103年身障生升大學-數學乙詳解

103 學年度身心障礙學生升學大專校院甄試
甄試類(群)組別：大學組數學乙

單選題，共 20 題，每題 5 分

解答：$$  \cases{10^4-10^{3.99} =10^{3.99}(10^{0.01}-1) =10^{3.99}\cdot k\\ 10^{4.01}-10^4 =10^4(10^{0.01}-1)=10^4 \cdot k}，其中k=10^{0.01}-1\\ \Rightarrow 10^4 \cdot k\gt 10^{3.99}\cdot k \Rightarrow 10^{3.99} 較接近10^4，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{(\sqrt 2+\sqrt 3)^2 =5+2\sqrt 6 \gt 7\\ (\sqrt 6)^2=6}   \Rightarrow \sqrt 3+\sqrt 2\gt \sqrt 6 \Rightarrow \log (\sqrt 3+\sqrt 2)\gt \log \sqrt 6\Rightarrow (A)\gt (D)\\ \log \sqrt 2+\log \sqrt 3= \log \sqrt 6 \Rightarrow (A)\gt (B)=(D)\\ \cases{\log \sqrt 2\lt 1\\ \log \sqrt 3\lt 1} \Rightarrow \log \sqrt 2\times \log \sqrt 3\lt \log \sqrt 3 \lt \log \sqrt 6 \Rightarrow (A)\gt (B)=(D)\gt (C)，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$f(x)= 4x^3-24x^2+23 x-15 =4x^2(x-6)+23x-15 \\\Rightarrow \cases{f(1)= 4-1-15 \lt 0\\f(3)= -3\cdot 36+23\cdot 3-15 \lt 0\\f(5)=-100+ 115-15=0 \\f(7)=4 \cdot 49+23\cdot 7-15 \gt 0 } \Rightarrow x=5為其解，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$令h(x)= f(x)+g(x)，h(x)仍為一元二次多項式；\\又h(0)=h(1)=0 \Rightarrow 0與1為h(x)=0的解 \Rightarrow h(x)=a(x-1)x, a為常數；\\再由h(2)=2 \Rightarrow 2a=2 \Rightarrow a=1 \Rightarrow h(x)=x(x-1) \Rightarrow h(3)=f(3)+g(3)=3\cdot 2=6\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$(a,b,c)= (1,3,17),(1,5,15),(1,7,13), (1,9,11), (3,5,13), (3,7,11),(5,7,9) ，共7組解\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$C^8_2=28，中心點至各頂點的直線已包含在28條直線，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{三人都出黑的機率=1/8\\ 三人都出白的機率=1/8} \Rightarrow 平手機率={1\over 8}+{1\over 8}={1\over 4} \Rightarrow 分出勝負的機率=1-{1\over 4}={3\over 4}\\ 第一次、第二皆平手，第三次分出勝負的機率={1\over 4}\times {1\over 4}\times {3\over 4}= {3\over 64}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$召集人由二女一男中選出，抽出女性機率為2/3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\triangle ADC \sim \triangle CDB \Rightarrow \overline{CD}^2 = \overline{AD}\times \overline{DB} \Rightarrow \overrightarrow{CD} \cdot  \overrightarrow{CD} =\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{DB}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：

$$\cases{A(1,1)\\ B(3,1)\\ C(4,3)\\ D(2,5)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AB} =(2,0)\\ \overrightarrow{AD} =(1,4)\\ \overrightarrow{CB} =(-1,-2)\\ \overrightarrow{CD} =(-2,2)} \Rightarrow \cases{\triangle ABD= {1\over 2} \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 |\overrightarrow{AD}|^2 -(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD})^2} =4\\[2ex] \triangle CBD= {1\over 2} \sqrt{|\overrightarrow{CB}|^2 |\overrightarrow{CD}|^2 -(\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CD})^2} =3} \\ \Rightarrow 四邊形ABCD面積=4+3=7，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：

