113年桃園市國中教甄聯招-數學詳解

桃園市113年國民中學新進教師甄選【 專門科目：數學科】試 題卷

單一選擇題：請依照題意，從四個選項中選出一個正確或最佳的答案(共 25 題，每題 4 分，合計 100 分)

 

解答:$$f(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow \cases{f(0)=3\\ f(1)=6\\ f(2)=11} \Rightarrow \cases{c=3\\ a+b+c=6\\ 4a+2b+c=11} \Rightarrow \cases{a+b=3\\ 4a+2b=8} \\ \Rightarrow \cases{a=1\\ b=2\\ c=3}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$假設\cases{未作答a題\\ 答對b題\\ 答錯40-a-b題} \Rightarrow 13b-10(40-a-b)=23\\ \Rightarrow 10a+23b=377 \Rightarrow b=9 \Rightarrow a=17，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$7個數依序為2,3,3,4,5,7,8\\ (A)若另一個數為3,則中位數=(3+4)/2=3.5\\ (B)若另一個數為4,則中位數=(4+4)/2=4\\(C) 若另一個數為5,則中位數=(4+5)/2=4.5\\\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{{1\over 4}={ 33\over 132} \\ {1\over 3}={44\over 132}} \Rightarrow {33\over 132}\lt {a\over 132}\lt {44\over 132} \Rightarrow a=35,37,41,43,共4個，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\overline{AB}是直徑\Rightarrow \angle ACB=90^\circ \Rightarrow \angle CAB= 90^\circ-\angle ABC=90^\circ-27^\circ=63^\circ \\對同弧的圓周角相等\Rightarrow \angle BDC=\angle CAB=63^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:

$$假設\overline{AE}=a,\overline{BC}=h, \overline{AF}\bot \overline{CD}\\ 在直角\triangle CDE中, \overline{DE}= \sqrt{\overline{CD}^2-\overline{CE}^2} =9 \Rightarrow \overline{AF}^2= h^2= (a+9)^2-6^2\\ 在直角\triangle AEC中, \overline{CE}^2= \overline{AC}^2-\overline{AE}^2 \Rightarrow 144= 9^2+h^2-a^2 = 9^2+((a+9)^2-6^2)-a^2 \\ \Rightarrow 144=18a+126 \Rightarrow a=1，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$平行四邊形ABCD面積=14\times 10\times \sin 45^\circ=70\sqrt 2 \Rightarrow \triangle AED面積={1\over 2}ABCD面積=35\sqrt 2\\ \Rightarrow \triangle AEF面積=3\triangle AED=3\times 35\sqrt 2=105\sqrt 2，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$假設該凸邊形有n個邊,則內角總和=(n-2)180,減去A角後,即(n-2)180-A=3680\\ \Rightarrow A=(n-2)180-3680 \Rightarrow \cases{n=22 \Rightarrow A=-80\\ n=23 \Rightarrow A=100 \\ n=24 \Rightarrow A=280}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$假設三邊長為a,b,c，第三邊上的高為h，則6a=18b=h\cdot c\\(A)h=4 \Rightarrow 6\times 24=   18\times 8= 36\times 4 \Rightarrow 三邊長24,8,36不符合24+8\gt 36\\ (B) h=5 \Rightarrow 6\times 30=18\times 10=36\times 5 \\(C)h=7 \Rightarrow 6\times 42=18\times 14=36\times 7\\ (D) h=8 \Rightarrow 6\times 48=18\times 16= 36\times 8\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\begin{array}{r|cccccc } & 7^1& 7^2 & 7^3 &7^4 & 7^5& 7^6 \\ \hline個位數字& 7 & 9 & 3& 1& 7& 9 \end{array} \Rightarrow 循環數=4 \\ \Rightarrow 7^{355} = 7^{88\cdot 4+3} 的個位數字=7^3 的個位數字=3 \\ \Rightarrow (7^{355}+34)^{34} 的個位數字=(3+34)^{34} 的個位數字= (37)^{34} 的個位數字 \\= 7^{34} 的個位數字 =7^{4\cdot 8+2} =7^2的個位數字=9，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$H^6_4= C^{9}_4= 126，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$A=2.3171717\cdots \Rightarrow \cases{10A=23.171717\cdots\\ 1000A=2317.171717\cdots} \Rightarrow 1000A-10A=2317-23\\ \Rightarrow 990A=2294 \Rightarrow A={2294\over 990} ={1147\over 495}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\det(A)=18+30+2-30-4-9=7，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\sum_{n=1}^\infty {1\over n(n+3)} =\sum_{n=1}^\infty {1\over 3}\left( {1\over n }-{1\over n+3} \right)\\= {1\over 3}\left( 1-{1\over 3}+ {1\over 2} -{1\over 5}+ {1\over 3}-{1\over 6} +{1\over 4}- {1\over 7}+ {1\over 5}-{1\over 8}\cdots\right) ={1\over 3}\left(1+{1\over 2}+{1\over 3}  \right) \\={11\over 18}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$${4n-16\over n-7} =4+{12\over n-7} \in \mathbb Z \Rightarrow n-7= \pm 1,\pm 2, \pm 3, \pm 4,\pm 6,\pm 12, 共12個，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:

