113 年國立鳳山高級中學教師甄選初試筆試試題【數學科】
一、 填充題 配分:每題 6 分,共 72 分。全對才給分。 答題: 請標註題號並依題序作答
解答:$$\sqrt{2023}=17\sqrt 7=\sqrt m+\sqrt n \Rightarrow \cases{m =a\sqrt 7 \\ n=b\sqrt 7 \\ a+b=17,a,b\in \mathbb N} \\ \Rightarrow (a,b)=(1,16), (2,15),\dots, (15,2),(16,1), 共\bbox[red, 2pt]{16}組解$$解答:$$\left|\det(4\overrightarrow{OA}; 4\overrightarrow{OB}; 4\overrightarrow{OC})\right| -\left|\det(2\overrightarrow{OA}; 2\overrightarrow{OB}; 2\overrightarrow{OC})\right| =(4^3-2^3)\times 20= \bbox[red, 2pt]{1120}$$
解答:$$A=\begin{bmatrix}0 & 0 & -2 \\1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1 & 0 & -1 \\1 & 1 & 1 \\1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow A^n= \begin{bmatrix}-2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 2^n & 0 \\0 & 0 & 2^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1 & 0 & -1 \\1 & 1 & 1 \\1 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix}-2^n+2 & 0 & -2^{n+1}+2 \\ 2^n-1 & 2^n & 2^n-1 \\2^n-1 & 0 & 2^{n+1}-1 \end{bmatrix}}$$
解答:$$f(k)=\int_0^k \int_0^{\sqrt y} 1\,dxdy + \int_k^9 \int_{\sqrt y}^3 1\,dx dy={2\over 3}k^{3/2} +9-3k+{2\over 3}k^{3/2} =9+{4\over 3}k^{3/2}-3k \\ \Rightarrow f'(k)=2\sqrt k-3=0 \Rightarrow k={9\over 4} \Rightarrow f({9\over 4})={27\over 4} \Rightarrow \cases{\alpha=9/4\\ \beta=27/4} \Rightarrow \alpha+\beta= \bbox[red, 2pt]9$$
解答:$$\left\lfloor {x\over 2} \right\rfloor-\left\lfloor {x\over 3} \right\rfloor={x\over 7} 為一整數,因此x為7的倍數\\ 又{x\over 2}-{x\over 3}-1\lt {x\over 7} \lt {x\over 2}-{x\over 3}+1 \Rightarrow {x\over 6}-1\lt {x\over 7}\lt {x\over 6}+1 \Rightarrow -1\lt -{x\over 42}\lt 1\\ \Rightarrow -42\lt x\lt 42 \Rightarrow x=-35,-28,\dots,0,\dots, 35代回原式檢驗可得\\ x=-28,-14,-7,0,7,21 \Rightarrow \sum x=\bbox[red, 2pt]{-21}$$
解答:$$本題\bbox[red, 2pt]{送分}$$
解答:$$\cases{A(2,2)\\ B(0,8)\\ C(-16,16)} \Rightarrow \cases{\overline{AB}=2\sqrt{10}\\ \overline{BC}= 8\sqrt 5\\ \overline{CA}=2 \sqrt{130} \\重心M= (14/3,26/3)} \Rightarrow \cos B={40+320-520\over 160\sqrt 2} =-{1\over \sqrt 2} \\\Rightarrow \sin \angle B={1\over \sqrt 2} \Rightarrow \triangle ABC= {1\over 2}\cdot 2\sqrt {10} \cdot 8\sqrt 5 \cdot {1\over \sqrt 2}=40\\ \Rightarrow 重心繞x軸旋轉體積=(2\pi \cdot {26\over 3} \cdot 40 = \bbox[red, 2pt]{{2080\over 3}\pi}$$
解答:$$\begin{array}{} 連休三天&休休休營\bigcirc\bigcirc & 4\\ & 營休休休營\bigcirc & 2\\ & \bigcirc營休休休營& 2\\ & \bigcirc \bigcirc 休休休營& 4\\\hdashline 連休四天&休休休休營\bigcirc & 2\\ & 營休休休休營& 1\\ & \bigcirc 營休休休休& 2\\\hdashline 連休五天& 休休休休休營& 1\\ & 營休休休休休& 1\\\hdashline 連休六天& 休休休休休休& 1\\\hline & 合計&20 \end{array} \Rightarrow 開店數=2^6-20=\bbox[red, 2pt]{44}$$
