103年公務人員高等考試三級考試
類 科:電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程
科 目:工程數學
甲、申論題部分:( 50 分)
解答:A=[1a2a3⋯an100⋯0λ21+λ2a2λ2a3⋯λ2an010⋯0λ3λ3a21+λ3a3⋯λ3an001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋮λnλna2λna3⋯1+λnan000⋯1]第1列×(−λk)加至第k列,k=2,…,n⇒[1a2a3⋯an100⋯0010⋯0−λ210⋯0001⋯0−λ301⋯0⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1−λn00⋯1]第k列×(−ak)加至第1列,k=2,…,n⇒[100⋯01+∑nk=2λkak−a2−a3⋯−an010⋯0−λ210⋯0001⋯0−λ301⋯0⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1−λn00⋯1]⇒A−1=[1+∑nk=2λkak−a2−a3⋯−an−λ210⋯0−λ301⋯0⋮⋮⋮⋱⋮−λn00⋯1]
解答:平面E:Ax+By+Cz=D之法向量→n=(A,B,C)過原點且方向向量為→n之直線L:xA=yB=zC,L上的點P可表示成P(At,Bt,Ct),t∈RP∈E⇒A2t+B2t+C2t=D⇒t=DA2+B2+C2⇒P=(ADA2+B2+C2,BDA2+B2+C2,CDA2+B2+C2)
解答:
(一)藍色骰子出現6的機率為16,出現其它點數的機率為56;因此2個6、3個其它點數的機率為(16)2(56)3,再乘上其排列數C52,機率為C52(16)2(56)3;綠色骰子出現奇數或偶數的機率皆為12,三顆皆偶數且另兩顆皆奇數的機率為(12)3(12)2,再乘上其排列數C53,機率為C53(12)3(12)2;符合上述兩要求的機率為C52(16)2(56)3×C53(12)3(12)2=5528⋅35(二)無論藍色或綠色骰子出現k個6的機率都是C5k(16)k(56)5−k,k=0,..,5;因此兩骰子出現一樣多6的機率為5∑k=0[C5k(16)k(56)5−k]2
乙、測驗題部分:(50 分)
解答:{x(t)=ty(t)=tz(t)=t2⇒{dx=dtdy=dtdz=2tdt⇒∫Cφ⋅ds=∫20(t+t)√x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2dt=∫202t√2+4t2dt=∫18214√udu(u=2+4t2⇒du=8tdt)=16(183/2−23/2)=16(54√2−2√2)=263√2,故選(D)解答:∇2(fg)=f∇2g+g∇2f+2∇f⋅∇g,故選(D)
解答:∫cF(r)dt=∫π0[4sin2(t),t,4cos2(t)]dt=[2t−sin(2t),12t2,2cos(2t)+2]|π0=[2π,12π2,2π],故選(C)
解答:{u=(1,1,1)v=(1,0,1)w=(0,1,0)⇒{u×(v×w)=u×(−1,0,1)=(1,−2,1)(u×v)×w=(1,0,−1)×w=(1,0,1)⇒u×(v×w)≠(u×v)×w,故選(C)
解答:A=[−2101−20001]⇒A−1=[−2/3−1/30−1/3−2/30001]⇒det(A−1)=49−19=13矩陣之行列式等於其特徵值之積,故選(D)
解答:(A)M(2,−4,6)t=(8,−16,24)t=4(2,−4,6)t⇒(2,−4,6)為特徵向量(B)M(2,0,6)t=(4,−16,12)t≠λ(2,0,6)(C)M(2,2,0)t=(−4,−4,0)t=−2(2,2,0)t(D)M(−1,0,1)t=(2,0,−2)t=−2(−1,0,1)t,故選(B)
解答:複數也可以為特徵值,故選(D)
解答:ez=1+2i=√5(1√5+2√5i)=√5(cosθ+isinθ)=eln√5+iθ⇒z=ln√5+iθ,其中{cosθ=1/√5sinθ=2/√5⇒tanθ=2⇒θ=tan−12⇒z=12ln(5)+itan−1(2),故選(B)