$$d=\sqrt{x^2-12x+37} +\sqrt{x^2-8x+17} =\sqrt{(x-6)^2+(0-1)^2} +\sqrt{(x-4)^2+(0-1)^2} \\ =\overline{PA}+ \overline{PB}, 其中\cases{P(x,0)在x軸上\\ A(6,1)\\ B(4,1)} \Rightarrow d的最小值=\overline{AB'}, B'為B對稱x軸的對稱點,即B'(4,-1)\\ \Rightarrow \overline{AB'}= \sqrt{(6-4)^2 +(1-(-1)^2} =\sqrt 8=2\sqrt 2，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$y=\sin x+\cos x=-\sqrt 2\left(- {1\over \sqrt 2}\sin -{1\over \sqrt 2} \cos x\right)= -\sqrt 2\left( \cos{5\pi\over 4}\sin x+ \sin{5\pi\over 4} \cos x\right) \\= -\sqrt 2 \sin(x+{5\pi\over 4}) \Rightarrow r=-\sqrt 2,\alpha={5\pi\over 4}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$圓C: x^2+y^2=1 \Rightarrow \cases{圓心O(0,0)\\ 半徑r=1} \Rightarrow 最短距離=d(O,L)-r \\={3\over \sqrt 2}-1={3\sqrt 2\over 2}-1，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\det(A-\lambda I)=(\lambda-1)^2=0 \Rightarrow 取\cases{f(x)=x^{2023} \\ r(x)=ax+b} \Rightarrow \cases{f'(x)=2023x^{2022}\\ r'(x)=a} \\ \Rightarrow \cases{f(1)= r(1)\\ f'(1)=r'(1)} \Rightarrow \cases{1=a+b\\ 2023=a} \Rightarrow b=-2022 \Rightarrow r(x)=2023x-2022 \\ \Rightarrow f(A)=r(A) \Rightarrow A^{2023}=2023A-2022I \\  同理可得A^{2024}=2024A-20232I \Rightarrow A^{2024}-A^{2023}=A-I=\begin{bmatrix}5 & -5 \\5 & -5 \end{bmatrix}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\alpha,\beta為x^2+x+1=0的兩根\Rightarrow \cases{\alpha+\beta=-1 \\ \alpha^3=\beta^3=1} \Rightarrow \alpha^7+\beta^7= \alpha+\beta=-1，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{L_1:4x+5y-13=0\\ L_2:5x+4y-14=0} \Rightarrow \cases{L_1的方向向量\vec u=(4,5)\\ L_2的方向向量\vec v=(5,4)\\ P=L_1\cap L_2=(2,1)} \\ \Rightarrow 角平分線經過P且方向向量=\vec u+ \vec v=(9,9) \Rightarrow x+y=3，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\lim_{z\to i}{z^4-1\over z-i} =\lim_{z\to i}{(z^2-1)(z+i)(z-i)\over z-i} = \lim_{z\to i} (z^2-1)(z+i) =-2\cdot 2i=-4i，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$f(x)=-32(1+x^2)^{-3/2} \Rightarrow f'(x)=48(1+x^2)^{-5/2}\cdot 2x \Rightarrow f'(\sqrt 3)=48(1+  3)^{-5/2}\cdot 2\sqrt 3 \\={48\over 2^5} \cdot 2\sqrt 3= 3\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$u=1+x^2 \Rightarrow du=2xdx \Rightarrow \int_0^1 x(1+x^2)^3\,dx = \int_1^2{1\over 2}u^3 du =\left. \left[ {1\over 8}u^4\right] \right|_1^2 \\=2-{1\over 8}={15\over 8}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$\cases{x=5-y^2\\ x=y+3}  \Rightarrow 5-y^2=y+3 \Rightarrow y^2+y-2=0 \Rightarrow \cases{y=1\\ y=-2} \Rightarrow \cases{x=4 \\ x=1} \\ \Rightarrow 兩圖形的交點\cases{A(4,1)\\ B(1,-2)} \Rightarrow 所圍面積= \int_{-2}^1 ((5-y^2)-(y+3))\,dy \\=\int_{-2}^1 (-y^2-y+2)\,dy =\left. \left[ -{1\over 3}y^3-{1\over 2}y^2+2y \right] \right|_{-2}^1 ={7\over 6}-(-{10\over 3})={9\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解