107年公務人員普通考試--微積分 詳解

107年公務人員普通考試

類 科 ：天文、氣象

微積分 詳解

解： $$\lim _{ n\to \infty  }{ \left( 4n\ln { \left( 1+\frac { 1 }{ 2n }  \right)  }  \right)  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { \ln { \left( 1+\frac { 1 }{ 2n }  \right)  }  }{ \frac { 1 }{ 4n }  }  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { -\frac { 1 }{ n\left( 2n+1 \right)  }  }{ \frac { 1 }{ -4n^{ 2 } }  }  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { 4n^{ 2 } }{ n\left( 2n+1 \right)  }  } =2\\ \Rightarrow \lim _{ n\to \infty  }{ { \left( 1+\frac { 1 }{ 2n }  \right)  }^{ 4n } } =\lim _{ n\to \infty  }{ { e }^{ 4n\ln { \left( 1+\frac { 1 }{ 2n }  \right)  }  } } =\bbox[red,2pt]{{ e }^{ 2 }}$$

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解：
(一) $$\frac { d }{ dx } \left( x^{ 2 }+x-xy^{ 3 }+2y+2 \right) =0\Rightarrow 2x+1-y^{ 3 }-3xy^{ 2 }\frac { dy }{ dx } +2\frac { dy }{ dx } =0\\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { -2x-1+y^{ 3 } }{ 2-3xy^{ 2 } } \left. \Rightarrow \frac { dy }{ dx }  \right| _{ (1,2) }=\frac { -2-1+8 }{ 2-12 } =-\frac { 1 }{ 2 } \\ \Rightarrow 切線方程式:\left( y-2 \right) =-\frac { 1 }{ 2 } \left( x-1 \right) \Rightarrow \bbox[red,2pt]{x+2y=5}$$ (二) $$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 1-x } =1+x+x^{ 2 }+\cdots +x^{ n }+\cdots \Rightarrow f^{ [n] }\left( 0 \right) =\bbox[red,2pt]{n!}$$

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解： $$f\left( x,y \right) =x^{ 2 }+y^{ 2 }-3y+2\Rightarrow \begin{cases} f_{ x }=2x \\ f_{ y }=2y-3 \end{cases}\Rightarrow \nabla f\left( 2,3 \right) =\left( f_{ x }\left( 2,3 \right) ,f_{ y }\left( 2,3 \right)  \right) =\left( 4,3 \right) \\ \Rightarrow \left| \nabla f\left( 2,3 \right)  \right| =\sqrt { 4^{ 2 }+3^{ 2 } } =\bbox[red,2pt]{5}$$

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解： $$f\left( x \right) =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2-x } =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \cdot \frac { 1 }{ 1-\frac { x }{ 2 }  } =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } \left( 1+\frac { x }{ 2 } +{ \left( \frac { x }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { x }{ 2 }  \right)  }^{ 3 }+\cdots  \right) \\ =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } +\frac { { x }^{ 3 } }{ { 2 }^{ 2 } } +\frac { { x }^{ 4 } }{ { 2 }^{ 3 } } +\cdots +\frac { { x }^{ n } }{ { 2 }^{ n-1 } } +\cdots \\ \Rightarrow f^{ [n] }\left( 0 \right) =\begin{cases} \frac { { n! } }{ { 2 }^{ n-1 } }  & n\ge 2 \\ 0 & 0\le n\le 1 \end{cases}\\ \Rightarrow f\left( x \right) =f\left( 0 \right) +\frac { f'\left( 0 \right)  }{ 1 } x+\frac { f''\left( 0 \right)  }{ 2! } x^{ 2 }+\frac { f'''\left( 0 \right)  }{ 3! } x^{ 3 }+\cdots \\ =0+0+\frac { 2! }{ 2\cdot 2! } x^{ 2 }+\frac { 3! }{ 2^{ 2 }\cdot 3! } x^{ 3 }+\cdots +\frac { { n! } }{ { 2 }^{ n-1 }\cdot n! } x^{ n }+\cdots \\ =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 } { x^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2^{ 2 } } x^{ 3 }+\cdots +\frac { { 1 } }{ { 2 }^{ n-1 } } x^{ n }+\cdots  }}$$

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解：
(一) $$\int _{ 0 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ x^{ 2 }-3x-10 }  } dx=\frac { 1 }{ 7 } \int _{ 0 }^{ 2 }{ \left( \frac { 1 }{ x-5 } -\frac { 1 }{ x+2 }  \right)  } dx=\frac{1}{7}\left. \left[ \ln { \left| x-5 \right|  } -\ln { \left| x+2 \right|  }  \right]  \right| ^{ 2 }_{ 0 }\\ =\frac{1}{7}\left(\left( \ln { 3 } -\ln { 4 }  \right) -\left( \ln { 5 } -\ln { 2 }  \right)\right) =\frac{1}{7}\left(\ln { \frac { 3 }{ 4 }  } -\ln { \frac { 5 }{ 2 }  }\right) =\bbox[red,2pt]{\frac{1}{7}\ln { \frac { 3 }{ 10 }  }}$$ (二) $$\begin{cases} x=r\cos { \theta  }  \\ y=r\sin { \theta  }  \end{cases}\Rightarrow \iint _{ R }{ xy^{ 2 } } dA=\int _{ -\frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \int _{ 1 }^{ 2 }{ r^{ 4 }\cos { \theta  } \sin ^{ 2 }{ \theta  }  }  } drd\theta =\int _{ -\frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \left. \left[ \frac { 1 }{ 5 } r^{ 5 }\cos { \theta  } \sin ^{ 2 }{ \theta  }  \right]  \right| ^{ 2 }_{ 1 } } d\theta \\ =\frac { 31 }{ 5 } \int _{ -\frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \cos { \theta  } \sin ^{ 2 }{ \theta  }  } d\theta =\frac { 31 }{ 5 } \int _{ -\frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \left( \cos { \theta  } -\cos ^{ 3 }{ \theta  }  \right)  } d\theta =\frac { 31 }{ 5 } \left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } \sin { \theta  } -\frac { 1 }{ 3 } \cos ^{ 2 }{ \theta  } \sin { \theta  }  \right]  \right| ^{ \pi /2 }_{ -\pi /2 }\\ =\frac { 31 }{ 5 } \left( \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 3 }  \right) =\bbox[red,2pt]{\frac { 62 }{ 15 }}$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考