2021年12月9日 星期四

103年高考三級-工程數學詳解

103年公務人員高等考試三級考試

類 科:電力工程、電子工程、電信工程、醫學工程
科 目:工程數學
甲、申論題部分:( 50 分)

解答y6y+9t0y(τ)dτ=4t3e3tL{y}6L{y}+9L{t0y(τ)dτ}=4L{t3e3t}sY(s)y(0)6Y(s)+9Y(s)s=43!(s3)4(s6+9s)Y(s)=24(s3)4(s3)2sY(s)=24(s3)4Y(s)=24s(s3)6=24(s3)5+72(s3)6y(t)=L1{4!(s3)5}+35L1{5!(s3)6}=t4e3t+35t5e3ty(t)=t4e3t+35t5e3t
解答A=[1a2a3an1000λ21+λ2a2λ2a3λ2an0100λ3λ3a21+λ3a3λ3an0010λnλna2λna31+λnan0001]1×(λk)k,k=2,,n[1a2a3an10000100λ21000010λ30100001λn001]k×(ak)1,k=2,,n[10001+nk=2λkaka2a3an0100λ21000010λ30100001λn001]A1=[1+nk=2λkaka2a3anλ2100λ3010λn001]
解答E:Ax+By+Cz=Dn=(A,B,C)nL:xA=yB=zCLPP(At,Bt,Ct),tRPEA2t+B2t+C2t=Dt=DA2+B2+C2P=(ADA2+B2+C2,BDA2+B2+C2,CDA2+B2+C2)
解答
(一)61656263(16)2(56)3C52C52(16)2(56)312(12)3(12)2C53C53(12)3(12)2C52(16)2(56)3×C53(12)3(12)2=552835(二)k6C5k(16)k(56)5k,k=0,..,565k=0[C5k(16)k(56)5k]2

乙、測驗題部分:(50 分)

解答{x(t)=ty(t)=tz(t)=t2{dx=dtdy=dtdz=2tdtCφds=20(t+t)x(t)2+y(t)2+z(t)2dt=202t2+4t2dt=18214udu(u=2+4t2du=8tdt)=16(183/223/2)=16(54222)=2632(D)
解答2(fg)=f2g+g2f+2fg(D)
解答cF(r)dt=π0[4sin2(t),t,4cos2(t)]dt=[2tsin(2t),12t2,2cos(2t)+2]|π0=[2π,12π2,2π](C)
解答{u=(1,1,1)v=(1,0,1)w=(0,1,0){u×(v×w)=u×(1,0,1)=(1,2,1)(u×v)×w=(1,0,1)×w=(1,0,1)u×(v×w)(u×v)×w(C)
解答A=[210120001]A1=[2/31/301/32/30001]det(A1)=4919=13(D)
解答(A)M(2,4,6)t=(8,16,24)t=4(2,4,6)t(2,4,6)(B)M(2,0,6)t=(4,16,12)tλ(2,0,6)(C)M(2,2,0)t=(4,4,0)t=2(2,2,0)t(D)M(1,0,1)t=(2,0,2)t=2(1,0,1)t(B)
解答(D)
解答ez=1+2i=5(15+25i)=5(cosθ+isinθ)=eln5+iθz=ln5+iθ,{cosθ=1/5sinθ=2/5tanθ=2θ=tan12z=12ln(5)+itan1(2)(B)
解答det(AλI)=|2λ11i1λi1+ii2λ|=λ34λ2+2=0{λ1+λ2+λ3=4λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1=0λ1λ2λ3=2(D)
解答cn=(3n)!(n!)3cn+1cn=(3n+3)!((n+1)!)3(n!)3(3n)!=(3n+3)(3n+2)(3n+1)(n+1)3=3(3n+2)(3n+1)(n+1)2limn|cn+1cn|=limn3(3n+2)(3n+1)(n+1)2=27=127|z2i|<127(B)
解答Cze1/zdz=Cz(1+1z+12!z2+13!z3+)dz=C(z+1+12!z+13!z2+)dz=12C1zdz=12×2πi=πi(B)
解答(C)x5y+4x4y+2y=0y+4xy+2x5=0x=02x5pole of order 5order 2irregular singular point(C)
解答Y(s)=s+2s2+6s+8=2s+23s+4y(x)=L1{Y(s)}=2L1{1s+2}3L1{1s+4}=2e2x3e4xy(x)=2e2x3e4x{y0=y(0)=23=1y+ay=(2a4)e2x+(3a+12)e4x=4e2xa=4a+y0=41=3(B)
解答L[cos(ωt+ϕ)]=L[sin(ωt+ϕ+π/2)]=ωcos(ϕ+π/2)+ssin(ϕ+π/2)s2+ω2=ωsin(ϕ)+scos(ϕ)s2+ω2(D)
解答y+λy=0r2+λ=0r=±λCases 1:λ<0y=c1eλx+c2eλxy(0)=y(L)=0c1=c2=0Cases 2:λ=0y=0y=c1x+c2y(0)=y(L)=0c1=c2=0Cases 3:λ=σ2>0r=±σiy=c1cos(σx)+c2sin(σx)y(0)=y(L)=0{c1=0c2sin(σL)=0σ=mπLλm=σ2=m2π2L2,m=1,2,(B)
解答y=x2y+Ay+By=2+2Ax+Bx2A,B使x滿2+2Ax+Bx2=0(A)
解答bn=2LL0x2sin2nπLxdx=2L[L2nπx2cos(2nπLx)+L22n2π2xsin(2nπLx)+L34n3π3cos(2nπLx)]|L0=2L(L32nπ)=L2nπ(C)
解答p(1,1)+p(1,2)+p(2,1)=12c+3c+5c=1c=1/10{p(y=1)=p(1,1)+p(2,1)=7c=7/10p(y=2)=p(1,2)=3c=3/10{E(Y)=yp(y)=1p(y=1)+2p(y=2)=7/10+6/10=13/10E(Y2)=y2p(y)=12p(y=1)+22p(y=2)=7/10+12/10=19/10Var(Y)=E(Y2)(E(Y))2=1910169100=21100(C)
解答{A=(,)B=(,)C=(,)D=(,){P(A)=1/6P(B)=1/3P(C)=1/6P(D)=1/3:AAB,AAC,AAD{P(AAB)=C31P(A)P(A)P(B)=1/36P(AAC)=C31P(A)P(A)P(C)=1/72P(AAD)=C31P(A)P(A)P(D)=1/36P(AAB)+P(AAC)+P(AAD)=5/72(B)
解答+=0.05×0.78+0.95×0.06=0.096(B)

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解題僅供參考,其他國考試題及詳解

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