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2024年4月6日 星期六

111年中正大學機械碩士班-工程數學詳解

國立中正大學111學年度碩士班招生考試

科目:工程數學
系所組別: 機械工程學系乙組

解答: (a)d3ydx3y=0λ31=0(λ1)(λ2+λ+1)=0λ=1,1±3i2yh=c1ex+ex/2(c2cos32x+c3sin32x)(b)yp=Aexyp=Aexyp=Aexyp=Aexypyp=2Aex=3exA=32yp=32exy=yh+ypy=c1ex+ex/2(c2cos32x+c3sin32x)32exy=c1ex+ex/2[(12c2+32c3)cos32x+(32c212c2)sin32x]+32exy=c1ex+ex/2[(12c232c3)cos32x+(32c212c3)sin32x]32exinitial conditions:{y(0)=0y(0)=1y(0)=0{c1+c23/2=0c1c2/2+3c3/2+3/2=1c1c2/23c3/23/2=0{c1=5/6c2=2/3c3=23/3y=56ex+ex/2(23cos32x233sin32x)32ex
解答: (a)L{y}L{y}=L{et}s2Y(s)3sY(s)=1s+1Y(s)=1(s+1)(s21)+3ss21=3s2+3s+1(s+1)(s21)=74(s1)+54(s+1)12(s+1)2y(t)=L1{Y(s)}=74L1{1s1}+54L1{1s+1}12L1{1(s+1)2}y(t)=74et+54et12tet(b)L{y}+2L{y}=L{2(u(t)u(t2))}sY(s)+2Y(s)=2s(1e2s)Y(s)=2s2+2s2e2ss2+2s=1s1s+2(1s1s+2)e2sy(t)=L1{Y(s)}y(t)=u(t)e2tu(t2)(1e2(t2))
解答: (a)f(s)=|2s11013s11113s10112s|R1R4R1,R2R4R2,R3R4R3|2s00s214s0s3104ss30112s|f(s)=(2s)|4s0s304ss3112s|(s2)|14s0104s011|=(s4)2(s2)2+2(s2)(s3)(s4)2(s2)(s4)=s410s3+32s232s,QED(b)f(s)=(s4)2(s2)2+2(s2)(s3)(s4)2(s2)(s4)=(s2)(s4)[(s2)(s4)+2(s3)2]=(s2)(s4)(s24s)=s(s2)(s4)2If f(s)=0, then s=0,2,4eigenvalues of M:0,2,4(c)det(M)=0M is NOT invertible(d)(M4I)v=0[2110111111110112][x1x2x3x4]=0{x1x4=0x2+x3+2x4=0v=x3[0110]+x4[1201]eigenvectors: [0110],[1201](e)M=[1101101210101101][0000020000400004][141414141200121414341414141414]Yes, M can be diagonalized.


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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解

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