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2024年1月16日 星期二

111年北科大電子工程碩士班-工程數學詳解


 國立臺北科技大學 l11學 年度碩 士班招生考試

系所組別 :2220 電子工程系碩士班乙組
第一節 工程數學 試題

 解答(a)μ=E(X)=213+312+1116=16(4+9+11)=4E(X2)=413+912+12116=16(8+27+121)=26σ2=var(X)=E(X2)(E(X))2=2616=10(b)μ=E(X)=10.4+30.1+40.2+50.3=3E(X2)=10.4+90.1+160.2+250.3=12σ2=var(X)=E(X2)(E(X))2=1232=3

解答E(X)=xf(x)dx=20xx2dx=43E(X2)=x2f(x)dx=20x2x2dx=2var(X)=E(X2)(E(X))2=2169=29


解答fXY(x,y){fX(x)=fXY(x,y)dyfY(y)=fXY(x,y)dxFZ(z)=P(Zz)=P(XYz)=P(XYz,X0)+P(XYz,X0)=P(Yz/X,X0)+P(Yz,X0)=0fX(x)z/xfY(y)dydx+0fX(x)z/xfY(y)dydxpdf of Z=fZ(z)=ddzFZ(z)=0fX(x)fY(z/x)1|x|dx+0fX(x)fY(z/x)1|x|dx=fX(x)fY(z/x)1|x|dx, where {fX(x)=fXY(x,y)dyfY(y)=fXY(x,y)dx


解答(a){fX(X=1)=0.1+0.2+0.2=0.5fX(X=3)=0.3+0.1+0.1=0.5{fX(X=1)=0.5fX(X=3)=0.5{fY(Y=3)=0.1+0.3=0.4fY(Y=2)=0.2+0.1=0.3fY(Y=4)=0.2+0.1=0.3{fY(Y=3)=0.4fY(Y=2)=0.3fY(Y=4)=0.3(b){μx=E(X)=10.5+30.5=2μy=E(Y)=(3)0.4+20.3+40.3=0.6,E(XY)=1(3)0.1+120.2+140.2+3(3)0.3+320.1+340.1=0Cov(X,Y=E(XY)μxμy=020.6=1.2(c){E(X2)=10.5+90.5=5E(Y2)=90.4+40.3+160.3=9.6{Var(X)=E(X2)μ2x=522=1Var(Y)=E(Y2)μ2y=9.60.62=9.24ρ=Cov(X,Y)σxσy=1.219.24=0.395(d)Cov(X,Y)0NOT independent


解答moment generating function of X:M(t)M[k](0)=E(Xk)=0.8M(t)=0.8et
解答64+320+7212812096=456344=112


解答(a)A=[2012168]det(A)=32A1=132[8121620]=[1/43/81/25/8]
解答(a)A=[6639]det(AλI)=(λ3)(λ12)=0λ=3,12λ1=3(Aλ1I)v=0[3636][x1x2]=0x1+2x2=0v=x2[21],v1=[21]λ2=12λ=3,12λ2=12(Aλ2I)v=0[6633][x1x2]=0x1=x2v=x2[11],v2=[11]eigenvalues: 3,12 and eigenvectors: [21],[11](b)A=[004242206]det(AλI)=(λ2)(λ4)2=0λ=2,4λ1=2(Aλ1I)v=0[204222204][x1x2x3]=0{x1+2x3=0x2=x3v=x3[211],v1=[211]λ2=4(Aλ2I)v=0[404202202][x1x2x3]=0x1=x3v=x2[010]+x3[101],v2=[010],v3=[101]eigenvalues: 2,4 and eigenvectors: [211],[010],[101]
解答(a)cosθ=uv
解答\textbf{(a)}\; A= \left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & -1 \\1 & 2 & 1 & 3 \\1 & 1 & -9 & 2 \\16 & -13 & 1 & 3\end{matrix}\right] \xrightarrow{-R_1+R_2\to R_2, -R_1+R_3\to R_3, -16R_1+R_4\to R_4} \left[ \begin{matrix}1 & 1 & 0 & -1 \\0 & 1 & 1 & 4 \\0 & 0 & -9 & 3 \\0 & 0 & 30 & 135\end{matrix} \right] \\ \xrightarrow{10R_3/3+R)4\to R_4} \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\0 & 0 & -9 & 3 \\0 & 0 & 0 & 145 \end{matrix} \right] \Rightarrow rank(A)=4\\ \qquad 又\cases{u_1\cdot u_2=1+2-3=0\\ u_1\cdot u_3=1+1-2=0\\ u_1\cdot u_4=16-13-3=0 \\ u_2\cdot u_3=1+2-9-6=0\\ u_2\cdot u_4= 16-26+1+9= 0\\ u_3\cdot u_4= 16-13-9+6=0} \Rightarrow S \text{ is orthogonal and a basis in }R^4, \bbox[red, 2pt] {\text{Q.E.D}}\\ \textbf{(b)}\; 4 \text{ coefficients: }\alpha,\beta,\gamma,\delta \Rightarrow \alpha u_1 +\beta u_2+ \gamma u_3+ \delta u_4=v\\ \quad \Rightarrow \begin{bmatrix}1 & 1& 1 & 16 \\1 & 2& 1& -13\\ 0& 1& -9 & 1\\ -1 &  3& 2& 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta\\ \gamma\\\delta  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a \\ b\\ c\\ d  \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta\\ \gamma\\\delta  \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 1& 1 & -1 \\1 & 2& 1& 3\\ 0& 1& -9 & 2\\ -1 &  3& 2& 3 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}a \\ b\\ c\\ d  \end{bmatrix} \\ =\left[ \begin{matrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & \frac{-1}{3} \\\frac{1}{15} & \frac{2}{15} & \frac{1}{15} & \frac{1}{5} \\\frac{1}{87} & \frac{1}{87} & \frac{-3}{29} & \frac{2}{87} \\\frac{16}{435} & \frac{-13}{435} & \frac{1}{435} & \frac{1}{145} \end{matrix}\right] \begin{bmatrix} a \\ b\\ c\\ d  \end{bmatrix} =\bbox[red, 2pt]{\left[ \begin{matrix} \frac{a+b-c}{3} \\\frac{a+2b+3c+d}{15} \\\frac{a+b+2c-9 d}{87} \\\frac{16a-13b+3c+d}{435} \end{matrix}\right]}

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解題僅供參考, 其他歷年試題及詳解

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