109年地方特考-統計學概要詳解

 109年特種考試地方政府公務人員考試

等 別： 四等考試
類 科： 經建行政、 交通技術
科 目： 統計學概要

解答：

(一)$$連取四個燈泡都是正常的機率={7\over 12}\times {6\over 11}\times {5\over 10}\times {4\over 9} ={7\over 99}\\ \Rightarrow 至少有一個瑕疵的機率=1-{7\over 99}=\bbox[red,2pt]{92\over 99}$$(二)$$取後放回，每次取一個燈泡沒有瑕疵的機率都是{7\over 12}\\ \Rightarrow 連取四個都沒瑕疵的機率 =({7\over 12})^4= {2401\over 20736} \approx \bbox[red,2pt]{0.1158}$$(三)$$ 取後放回: 取到一個有瑕疵燈泡的機率都是p={5\over 12}\\ \Rightarrow X\sim B(n=4,p=5/12)\Rightarrow \cases{\mu =np=5/3\\ \sigma^2 = npq=35/36}\\ 取後不放回:\cases{P(X=1)= C^5_1C^7_3/ C^{12}_4\\P(X=2) =C^5_2C^7_2/C^{12}_4 \\P(X=3)= C^5_3C^7_1/C^{12}_4 \\ P(X=4) =C^5_4 /C^{12}_4} \Rightarrow \cases{\mu = E(X)= \sum xP(X=x)= 5/3\\ E(X^2)= \sum x^2P(X=x)= 115/33} \\ \Rightarrow \sigma^2 =E(X^2)-(E(X))^2 = {115\over 33}-({5\over 3})^2={70\over 99}\\ 因此\cases{取後放回的變異數為35/36 \\ 取後不放回的變異數為70/99}，取後放回的變異數較大。$$

解答：

(一)$${檢測為陽性且實際患病\over 檢測為陽性且實際患病+ 檢測為陽性但無患病} ={0.6\%\times (1-0.08) \over 0.6\%\times (1-0.08)+ 99.4\%\times 0.03}= \bbox[red,2pt]{0.156}$$(二)$${檢測為陰性但實際患病\over 檢測為陰性但實際患病+ 檢測為陰性且本無患病} ={0.6\%\times  0.08 \over 0.6\%\times 0.08+ 99.4\%\times (1-0.03)}\\= \bbox[red,2pt]{ 0.000498}$$

解答：

(一)$$f(x)={1\over 3}e^{-x/3},x\ge 0 \Rightarrow E(X)=\int_0^\infty xf(x)\;dx={1\over 3}\int_0^\infty xe^{-x/3}\;dx \\ =\left .\left[ -xe^{-x/3}-3e^{-x/3} \right] \right|_0^\infty =0-(-3)=\bbox[red,2pt]{3}$$(二)$$P(X\le {1\over 2})= \int_0^{1/2}f(x)\;dx = \int_0^{1/2}{1\over 3}e^{-x/3}\;dx = \left.\left[ - e^{-x/3}\right]\right|_0^{1/2} =-(e^{-1/6}-1)=1-e^{-1/6}\\ \Rightarrow P(X\gt {1\over 2})=1-P(X\le {1\over 2})= \bbox[red, 2pt]{e^{-1/6}}$$(三)$$長度為t的時間段內沒有來電申請的機率等於{e^{-\lambda t}(\lambda t)^0\over 0!}= e^{-\lambda t}=e^{-{1\over 3}\cdot 5} = \bbox[red,2pt]{e^{-5/3}}$$

解答：

(一)$$\begin{array} {} 病患& 1 & 2& 3 & 4& 5 & 6 & 7\\\hline 聽音樂前& 52 & 56 & 52 & 41 & 45  & 50 & 49\\ 聽音樂後& 47 & 51 & 45 & 38 & 43 & 46 & 42\\\hdashline 差異d_i & -5& -5 & -7 & -3& -2& -4 & -7\end{array}\\ \Rightarrow \sum d_i=-33 \Rightarrow \bar d=\sum d_i/n= \bbox[red,2pt]{-{33\over 7}}$$(二)$$由(一)可得s_d= \sqrt{\sum (d_i-\bar d)^2\over n-1 }= 1.89\\\cases{H_0:聽音樂前後無差異\\ H_1:聽音樂前後無差異\\ \alpha=0.05\\ n=7\lt 30} \Rightarrow 檢定統計量t={\bar d-\mu_d\over s_d/\sqrt n} ={-4.714-0\over 1.89/\sqrt 7}=-6.6\\ 查表可得 t_{\alpha/2}(df=n-1)=t_{0.025}(6)=2.447 \Rightarrow |-6.6| \gt 2.447\\ \Rightarrow 拒絕H_0，即聽音樂前後有差異，並依\bar d可知聽音樂後\bbox[red,2pt]{會降低憂鬱指數}$$

解答：

(一)$$\begin{array}{} & X(酒齡) & Y(價格) & X^2 & Y^2 & XY \\\hline & 36& 245 &1296 & 60025 & 8820\\ & 20 & 142 & 400 & 20164 & 2840\\ & 29 & 212 & 841 & 44944 & 6148\\ &30 & 209 & 900 & 43681 & 6270\\ & 34 & 237 & 1156 & 56169 & 8058 \\ \hline \sum & 149& 1045& 4593& 224983& 32136 \end{array}\\ \Rightarrow 迴歸直線斜率b_1= {n\sum x_i y_i- \sum x_i \cdot \sum y_i \over n\sum x_i^2- (\sum x_i)^2} ={5\cdot 32136- 149\cdot 1045 \over 5\cdot 4593-149^2} =6.51\\ 又 \cases{\bar x=149/5=29.8\\ \bar y=1045/5=209} \Rightarrow 迴歸直線:y=6.51(x-29.8)+209 \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=6.51x+14.95}$$(二)

$$\cases{H_0:b_1=0\\ H_1:b_1\ne 0} \Rightarrow 拒絕域R=\{t\mid t\gt t_{\alpha/2}(n-2)= t_{0.025}(3)=3.182\} \\ 檢定統計量t={b_1\over S_{b1}} =14.03 \in R，迴歸達\bbox[red,2pt]{顯著}$$(三)$$x=25代入迴歸直線方程式\Rightarrow \hat y=6.51\times 25+14.95=177.7\approx \bbox[red,2pt]{178}元$$

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