\\Rightarrow 左準線L:x-(-1)=-a^2/c= -25/3 \Rightarrow L:x=-28/3 \Rightarrow d(A,L)=1+28/3=31/3;\\由橢圓定義: \overline{PF}=e\cdot \text{dist}(P,L) \Rightarrow\overline{PA}+{5\over 3} \overline{PF} = \overline{PA}+{5\over 3} e\cdot \text{d}(P,L) = \overline{PA}+  \text{d}(P,L)最小\\ \Rightarrow  \overline{PA}為一水平線 \Rightarrow \overline{PA}+  \text{d}(P,L)=d(A,L)=\bbox[red,2pt]{31/3}$$

11. 求極限值$\lim_{x\to 0}\left[ {1\over x^2} \times \int_0^x \sin(2t)\;dt\right]$= _______

$${1\over x^2}\times \int_0^x \sin(2t)\;dt = {1\over x^2}\times \left. \left[ -{1\over 2}\cos (2t) \right]\right|_0^x ={1\over x^2}(-{1\over 2}\cos (2x)+{1\over 2}) ={1-\cos(2x) \over 2x^2} \\ \Rightarrow \lim_{x\to 0} \left[ {1\over x^2}\times \int_0^x \sin(2t)\;dt\right] =\lim_{x\to 0}{1-\cos(2x) \over 2x^2} =\lim_{x\to 0}{(1-\cos(2x))' \over (2x^2)'} =\lim_{x\to 0}{2\sin(2x) \over 4x} \\ =\lim_{x\to 0}{(2\sin(2x))' \over (4x)'} =\lim_{x\to 0}{4\cos(2x) \over 4} ={4\over 4}=\bbox[red,2pt]{1}$$

12. 單位圓上有 10 個點將圓周等分，將此 10 點任兩點相連共可得 45 條線段，則這 45 條線段長度的乘積值為 _______

$$在複數平面上，z^{10}=1的解即為單位圓上正10邊形上的頂點，其解為\omega_i=e^{i\theta},\theta=2\pi/10,i=0-9;\\ \Rightarrow z^{10}-1 = (z-1)(z^9+z^8+\cdots +1)=(z-\omega_0)(z-\omega_1)\cdots (z-\omega_9) \\ \Rightarrow f(z)=(z-\omega_1)(z-\omega_2)\cdots (z-\omega_9) = z^9+z^8+\cdots +1\\ \omega_0 至其它9個頂點\omega_i,i=1-9的距離乘積=|(\omega_0-\omega_1)| \cdot |(\omega_0-\omega_2)| \cdots |(\omega_0-\omega_9)| \\ = |(\omega_0-\omega_1)(\omega_0-\omega_2)\cdots (\omega_0-\omega_9)|=| f(\omega_0)| =| f(1)| =|1+1+\cdots+ 1| =10 \\ \Rightarrow 任一頂點至其它九個頂點距離的乘積均為10\\ \Rightarrow \cases{|(\omega_0-\omega_1)| \cdot |(\omega_0-\omega_2)| \cdots |(\omega_0-\omega_9)|=10 \\ |(\omega_1-\omega_0)| \cdot |(\omega_1-\omega_2)| \cdots |(\omega_1-\omega_9)|=10 \\ \cdots \cdots\\ |(\omega_9-\omega_0)| \cdot |(\omega_9-\omega_1)| \cdots |(\omega_9-\omega_8)|=10 \\} ,10個式子相乘\Rightarrow \Pi_{i\ne j}|\omega_i-\omega_j|^2=10^{10} \\ \Rightarrow \Pi_{i\ne j}|\omega_i-\omega_j|=10^{10/2} = \bbox[red,2pt]{100000}$$

解題僅供參考