解答:det(A−λI)=|2−λ11−i1−λ−i1+ii2−λ|=λ3−4λ2+2=0⇒{λ1+λ2+λ3=4λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1=0λ1λ2λ3=−2,故選(D)
解答:cn=(3n)!(n!)3⇒cn+1cn=(3n+3)!((n+1)!)3⋅(n!)3(3n)!=(3n+3)(3n+2)(3n+1)(n+1)3=3(3n+2)(3n+1)(n+1)2⇒limn→∞|cn+1cn|=limn→∞3(3n+2)(3n+1)(n+1)2=27⇒收斂半徑=127⇒符合條件|z−2i|<127收斂,故選(B)
解答:∫Cze1/zdz=∫Cz(1+1z+12!z2+13!z3+⋯)dz=∫C(z+1+12!z+13!z2+⋯)dz=12∫C1zdz=12×2πi=πi,故選(B)
解答:(C)x5y″+4x4y′+2y=0⇒y″+4xy′+2x5=0x=0在2x5是一個pole of order 5,超過order 2,為一個irregular singular point,故選(C)
解答:Y(s)=−s+2s2+6s+8=2s+2−3s+4⇒y(x)=L−1{Y(s)}=2L−1{1s+2}−3L−1{1s+4}=2e−2x−3e−4x⇒y(x)=2e−2x−3e−4x⇒{y0=y(0)=2−3=−1y′+ay=(2a−4)e−2x+(−3a+12)e−4x=4e−2x⇒a=4⇒a+y0=4−1=3,故選(B)
解答:L[cos(ωt+ϕ)]=L[sin(ωt+ϕ+π/2)]=ωcos(ϕ+π/2)+ssin(ϕ+π/2)s2+ω2=−ωsin(ϕ)+scos(ϕ)s2+ω2,故選(D)
解答:y″+λy=0⇒特徵方程式r2+λ=0⇒r=±√−λCases 1:λ<0⇒y=c1e√−λx+c2e−√−λx,將y(0)=y(L)=0代入⇒c1=c2=0Cases 2:λ=0⇒y″=0⇒y=c1x+c2,將y(0)=y(L)=0代入⇒c1=c2=0Cases 3:λ=σ2>0⇒r=±σi⇒y=c1cos(σx)+c2sin(σx)將y(0)=y(L)=0代入⇒{c1=0c2sin(σL)=0⇒σ=mπL⇒λm=σ2=m2π2L2,m=1,2,⋯,故選(B)
解答:y=x2⇒y″+Ay′+By=2+2Ax+Bx2,無法找到常數A,B使得對任意x皆滿足2+2Ax+Bx2=0,故選(A)
解答:bn=2L∫L0x2sin2nπLxdx=2L[−L2nπx2cos(2nπLx)+L22n2π2xsin(2nπLx)+L34n3π3cos(2nπLx)]|L0=2L(−L32nπ)=−L2nπ,故選(C)
解答:p(1,1)+p(1,2)+p(2,1)=1⇒2c+3c+5c=1⇒c=1/10⇒{p(y=1)=p(1,1)+p(2,1)=7c=7/10p(y=2)=p(1,2)=3c=3/10⇒{E(Y)=∑yp(y)=1⋅p(y=1)+2⋅p(y=2)=7/10+6/10=13/10E(Y2)=∑y2p(y)=12p(y=1)+22p(y=2)=7/10+12/10=19/10⇒Var(Y)=E(Y2)−(E(Y))2=1910−169100=21100,故選(C)
解答:令{A=(正,正)B=(反,正)C=(正,反)D=(反,反)⇒{P(A)=1/6P(B)=1/3P(C)=1/6P(D)=1/3丟三次且符合題意的情形:AAB,AAC,AAD及其排列;因此{P(AAB)=C31P(A)P(A)P(B)=1/36P(AAC)=C31P(A)P(A)P(C)=1/72P(AAD)=C31P(A)P(A)P(D)=1/36⇒P(AAB)+P(AAC)+P(AAD)=5/72,故選(B)
解答:正確篩檢+錯誤篩檢=0.05×0.78+0.95×0.06=0.096,故選(B)
========================= END ================================
解題僅供參考,其他國考試題及詳解
沒有留言:
張貼留言