國立臺北科技大學111學年度碩士班招生考試
系所組別 :11ll、 l112機械工程系機電整合碩士班甲組
第一節 工程數學 試題
解答:(1)2sinydx+cosydy=0⇒cosysinydy=−2dx⇒ln(siny)=−2x+c1⇒siny=c2e−2xy(0)=π2⇒sin(π2)=1=c2⇒siny=e−2x⇒y=sin−1e−2x(2)xy′+y−ex=0⇒(xy)′=ex⇒xy=ex+c1y(1)=e代入上式⇒e=e+c1⇒c1=0⇒y=1xex解答:L{y″}+4L{y′}+3L{y}=L{et}⇒s2Y(s)−sy(0)−y′(0)+4(sY(s)−y(0))+3Y(s)=1s−1⇒(s2+4s+3)Y(s)−2=1s−1⇒Y(s)=1(s+3)(s+1)(s−1)+2(s+3)(s+1)=(18(s+3)−14(s+1)+18(s−1))+(−1(s+3)+1(s+1))=−78⋅1s+3+34⋅1s+1+18⋅1s−1⇒y(t)=L−1{Y(s)}⇒y(t)=−78e−3t+34e−t+18et
解答:(1)令{P(x,y)=3x2(y2−4y)Q(x,y)=2x3y−4x3⇒∂∂yP=3x2(2y−4)=∂∂xQ⇒→F is a conservative field,Q.E.D(2)ϕ=∫Pdx=∫Qdy⇒ϕ=∫3x2(y2−4y)dx=∫2x3y−4x3dy=x3y2−4x3y+ρ(y)=x3y2−4x3y+δ(x)⇒ϕ=x3y2−4x3y+c1(3)∫C→F(r)⋅d→r=ϕ(2,2)−ϕ(−1,1)=−35

解答:(1){2x1+6x2+x3=7x1+2x2−x3=−15x1+7x2−4x3=9⇒[261712−1−157−49]−2R2+R1→R1,−5R2+R3→R3→[023912−1−10−3114]R1/2→R1→[013/29/212−1−10−3114]−2R1+R2→R2,3R1+R3→R3→[013/29/210−4−100011/255/2]R1↔R2,2R3/11→R3→[10−4−10013/29/20015]⇒{x1−4x3=−10x2+3x3/2=9/2x3=5⇒{x1=10x2=−3x3=5(2)A=[26112−157−4]⇒A−1=[111−31118111111311−311311−1611211]⇒x=A−1c=[111−31118111111311−311311−1611211][7−19]=[10−35]⇒{x1=10x2=−3x3=5

解答:u(x,t)=X(x)T(t)⇒{PDEX(x)T″(t)=X″(x)T(t)BCX(0)T(t)=X(π)T(t)=0⇒X(0)=X(π)=0ICX(x)T′(0)=0⇒T′(0)=0XT″=X″T⇒T″T=X″X=λCase I λ=0.X″=0⇒X=c1x+c2⇒BC:{X(0)=0X(π)=0⇒{c2=0c1π+c2=0⇒c1=c2=0⇒X=0Case II λ>0.令λ=ρ2(ρ>0)⇒X″−ρ2X=0⇒X=c1eρx+c2e−ρx⇒BC:{X(0)=0X(π)=0⇒{c1+c2=0c1eρπ+c2e−ρπ=0⇒c1eρπ−c1e−ρπ=0⇒c1(e2ρπ−1)=0⇒c1=0⇒c2=0⇒X=0Case III λ<0.令λ=−ρ2(ρ>0)⇒X″+ρ2X=0⇒X=c1cos(ρx)+c2sin(ρx)BC:{X(0)=0X(π)=0⇒{c1=0c2sin(ρπ)=0⇒sin(ρπ)=0⇒ρ=n⇒X=c2sin(nx),n∈N⇒T″+ρ2T=0⇒T=c3cos(ρt)+c4sin(ρt)⇒T′=ρc4cos(ρt)−ρc3sin(ρt)IC:T′(0)=0⇒ρc4=0⇒c4=0⇒T=c3cos(nt),n∈N∪{0}⇒u(x,t)=X(x)T(t)=∞∑n=0ancos(nt)sin(nx)⇒u(x,0)=∞∑n=0ansin(nx)=sinx−sin(2x)⇒{a0=0a1=1a2=−1ak=0,k≥3⇒u(x,y)=cos(t)sin(x)−cos(2t)sin(2x)
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解題僅供參考, 其它歷年試題及詳解
第五題PDE的條件是不是有問題,分子分母一個有平方一個沒有,不像熱傳也不像波動
回覆刪除碩士班的題目常常「出槌」, 解題只能儘量...
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