113年消防三等-微積分詳解

113年一般警察人員考試

考 試 別：一般警察人員考試
等 別：三等考試
類科組別：消防警察人員
科 目：微積分

解答:$$\cases{f(x)={1\over 1-x}\\ g(x) =\sqrt{x^2-1}} \Rightarrow\cases{ f \circ g=f(g(x))= f(\sqrt{x^2-1}) ={1\over 1-\sqrt{x^2-1}} \\g \circ f=g(f(x))= g({1\over 1-x}) =\sqrt{{1\over (1-x)^2}-1}} \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{f\circ g={1+\sqrt{x^2-1} \over 2-x^2}, g\circ f={ \sqrt{x(2-x)}\over 1-x}}$$

解答:$$令f(x)=x^3+x^2-1, 則\cases{f(-1)=-1\\ f(1)=1} ,而-1\lt 0\lt 1, 且f(x)在區間[-1,1]連續,\\ 依中間值定理,存在x_0\in (-1,1),使得f(x_0)=0,即至少有一個解. \bbox[red, 2pt]{QED}$$

解答:$$y=\ln (\sin^{-1}(x^2+1)) \Rightarrow {dy\over dx}={ {2x\over \sqrt{1-(x^2+1)^2}}\over \sin^{-1}(x^2+1)} = \bbox[red, 2pt]{2\over \sqrt{-(x^2+2)} \cdot \sin^{-1}(x^2+1)}$$

解答:$$1在區間[0,2]內,不在端點上,且圖形y=f(x)為凹向上,因此f(1)=2是\bbox[red, 2pt]{最小值}\\ 而f(x)=x^2+px+ {p^2\over 4}+q-{p^2\over 4} =(x+{p\over 2})^2+ q-{p^2\over 4} \\ \Rightarrow f(-p/2)=q-{p^2\over 4} \Rightarrow \cases{-p/2=1\\ q-p^2/4=2} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{p=-2\\q=3}}$$

解答:$${dx\over dy}=\sqrt{2x+1} \Rightarrow y=\int {1\over \sqrt{2x+1}}\,dx =\sqrt{2x+1}+c \\ y(3)=1 \Rightarrow 1=\sqrt{7}+c \Rightarrow c=1-\sqrt 7 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=\sqrt{2x+1}+1-\sqrt 7}$$

解答:$$體積=\int y^2 \pi\,dx= \pi\int_1^4 (x+1)\,dx =\pi \left.\left[ {1\over 2}x^2+x\right] \right|_1^4 =\bbox[red, 2pt]{{21\over 2}\pi}$$
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