$$假設生產\cases{甲貨品x單位\\ 乙貨品y單位}，需要\cases{A原料:4x+5y\\ B原料:3x+y\\ 獲利f(x,y)=2x+y萬元}，需滿足\cases{0\le 4x+5y\le 50\\ 0\le 3x+y\le 21\\ 0\le x,y}\\ 條件所得封閉區域頂點為\cases{A(7,0)\\ B(5,6)\\ C(0,10)\\ D(0,0)} \Rightarrow \cases{f(A)=14\\ f(B)=16\\ f(C)=10\\ f(D)=0} \Rightarrow 最大值為16，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$依題意:\cases{甲用戶\cases{60\%不變\\ 40\%改乙} \\[1ex] 乙用戶\cases{30\%改甲\\ 70\%不變}} \Rightarrow 轉移矩陣\begin{bmatrix} 60\% & 30\%\\ 40\% & 70\%\end{bmatrix}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$假設\cases{甲禮券數a、乙禮券數量3a\\ 甲面額b元、乙面額b-200元} \Rightarrow 期望值={a\over 4a}\times b+{3a\over 4a}\times (b-200) = 120\\ \Rightarrow b=270 \Rightarrow b-200=70，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$P(A\cup B\cup C)= P(A)+P(B)+P(C) - P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C)\\ \Rightarrow {3\over 4}={1\over 2}+ {1\over 3}+ {1\over 5}-{1\over 2}\cdot {1\over 3}-{1\over 3}\cdot {1\over 5}-{1\over 2}\cdot{1\over 5} +P(A\cap B\cap C)\\{3\over 4}={31\over 30}-{1\over 6}-{1\over 15}-{1\over 10}  +P(A\cap B\cap C)\Rightarrow P(A\cap B\cap C)= {1\over 20}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$P(a,b)在2x+y=1上\Rightarrow 2a+b=1 \Rightarrow b=1-2a \Rightarrow P(a,1-2a) \\\Rightarrow \cases{\overrightarrow{AP} =(a+1, 1-2a) \\ \overrightarrow{BP} =(a-1,1-2a)} \Rightarrow \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} =0 \Rightarrow (a+1)(a-1)+(1-2a)^2=0 \Rightarrow 5a^2-4a=0\\ \Rightarrow a=4/5 \Rightarrow b=1-2a=-3/5 \Rightarrow a+b=1/5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$聯立方程組不只一組解，即無限多組解 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1& 2 & 3\\ 0& 1 & a\\ 1& 1 & a\end{vmatrix} =0 \Rightarrow a+2a-3-a=0 \Rightarrow a=3/2 \\又 (1,3,2)是\left\{\begin{array}{rcl}x+2y+3z&=&b\\ y+az&=&c\\ x+y+az&=&d \end{array} \right. 的解，三式相加\Rightarrow b+c+d= 2x+4y+(2a+3)z \\=2+12+6\cdot 2=26，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{A=\begin{bmatrix} 3 & x\\ 4 & y\end{bmatrix} \\[1ex] B=\begin{bmatrix} 5 & 7\\ 6 & 8\end{bmatrix} \\[1ex] C=\begin{bmatrix} x & z\\ y & u\end{bmatrix}} \Rightarrow  AB= \begin{bmatrix} 6x+15 & 8x+21 \\ 6y+20 & 8y+28 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x & z\\ y & u\end{bmatrix} \Rightarrow \cases{x=-3\\ y=-4\\ 8x+21=z\\ 8y+28=u} \\ \Rightarrow \cases{z=-3\\ u=-4} \Rightarrow x-y+z-u=-3+4-3+4=2，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$f(a)=0.025= 2.5\% \Rightarrow 2個標準差\Rightarrow \mu-2\sigma = 1\%-2\times 4\%=-7\%，即7萬的虧損，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$前四場為二勝二敗，機率:C^4_2({3\over 5})^2({2\over 5})^2={216\over 625}，第五場無論誰勝誰敗都能分出勝負\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\cases{\hat p=0.5\\ n=100} \Rightarrow \left[ \hat p-2\sqrt{\hat p(1-\hat p)\over n} ， \hat p+2\sqrt{\hat p(1-\hat p)\over n}\right] =\left[0.5-2\sqrt{0.5\cdot 0.5\over 100}  ，0.5+2\sqrt{0.5\cdot 0.5\over 100} \right] \\ =\left[ {2\over 5}, {3\over 5}\right]，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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