113年花蓮女中教甄-數學詳解

國立花蓮女中 113 學年度教師甄選 數學科 初試 試題卷

一、填充題（每題 5 分，共 35 分）

解答:$$x^2+y^2=1 \Rightarrow \cases{x=\cos \theta\\y=\sin \theta} \Rightarrow (x+y)(x+3y) = (\cos\theta+ \sin \theta)(\cos \theta+ 3\sin \theta) \\=\cos^2\theta+3\sin^2\theta+4\cos \theta\sin \theta=1+2\sin^2\theta+2\sin 2\theta=1+1-\cos 2\theta+2\sin 2\theta \\= \sqrt 5(\sin(2\theta-\alpha)+2 最大值= \bbox[red, 2pt]{\sqrt 5+2}$$

$$\begin{array}{|ll|}\hline 2.& 袋中有編號 1,2,3,…,50 的球各一個，今自袋中任取 3 球，令隨機變數 X 表所取出球中\\&號碼之最大值，則 X 之期望值E(X) =\text{ __} 。\\\hline\end{array}$$

解答:$${1\over C^{50}_3} \sum_{k=3}^{50} kC^{k-1}_2 ={1\over 2C^{50}_3} \sum_{k=3}^{50} k(k-1)(k-2) ={1\over 2C^{50}_3} \sum_{k=3}^{50} (k^3-3k^2+2k)\\ ={1\over 2C^{50}_3}(162516-128760+2544)= \bbox[red, 2pt]{153\over 4}$$

解答:$$假設\omega為f(x)=0的根,則\omega^6=1\\ 令g(x)=f(x^{12})= x^{60}+ x^{48}+ x^{36}+ x^{24}+x^{12}+1 \Rightarrow g(\omega)= 1+1+1+1+1+1= \bbox[red, 2pt]{6}$$

$$\begin{array}{|ll|}\hline 4.& 設函數f(x,y)=x^2-xy+y^2+2x-3y+5，當數對(x,y) =\text{ __ }時，f(x,y)有最小值 。\\\hline\end{array}$$

解答:$$f(x,y)=x^2-xy+y^2+2x-3y+5 \Rightarrow \cases{f_x=2x-y+2\\ f_y=-x+2y-3} \\ \cases{f_x=0\\ f_y=0} \Rightarrow \cases{2x-y=-2\\ -x+2y=3} \Rightarrow \cases{x=-1/3\\ y=4/3} \Rightarrow (x,y)= \bbox[red, 2pt]{ \left(-{1\over 3},{4\over 3} \right)}$$

$$\begin{array}{|ll|}\hline 5.& 設複數z為方程式x^4+4\sqrt 2 x^3i-12x^2-8\sqrt 2xi-4i=0之根(其中i=\sqrt{-1})，\\&則|z+\sqrt 2i| =\text{ __ } 。\\\hline\end{array}$$

解答:$$(x+\sqrt 2i)^2=(x^2+ 2\sqrt 2 xi-2) \Rightarrow (x+\sqrt 2i)^4= x^4+ 4\sqrt 2x^3 i-12x^2-8\sqrt 2xi+4\\ \Rightarrow 原式f(x)=(x+\sqrt 2i)^4-4+4i \Rightarrow f(z)=0 \Rightarrow (z+\sqrt 2i)^4-4+4i=0 \\ \Rightarrow (z+\sqrt 2 i)^4 =4-4i \Rightarrow |(z+\sqrt 2i)^4|= \sqrt{32}=2^{5/2} \Rightarrow |z+\sqrt 2 i|= \bbox[red, 2pt]{2^{5/8}}$$

$$\begin{array}{|ll|}\hline 6.& 在銳角\triangle ABC中，若 \sin A=2\sin B\cdot \sin C，則\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C的最小值為\text{ __ } 。\\\hline\end{array}$$

解答:$$\sin A=\sin(B+C)= \sin B\cos C+\sin C\cos B=2\sin B\sin C\\ 上式同除\cos B\cos C \Rightarrow \tan B+\tan C=2\tan B\tan C\\ 又\tan A=-\tan(B+C)= -{\tan B+\tan C\over 1-\tan B\tan C} =-{2\tan B \tan C\over 1-\tan B\tan C} \\ \Rightarrow \tan A\cdot \tan B\cdot \tan C= {2\tan^2 B \tan^2 C\over \tan B\tan C-1} =2\left(\tan B\tan C-1+{1\over \tan B\tan C-1} \right)+4 \\ \ge2\cdot 2+4 =\bbox[red, 2pt]8$$

$$\begin{array}{|ll|}\hline 7.& 設坐標空間中有一平面E:6x-2y-3z+7=0，而E上有四點O,A,B,C，與法向量\\ & \vec n=(6,-2,-3)。而E,O,A,B,C,\vec n的相對位置如示意圖，其中\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCA\\&的面積分別為為14,7,42，且\overrightarrow{OA}=(a_1,a_2,a_3), \overrightarrow{OB}=(b_1,b_2,b_3), \overrightarrow{OC}= (c_1,c_2,c_3)，則\\ & \begin{vmatrix} 4& a_1& a_2\\ 5& b_1& b_2\\ 2& c_1& c_2\end{vmatrix}= \text{ __ } 。\\\hline\end{array}$$

解答:$$\cases{\vec n=(6,-2,-3) \Rightarrow |\vec n| =7 \\\triangle OAB=14={1\over 2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}|\\\triangle OBC=7= {1\over 2}|\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC}|\\ \triangle OCA=42 = {1\over 2}|\overrightarrow{OC} \times \overrightarrow{OA}|} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}=4\vec n =(24,-8,-12)\\ \overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC}=2\vec n =(12,-4,-6)\\ \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC} =12\vec n =(72,-24,-36)} \\ \Rightarrow \cases{(a_2b_3-a_1b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1) =(24,-8,-12) \\(b_2c_3-b_1c_2,b_3c_1-b_1c_3,b_1c_2-b_2c_1)=(12, -4,-6) \\ (c_2a_3-c_1a_2,c_3a_1-c_1a_3,c_1a_2-c_2a_1)=(72,-24,-36)} \\\Rightarrow \cases{\begin{vmatrix} a_1& a_2\\ b_1& b_2\end{vmatrix} =-12 \\\begin{vmatrix} b_1& b_2\\ c_1& c_2\end{vmatrix} =-6\\ \begin{vmatrix} c_1& c_2\\ a_1& a_2\end{vmatrix} = -36} \Rightarrow \begin{vmatrix} 4&a_1& a_2\\ 5& b_1& b_2 \\ 2&c_1& c_2\end{vmatrix} = 4\begin{vmatrix} b_1& b_2\\ c_1& c_2\end{vmatrix} -5 \begin{vmatrix} a_1& a_2\\ c_1& c_2\end{vmatrix} +2\begin{vmatrix} a_1& a_2\\ b_1& b_2\end{vmatrix} \\=-24-180-24= \bbox[red, 2pt]{-228}$$

=========================== END ===========================