解答:解答:$$條件1:所有數字都超過1:使用2,3任排,有2^4=16\\ 條件2:恰有1數字不超過2,其它三個數字都超過2,即X333任排,X=0,1,2, 有12種\\ 條件1\cap 條件2:1個2,3個3的排列,有4種\\ 因此共有
4^4-2^4-12+4= \bbox[red, 2pt]{232}$$
二、計算證明題 答題:請標註題號並依題序作答,切勿跳題回答,並完整說明。
解答:$$公式1:\tan(a+b)={\tan a+\tan b\over 1-\tan a\tan b} \Rightarrow \tan a\tan b\tan (a+b)= \tan(a+b)-\tan a-\tan b\\ 公式2: 若a+b=90^\circ \Rightarrow \tan a\cdot \tan b=1\\\begin{bmatrix}\tan 40^\circ & \tan 10^\circ &\tan 50^\circ \\ \tan 20^\circ & \tan 50^\circ &\tan 70^\circ\\\tan 10^\circ & \tan 70^\circ &\tan 80^\circ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\tan 40^\circ & \tan 10^\circ &\tan (10^\circ+40^\circ) \\ \tan 20^\circ & \tan 50^\circ &\tan (20^\circ+ 50^\circ) \\\tan 10^\circ & \tan 70^\circ &\tan (10^\circ+ 70^\circ) \end{bmatrix} \\ \xrightarrow{-C_1-C_2+C_3 \to C_3} \begin{bmatrix}\tan 40^\circ & \tan 10^\circ & -\tan 10^\circ -\tan 40^\circ +\tan (10^\circ+40^\circ) \\ \tan 20^\circ & \tan 50^\circ & -\tan 20^\circ- \tan 50^\circ+ \tan (20^\circ+ 50^\circ) \\\tan 10^\circ & \tan 70^\circ & -\tan 10^\circ- \tan 70^\circ+\tan (10^\circ +70^\circ) \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}\tan 40^\circ & \tan 10^\circ & \tan 10^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan (10^\circ+40^\circ) \\ \tan 20^\circ & \tan 50^\circ & \tan 20^\circ \cdot \tan 50^\circ\cdot \tan (20^\circ+ 50^\circ) \\\tan 10^\circ & \tan 70^\circ & \tan 10^\circ\cdot \tan 70^\circ \cdot \tan (10^\circ +70^\circ) \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix}\tan 40^\circ & \tan 10^\circ & \tan 10^\circ \\ \tan 20^\circ & \tan 50^\circ & \tan 50^\circ \\\tan 10^\circ & \tan 70^\circ & \tan 70^\circ \end{bmatrix} =\bbox[red, 2pt] 0$$解答:$$x^3+y^4=z^5 \Rightarrow 2^{60n+24} +y^4=2^{60n+25} \Rightarrow y^4=2^{60n+25}-2^{60n+24}=2^{60n+24}(2-1)=2^{60n+24}\\ \Rightarrow \cases{\log_2 x=20n+8\\ \log_2y =15n+6\\ \log_2 z=12n+5}\\ \Rightarrow 6\log_2 x-32\log_2 y+30\log_2 z=120n+48-480n-192+360n+150 =\bbox[red, 2pt] 6$$解答:$$f(x)=\sqrt{x-27}+\sqrt{40-x} +\sqrt x \Rightarrow f'(x)={1\over 2\sqrt{x-27}}- {1 \over 2\sqrt {40-x}}+ {1\over 2\sqrt{x}}\\ f'(x)=0 \Rightarrow {1\over \sqrt{40- x}} ={1\over \sqrt{x-27}} +{1\over \sqrt{x}} \Rightarrow x=36\; (註:{1\over 2}={1\over 3}+{1\over 6})\\ f(36)=\sqrt{9}+ \sqrt{4}+ \sqrt{36}=3+2+6=11,即最大值為\bbox[red,2pt]{11}$$
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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
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