台灣聯合大學系統108學年度學士班轉學生考試
科目:微積分
類組別:A3 A4 A7
甲、填充題:共8題,每題8分,共64分
解答:f(x)=∫x1√1+t2dt⇒{f(1)=0f′(x)=√1+x2⇒f′(1)=√2f−1(f(x))=x⇒(f−1(f(x)))′=(x)′⇒(f−1)′(f(x))f′(x)=1⇒(f−1)′(f(x))=1f′(x)⇒(f−1)′(0)=1f′(1)=1√2=√22
解答:∫10∫x0e−x2dydx=∫10xe−x2dx=[−12e−x2]|10=12(1−e−1)⇒平均值=12(1−e−1)R面積=1−e−1
解答:u=1+√x⇒du=12√xdx⇒∫911√x(1+√x)2dx=∫422u2du=−2u|42=−12+1=12
解答:f(x,y)=x2y+exy⇒∇f=(fx,fy)=(2xy+yexy,x2+xexy)⇒∇f(1,0)=(0,2)⇒→u=∇f(1,0)|∇f(1,0)|=(0,1)⇒D→uf(1,0)最大值=|∇f(1,0)|=2
解答:{f=x2+2y2−2x+3g=x2+y2−10⇒{fx=λgxfy=λgyg=0⇒{2x−2=λ(2x)⋯(1)4y=λ(2y)⋯(2)x2+y2=10⋯(3)(1)(2)⇒x−12y=xy⇒xy−y=2xy⇒y(x+1)=0⇒{x=−1⇒y=±3y=0⇒x=±√10⇒臨界點{A(−1,3)B(−1,−3)C(√10,0)D(−√10,0)⇒{f(A)=f(B)=24f(C)=13−2√10f(D)=13+2√10⇒最大值為24
解答:r(t)=(etcost)→i+(etsint)→j, from (1,0)→(e2π,0);相當於t=0→2π又r′(t)=et(cost−sint)→i+et(sint+cost)→j{x=etcosty=etsint⇒x2+y2=e2t⇒→F=1(x2+y2)3/2(x→i+y→j)=1e3t(etcost→i+etsint→j)=1e2t(cost→i+sint→j)⇒作功=∫C→F⋅d→r=∫2π0→F(r(t))⋅r′(t)dt=∫2π01e2t(cost→i+sint→j)⋅(et(cost−sint)→i+et(sint+cost)→j)=∫2π01etdt=[−e−t]|2π0=1−e−2π
解答:
∫2π0∫√20∫√4−r2r3dzrdrdθ⇒r≤z≤√4−r2⇒x2+y2≤z2≤4−(x2+y2)⇒積分區域為半球(x2+y2+z2=4)與圓錐(x2+y2=z2)之間的空間,見上圖因此以球坐標表示為∫2π0∫π/40∫203ρ2sinϕdρdϕdθ
乙、計算、證明題:共3題,每題12分,共36分
解答:a.limn→∞|an+1an|=limn→∞|e−(n+1)2e−n2|=limn→∞|en2e(n+1)2|=limn→∞|1e2n+1|=0⇒收斂b.limn→∞sin(1/n)1/n=limn→∞(sin(1/n))′(1/n)′=limn→∞(1/n)′cos(1/n)(1/n)′=limn→∞cos(1/n)=1由於∞∑n=11n發散,因此∞∑n=1sin1n發散(極限比較審斂法)解答:g′(0)=limx→0g(x)−g(0)x−0=limx→0x2sin1x−0x=limx→0xsin1x由於−|x|≤xsin1x≤|x|⇒limx→0−|x|≤limx→0xsin1x≤limx→0|x|⇒0≤limx→0xsin1x≤0⇒limx→0xsin1x=0⇒g′(0)=0存在而limx→0g′(x)=limx→0(x2sin1x)′=limx→0(2xsin1x−cos1x)=limx→0(2xsin1x)−limx→0cos1x=0−limx→0cos1x不存在⇒g′(0)≠limx→0g′(x),故得證
解答:
解答:
拋物體x2+y+z2=2被平面z=0所截的表面積,相當於拋物線y2=x繞x軸旋轉的表面積y=√x⇒y′=12√x因此欲求之表面積=∫202π√x⋅√1+(12√x)2dx=∫202π√x+14dx=[43π(x+1/4)3/2]|20=13π3
========================== END ============================
解題僅供參考,其他轉學考試題及詳解
第7題答案是不是錯了 ,x^2+y^2應該會=e^2t吧
回覆刪除對!已修訂,謝謝!
刪除計算第三題是被平面y=0切,不是z=0
回覆刪除