國立高雄大學 113 學年度研究所碩士班招生考試試題
科目:微積分
系所:統計學研究所(無組別)
解答:(1) sin−1x=∫x01√1−t2dt=∫x0∞∑n=0(−1)n(−1/2n)t2ndx=∫x0∞∑n=0(2n)!22n(n!)2t2ndx=∞∑n=0∫x0(2n)!22n(n!)2t2ndx=∞∑n=0(2n)!22n(n!)2(2n+1)x2n+1(2) {x(t)=costy(t)=sint⇒{x′(t)=−sinty′(t)=cost,0≤t≤π2⇒∫Cxyds=∫π/20costsint√(−sint)2+cos2tdt=12∫π/20sin2tdt=[−14cos2t]|π/20=12解答:(1) limx→−∞(√x2+2x−x)=limx→∞(√x2−2x+x)=∞(2) x2+y2=1⇒2x+2yy′=0⇒y′=−xy⇒y′(35,45)=−34⇒切線方程式:y=−34(x−35)+45⇒3x+4y=5(3) ddx∫x20t3sintdt=x6sinx2⋅(2x)=2x7sinx2(4) u=e2x⇒du=2e2xdx⇒∫e2x1+e4xdx=∫1/21+u2du=12tan−1u+c1=12tan−1e2x+c1(5) L=(n−1n+1)n=enlnn−1n+1⇒lnL=nlnn−1n+1⇒limn→∞lnL=limn→∞lnn−1n+11n=limn→∞(lnn−1n+1)′(1n)′=limn→∞2n2−1−1n2=limn→∞(−2n2n2−1)=−2⇒limn→∞L=e−2(6) F=x2a2+y2b2+z2c2−1=0⇒{∂∂xF=2xa2∂∂zF=2zc2⇒∂z∂x=−∂∂xF∂∂zF=−c2xa2z(7) an=xnn⇒limn→∞|an+1an|=limn→∞|xn+1n+1⋅nxn|=|x|<1⇒收斂半徑=1
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解題僅供參考,碩士班歷年試題及詳解
第一大題的(1) 他要問的是arcsin的不是arctan
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