105 學年度身心障礙學生升學大專校院甄試
甄試類(群)組別:大學組數學甲
單選題,共 20 題,每題 5 分
解答:−a2<x<a的整數x共有341個⇒a2+(a−1)=341⇒a2+a−342=0⇒(a−18)(a+19)=0⇒a=18⇒−3a<x<(a−1)2⇒−54<x<289⇒共有53+288+1=342個,故選(C)
解答:取{A(1,0)B(√3⋅cos(5π/6),√3sin(5π/6))=(−3/2,√3/2),則{→u=→OA=(1,0)→v=→OB=(−3/2,√3/2)⇒{|→v|=√3|→v+→u|=|(−1/2,√3/2)|=1|→v+32→u|=|(0,√3/2)|=3/4|→v+2→u|=|(1/2,√3/2)|=1⇒|→v|最大,故選(A)
解答:從甲乙丙三箱抽出的號碼依序為(2,3,1)或(3,1,2)兩種情形,每種情形的機率皆為(12)3=18因此機率為18×2=14,故選(B)
解答:出現n次正面的機率為P(n)=C5n(13)n(23)5−nP(0)=(23)5=32243P(1)=C51(13)(23)4=80243P(2)=C52(13)2(23)3=80243P(3)=C53(13)3(23)2=40243⇒全部出現反面機率最小,故選(A)
解答:A=[abcd]⇒{A[12]=[56]A[34]=[78]⇒{{a+2b=5c+2d=6{3a+4b=73c+4d=8⇒{a=−3b=4c=−4d=5A=[−34−45]⇒A[1234]=[9101112],故選(C)
解答:{x+2y−z=−32x−3y+az=83x+y−8z=b有無限多組解⇒|12−12−3a31−8|=0⇒a=−9⇒{x+2y−z=−3⋯(1)2x−3y−9z=8⋯(2)3x+y−8z=b⋯(3)−2(1)+(2),−3(1)+(3)→{−7y−7z=14⋯(2′)−5y−5z=9+b⋯(3′)若14×57=9+b有無限多組解,即b=1;因此a+b=−9+1=−8,故選(A)
解答:過A(4,8,−5)且方向向量為(3,−2,1)的直線L,若P在L上,則P(4+3t,8−2t,−5+t),t≥0;(A)P過xy平面⇒−5+t=0⇒t=5(B)P過xz平面⇒8−2t=0⇒t=4(C)P過yz平面⇒4+3t=0⇒t=−4/3≱0(D)x+y+z=12⇒7+2t=12⇒t=5/2由以上可知當t=5/2時會碰到x+y+z=12,然後是xz平面(t=4),最後是xy平面,故選(D)
解答:f(x)={(x+1)g(x)+a(x+1)(x−2)h(x)+bx+c,已知{f(−1)=1⇒{a=1−b+c=1g(2)=−2⇒f(2)=3⋅(−2)+a=−5=2b+c⇒{a=1b=−2c=−1⇒餘式bx+c=−2x−1,故選(A)
解答:{A(−4,−4)B(−6,−5)C(4,4)D(5,6)⇒¯AB的中垂線L′1與¯CD的中垂線L′2交點即為圓心令{→u=→AB=(−2,−1)→v=→CD=(1,2)⇒{L′1:−2(x+4)−(y+4)=0L′2:(x−4)+2(y−4)=0⇒{2x+y=−12x+2y=12⇒{x=−12y=12⇒(−12,12)位於第二象限,故選(B)
解答:(1+p)12=1.44⇒12log(1+p)=log1.44⇒18log(1+p)=32log1.44⇒(1+p)18=1.443/2=1.23=1.728⇒利息/本金=72.8%,故選(C)
解答:假設一開始箱子有{a顆藍球b顆綠球⇒{E=aa+b1011E=aa+b+2⇒10a11(a+b)=aa+b+2⇒11a2+11ab=10a2+10ab+20a⇒a2+ab−20a=0⇒a(a+b−20)=0⇒a+b=20⇒一開始共有20顆球,故選(C)
解答:(A)×:11000<1567⇒(11000)4<(1567)5⇒log(1567)5>log(11000)4=−12(B)◯:由於{(7100000)3=3.42×10−13(790000)3≈4.7×10−13且7100000<798765<790000⇒其對數值介於−12與−13之間(C)×:log(1√50×10−6)2=−12+log150=−12+(log2−2)<−13因此17654321=17.654321×10−6<1√50×10−6⇒(17654321)2<−13(D)×:101×10−14>100×10−14=10−12⇒log(101×10−14)>−12,故選(B)
