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2024年1月11日 星期四

111年北科大製造科技碩士班-微分方程詳解

國立臺北科技大學111學年度碩士班招生考試

系所組別 :1201製 造科技研究所 
第一節 微分方程 試題 (選考)

解答{P(x,y)=4yQ(x,y)=x+12xy{Py=4Qx=1+12yPyQxNot exactu=PyQxPu=(334y)uu=y3/4e3y{uP=4y1/4e3yuQ=xy3/4e3y+12xy1/4e3y(uP)y=(uQ)x=y3/4e3y+12y1/4e3yΦ(x,y)=4y1/4e3ydx=xy3/4e3y+12xy1/4e3ydy4xy1/4e3y+ϕ(y)=4xy1/4e3y+ρ(x)4xy1/4e3y+c1=0
解答1+2xtany+(x2xtany)y=0(1+2xtany)dx+(x2xtany)dy=0{P(x,y)=1+2xtanyQ(x,y)=x2xtanyPyQx Not Exactu=QxPyPu=tanyuu=c1cosy{uP=c1cosy(1+2xtany)uQ=c1cosy(x2xtany)Φ(x,y)=cos(y)(1+2xtany)dx=cos(y)(x2xtany)dycosy+2xsinydx=x2cosyxsinydyxcosy+x2siny+ϕ(y)=x2siny+xcosy+ρ(x)xcosy+x2siny+c1=0y(1)=π1+c1=0c1=1xcosy+x2siny=1
解答y+y=y2dyy2y=dxln(y1)lny=x+c1y1y=c2exy=11c2exy(0)=11c2=13c2=4y=114ex
解答y+3y+3y+y=0λ3+3λ2+3λ+1=0(λ+1)3=0λ=1yh=ex(c1+c2x+c3x2)yp=Ax3exyp=3Ax2exAx3exyp=6Axex6Ax2ex+Ax3exyp=6Aex18Axex+9Ax2exAx3exyp+3yp+3yp+yp=6Aex=30exA=5yp=5x3exy=yh+yp=ex(c1+c2x+c3x2+5x3)y(0)=c1=3y=ex(c23+(2c3c2)x+(15c3)x25x3)y(0)=c23=3c2=0y=ex(2c3+3+(304c3)x+(c330)x2+5x3)y(0)=2c3+3=47c3=25y=ex(325c2+5x3)
解答L{y}+3L{y}4L{y}=(s4Y(s)s3y(0)s2y(0)sy(0)y(0))+3(s2Y(s)sy(0)y(0))4Y(s)=0(s4+3s24)Y(s)=1010s2Y(s)=10(s21)(s2+4)(s21)Y(s)=10s2+4y(t)=L1{Y(s)}=5L1{2s2+22}=5sin(2t)y=5sin(2t)
 

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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解

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