105年公務人員普通考試
類 科： 經建行政、交通技術
科 目： 統計學概要
解答：
(一)$$(35\times 40+80\times 60)\div (40+60)= 6200\div 100=\bbox[red,2pt]{62}$$(二)$$\cases{E(2X-5)=2E(X)-5 = 2\times 35-5=65 \\ \sigma(2X-5)= 2\sigma(X)= 2\times 5=10 } \Rightarrow \bbox[red,2pt]{ \cases{平均數:65\\ 標準差:10}}$$(三)$$修正後的平均數=(60\times 80-60)\div 60 =\bbox[red,2pt]{79}\\ 修正前Var(X)=4^2 =E(X^2)-(E(X))^2= E(X^2)-80^2 \Rightarrow E(X^2)=80^2+4^2=6416\\ 修正後的E(X^2)= (6416\times 60-60^2)\div 60=6356 \Rightarrow 修正後的Var(X)=6356-79^2=115\\ \Rightarrow 修正後的標準差=\sqrt{115}= \bbox[red,2pt]{10.72}$$
解答：
(一)$$相關係數r={\sum xy -\sum x\sum y/n\over \sqrt{\sum x^2-(\sum x)^2/n} \cdot \sqrt{\sum y^2-(\sum y)^2/n}} ={14185-202\cdot 336/5 \over \sqrt{9462-202^2/5} \cdot \sqrt{22870-336^2/5}} \\={610.6\over 615.133} =\bbox[red,2pt]{0.9926}$$(二)$$迴歸直線斜率b_1 =r\cdot \sqrt{\sum y^2-(\sum y)^2/n\over \sum x^2-(\sum x)^2/n} =0.9926\cdot \sqrt{22870-336^2/5\over 9462-202^2/5} = 0.4692\\ 直線經過(\bar x,\bar y)=({202\over 5},{336\over 5}) \Rightarrow y=0.4692(x-{202\over 5})+ {336\over 5} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=0.4692x+48.2443}$$(三)$$\begin{array}{c|ccccc} x& 30&68 & 24 & 31 & 49 \\\hline y& 63& 80 & 58 & 64 & 71\end{array}，以序位表示\Rightarrow \begin{array}{c|ccccc} x& 4& 1 & 5 & 3 & 2 \\\hline y& 4& 1 & 5 & 3 & 2 \\\hdashline d=x-y & 0 & 0 & 0 & 0& 0\end{array} \\ \Rightarrow \rho=1-{6\sum d^2\over n(n^2-1)}= \bbox[red,2pt]{1}$$
(一)$${2\over 6}\times {1\over 5}={2\over 30}= \bbox[red,2pt]{1\over 15}$$(二)$${4\over 6}\times {3\over 5}={12\over 30}= \bbox[red,2pt]{2\over 5}$$(三)$$\cases{骰子出現1或6的機率p_1=2/6=1/3\\ 骰子出現2-5的機率p_2=1-p_1=2/3} \Rightarrow \cases{白球來自第I袋的機率=p_1\times {1\over 15}={1\over 45} \\ 白球來自第II袋的機率=p_2\times {2\over 5} ={4\over 15}}\\ \Rightarrow {白球來自第I袋的機率\over 白球來自第I袋的機率+白球來自第II袋的機率} ={1/45\over 1/45+ 4/15}= \bbox[red,2pt]{1\over 13}$$
解答：
(一)$$品種之收穫量為常態分布、三品種的數獲量有相同的變異數及三品種樣本獨立$$(二)$$\begin{array}{cccc|ccc} & A:X_1 & B:X_2 & C:X_3 & X_1^2 & X_2^2 & X_3^2\\\hline & 23 & 23 & 20 & 529 & 529 & 400\\ & 20 & 20 & 17 & 400 & 400 & 289 \\ & 24 & 17 & 16 & 576 & 289 & 256 \\ & 25 & 26 & 21 & 625 & 676 & 441 \\\hdashline \sum & 92 & 86 & 74 & 2130 & 1894 & 1386\end{array}\\ \Rightarrow \cases{ \sum X=92+86+74=252 \\ \sum X^2=2130 +1894+1386 =5410}\\ \Rightarrow SST=\sum X^2-(\sum X)^2/n=5410-252^2/12 =\bbox[red,2pt]{118}\\ \Rightarrow SSTR = (\sum X_1)^2/n_1 + (\sum X_2)^2/n_2 + (\sum X_3)^2/n_3 -(\sum X)^2/n \\\qquad\qquad =92^2/4 + 86^2/4+74^2/4 -252^2/12= 5334-5292= \bbox[red,2pt]{42} $$(三)$$\text{ANOVA table}\\ \begin{array}{|c|l|l|l|l|} \hline 來源 & 自由度 & 平方和 & 均方 & F \\\hline 品種 & 3-1=2 & 42 & 42/2=21 & 21/8.44=2.488\\\hline 誤差& 11-2=9 & 118-42=76 & 76/9 =8.44 & \\\hline 總和& 12-1=11 & 118 & &\\\hline\end{array}\\ \cases{H_0:三品種生產力相同\\ H_1:三品種生產力不同\\ \alpha=0.05} \Rightarrow 拒絕域C=\{F\mid F\gt F_{0.05}(2,9)=4.26(查表)\} \\ 由上方ANOVA表格求得檢定統計量F=2.488 \lt 4.26 \Rightarrow 無法拒絕H_0\Rightarrow \bbox[red,2pt]{假設成立}$$
解答：
(一)$$母體為常態，變異數未知，且為小樣本 \Rightarrow 平均收獲量的信賴區間 \overline{X_A} \pm t_{\alpha/2}(n-1){s_A\over \sqrt {n_A}} \\ =34\pm t_{0.025}(4)\cdot {\sqrt 6\over \sqrt 5} =34\pm 2.776(查表)\cdot 1.095 =\bbox[red,2pt]{(30.962,37.038)}$$(二)$$\cases{H_0:收獲量相同\\ H_1:收獲量不同\\ \alpha=0.05} \Rightarrow 拒絕域C=\{t\mid |t|\gt t_{0.025}(8)= 2.306(查表) \}\\\overline{x_B}=(32+34+30+34+30)\div 5 =32 \Rightarrow s_B^2=(0+2^2+2^2+2^2+2^2)\div (5-1)=4\\ 母體變異數相同 \Rightarrow \sigma_A= \sigma_B= \sigma = s_p^2= {(n_A-1)s_A^2 +(n_B-1)s_B^2\over n_A+n_B-2} ={4\cdot 6+4\cdot 4\over 5+5-2} =5\\ 檢定統計量t={(\bar x_A-\bar x_B)-(\mu_A-\mu_B)\over \sqrt{s_p^2(1/n_A+1/n_B)}} ={(34-32)-0 \over \sqrt{5(1/5+1/5) }} ={2\over \sqrt 2} =1.414 \lt 2.306\\ \Rightarrow 不能拒絕H_0 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{無差異}$$
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解題僅供參考，其他國考試題及詳解
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