國立高雄師範大學113學年度暑假轉學生招生考試
系所別:電子工程學系 二年級
科 目:微積分(全一頁)
解答:(a) limx→01−cosxx=limx→0(1−cosx)′(x)′=limx→0sinx1=0(b) limx→∞2x2−4xx+1=limx→∞(2x−6+6x+1)=∞解答:f(x)=9(x2−3)x3⇒f′(x)=18xx3−27(x2−3)x4=−9x2+81x4
解答:3(x2+y2)2=100xy⇒6(x2+y2)(2x+2yy′)=100(y+xy′)⇒6(32+12)(2⋅3+2⋅1⋅y′)=100(1+3y′)⇒60(6+2y′)=100(1+3y′)⇒y′=139
解答:x2(x2+y2)=y2⇒2x(x2+y2)+x2(2x+2yy′)=2yy′⇒√2⋅1+12(√2+√2y′)=√2y′⇒3√22=√22y′⇒y′=3⇒ tangent line: y=3(x−√22)+√22⇒3x−y=√2
解答:(a) u=x2+4⇒du=2xdx⇒∫x34√4+x2dx=∫(u−4)4√u⋅12du=∫(18√u−12√u)du=112u3/2−√u+c1=112(x2+4)3/2−√x2+4+c1(b) ∫cos5xcos3xdx=12∫(cos8x+cos2x)dx=12(18sin8x+12sin2x)+c1=116sin8x+14sin2x+c1(c) {u=exdv=sinxdx⇒{du=exdxv=−cosx⇒∫exsinxdx=−excosx+∫excosxdx=−excosx+exsinx−∫exsinxdx⇒2∫exsinxdx=ex(sinx−cosx)+c1⇒∫exsinxdx=12ex(sinx−cosx)+c2(d){u=lnxdv=xdx⇒{du=dx/xv=x2/2⇒∫xlnxdx=12x2lnx−∫x2dx=12x2lnx−14x2+c1⇒∫10xlnxdx=[12x2lnx−14x2]|10=−14(e) ∫π/20∫cosx0(1+sinx)dydx=∫π/20cosx(1+sinx)dx=∫π/20(cosx+12sin2x)dx=[sinx−14cos2x]|π/20=54−(−14)=32
解答:(a) f(x)=x2⇒f′(x)=2x⇒ arc length: ∫√20√1+(f′(x))2dx=∫√20√1+4x2dxLet 2x=tanθ,then 2dx=sec2θdθ⇒I=∫√1+4x2dx=∫√1+tan2θ⋅12sec2θdθ=12∫sec3θdθ,now let{u=secθdv=sec2θdθ then {du=secθtanθdθv=tanθ⇒I=12(secθtanθ−∫secθtan2θdθ)=12secθtanθ−12∫secθ(sec2θ−1)dθ=12secθtanθ−I+12∫secθdθ⇒2I=12secθtanθ+12ln|tanθ+secθ|⇒I=14(secθtanθ+ln|tanθ+secθ|) arc length= 14[secθtanθ+ln|tanθ+secθ|]|tan−12√20=32√2+14ln(2√2+3)(b) 表面積I=∫√202πx⋅√1+4x2dxu=1+4x2⇒du=8xdx⇒I=∫9114π√udu=[π6u3/2]|90=133π
解答:f(x)=1x⇒{f(1)=1f′(x)=−1/x2⇒{f′(1)=−1f″(x)=2/x3⇒{f″(1)=2f‴(x)=−6/x4⇒f‴(1)=−6f(x)=f(1)+(x−1)f′(1)+12(x−1)2f″(1)+16(x−1)3f‴(1)+⋯=1−(x−1)+(x−1)2−(x−1)3+⋯
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解題僅供參考,轉學考歷年試題及詳解
第六題的(b),最後面積分範圍錯了,故答案不對.
回覆刪除範圍是什麼呢? 看半天看不出來!!
刪除就是u是從1到9,其實一開始就有寫出來,應是沒注意到
刪除喔! 看出來了, 謝謝,已修訂
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