解答:
在¯QR上取一點S,使得¯PS⊥¯QR,如上圖;令{h=¯PSa=¯QS⇒¯RS=6−a,依題意:2tanQ=tanR⇒2⋅ha=h6−a⇒a=4⇒h=√32−(6−4)2=√5⇒{cosR=32+22−52⋅3⋅2=23cosR=32+62−¯PQ22⋅3⋅6=45−¯PQ236⇒23=45−¯PQ236⇒¯PQ2=21⇒¯PQ=√21,故選(C)
解答:(A)×:{a=4b=2⇒{ab=16ba=16⇒ab≯ba(B)×:反例同上(C)×:{a=4b=2⇒{(ba)b=162=256b(ab)=216⇒(ba)b≯b(ab),故選(D)
解答:∠P+∠Q+∠R=180∘⇒tanP+tan(Q+R)=0;(A)×:∠P<∠Q+∠R⇒tanP>0且tan(Q+R)<0⇒tanP不是最小(B)◯:∠P>∠Q+∠R⇒tanP<0且tanQ>0且tanR>0⇒tanP最小(C)×:{∠P=30∘∠Q=40∘∠R=110∘滿足{∠P<∠Q∠P<∠R,但{tanR<0tanP>0⇒tanP不是最小(D)×:{∠P=90∘∠Q=60∘∠R=30∘滿足{∠P>∠Q∠P>∠R,但tanP=∞⇒tanP不是最小,故選(B)
解答:p+q2≥√pq⇒5≥√pq⇒50≥2pq⇒2pq的最大值為50;cosR=p2+q2−r22pq=(p+q)2−2pq−722pq=102−2pq−722pq=51−2pq2pq=512pq−1≥5150−1=150=0.02,故選(C)
解答:z=35+45i=cosθ+isinθ⇒{1=cos0∘+isin0∘z=cosθ+isinθz2=cos2θ+isin2θ⇒1−zz2−z=−1z=−1cosθ+isinθ=−cosθ+isinθ=cos(π−θ)+isin(π−θ)由於{cosθ=3/5sinθ=4/5⇒45∘<θ<60∘⇒120∘<∠PQR=π−θ<135∘,故選(B)
解答:32π<5<74π⇒{−√2/2<sin5<−1−√2<csc5<−10<cos5<√2/2√2<sec5<∞−∞<tan5<−1−1<cot5<0⇒sec5>cos5>cot5>sinx>cscx>tanx,故選(D)
解答:{Q(0,4)R(−3,0)⇒直線L=↔QR:4x−3y+12=0⇒{d(P(8,0),L)=44/5d(S(0,−3),L)=21/5取較長邊長44/5為正方形邊長,故選(A)
解答:∠P+∠Q+∠R=180∘⇒tanP+tan(Q+R)=0;(A)×:∠P<∠Q+∠R⇒tanP>0且tan(Q+R)<0⇒tanP不是最小(B)◯:∠P>∠Q+∠R⇒tanP<0且tanQ>0且tanR>0⇒tanP最小(C)×:{∠P=30∘∠Q=40∘∠R=110∘滿足{∠P<∠Q∠P<∠R,但{tanR<0tanP>0⇒tanP不是最小(D)×:{∠P=90∘∠Q=60∘∠R=30∘滿足{∠P>∠Q∠P>∠R,但tanP=∞⇒tanP不是最小,故選(B)
解答:p+q2≥√pq⇒5≥√pq⇒50≥2pq⇒2pq的最大值為50;cosR=p2+q2−r22pq=(p+q)2−2pq−722pq=102−2pq−722pq=51−2pq2pq=512pq−1≥5150−1=150=0.02,故選(C)
解答:z=35+45i=cosθ+isinθ⇒{1=cos0∘+isin0∘z=cosθ+isinθz2=cos2θ+isin2θ⇒1−zz2−z=−1z=−1cosθ+isinθ=−cosθ+isinθ=cos(π−θ)+isin(π−θ)由於{cosθ=3/5sinθ=4/5⇒45∘<θ<60∘⇒120∘<∠PQR=π−θ<135∘,故選(B)
解答:32π<5<74π⇒{−√2/2<sin5<−1−√2<csc5<−10<cos5<√2/2√2<sec5<∞−∞<tan5<−1−1<cot5<0⇒sec5>cos5>cot5>sinx>cscx>tanx,故選(D)
解答:{Q(0,4)R(−3,0)⇒直線L=↔QR:4x−3y+12=0⇒{d(P(8,0),L)=44/5d(S(0,−3),L)=21/5取較長邊長44/5為正方形邊長,故選(A)
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解題僅供參考,其他身障升學試題及詳解
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