111年高科大機械碩士班-工程數學(甲)詳解

國立高雄科技大學111學年度碩士班招生考試

系所別: 機械工程, 組別:甲組
考科:工程數學(甲), 考科代碼: 2022

解答: $$xy^2y'=y^3-x^3 \Rightarrow y'-{y\over x^2}=-{x^2\over y^2}白努利方程式\\ 取v=y^3 \Rightarrow v'=3y^2y' \Rightarrow 原式變為{1\over 3}xv'=v-x^3 \Rightarrow v'-{3\over x}v=-3x^2\\ 積分因子I(x)= e^{\int -(3/x)\,dx} ={1\over x^3} \Rightarrow {1\over x^3}v'-{3\over x^4}v=-{3\over x} \Rightarrow ({v \over x^3})' =-{3\over x} \\ \Rightarrow {v\over x^3}=\int -{3\over x}\,dx =-3\ln x+c_1 \Rightarrow v=y^3=-3x^3\ln x+c_1 x^3\\ y(1)=2 \Rightarrow 8=c_1 \Rightarrow y^3=-3x^3\ln x+ 8x^3 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=x \sqrt[3]{ -3\ln x+8}}$$

解答: $$先求齊次解, y''-2y'+y=0 \Rightarrow y_h =c_1e^x +c_2xe^x \\ 再利用\text{ variation of parameters }求特解, 令\cases{y_1=e^x\\ y_2=xe^x} \Rightarrow W=\begin{vmatrix} y_1& y_2\\ y_1'& y_2' \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} e^x& xe^x\\ e^x& e^x+ xe^x \end{vmatrix}=e^{2x} \\ \Rightarrow y_p =-e^x\int { xe^x(4x^2-3+e^x/x)\over e^{2x}}\,dx + xe^x \int { e^x(4x^2-3+e^x/x)\over e^{2x}}\,dx \\\qquad = -e^x \int { 4x^3-3x+e^x\over e^x}\,dx + xe^x \int { 4x^2-3+ e^x/x\over e^x}\,dx \\=-xe^x+4x^3+12x^2+21x+21+ xe^x \ln x-4x^3-8x^2-5x \\=xe^x\ln x-xe^x+4x^2+16x+21 \Rightarrow y=y_h+y_p \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y= c_1e^x +c_3xe^x+ xe^x \ln x+ 4x^2 +16x +21}$$

解答: $$\cases{x_1''= -3x_1+2(x_2-x_1) \cdots(1)\\ x_2''=-2(x_2-x_1) \cdots(2)} \Rightarrow x_1''+ x_2''=-3x_1 \Rightarrow L\{x_1'' \}+ L\{ x_2''\}=-3L\{x_1\} \\ \Rightarrow s^2X_1(s)-sx_1(0)-x_1'(0) +s^2X_2(s)-sx_2(0)-x_2'(0)  =-3X_1(s) \\ \Rightarrow s^2X_1(s)-1+s^2X_2(s)-s=-3X_1(s) \Rightarrow X_2(s)= {s+1\over s^2} -{s^2+3\over s^2}X_1(s) \cdots(3)\\ 又(2) \Rightarrow L\{ x_2''\}=-2(L\{ x_2\}- L\{ x_1\}) \Rightarrow s^2X_2(s)-s=-2X_2(s)+ 2X_1(s) \\ \Rightarrow X_2(s)= {2 \over s^2+2}X_1(s)+{s\over s^2+2} \cdots(4)\\ (3)=(4) \Rightarrow  {s+1\over s^2} -{s^2+3\over s^2}X_1(s)=  {2 \over s^2+2}X_1(s)+{s\over s^2+2}  \Rightarrow X_1(s)= { s^2+ 2s+ 2 \over s^4+7s^2+6} \\  \Rightarrow  x_1(t)= L^{-1}\{X_1(s)  \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{x_1 = {2\over 5} \cos t+{1\over 5} \sin t-{2 \over 5} \cos(\sqrt 6t) +{2\sqrt 6\over 15} \sin(\sqrt 6t)} \\ \Rightarrow x_1'=-{2\over 5} \sin t +{1\over 5} \cos t+{2\sqrt 6\over 5} \sin(\sqrt 6t)+{4\over 5} \cos(\sqrt 6 t) \\ \Rightarrow x_1''=-{2\over 5}\cos t -{1\over 5} \sin t+{12\over 5} \cos(\sqrt 6t)-{4\over 5}\sqrt 6 \sin(\sqrt 6t) =-5x_1+2x_2 \\ \Rightarrow x_2={1\over 2}(x_1''+5x_1) \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{x_2 = {4\over 5}\cos t+{2\over 5}\sin t+{1\over 5} \cos(\sqrt 6t) -{\sqrt 6\over 15}\sin(\sqrt 6 t)}$$

解答: $$假設兩向量\cases{\vec u=(u_1,u_2, \dots, u_n)\\ \vec v=(v_1, v_2,\dots, v_n)} \\\Rightarrow \cases{\vec u\cdot \vec v=u_1v_1+ u_2v_2+\cdots +u_nv_n 為一純量\\ \vec u\times \vec v=(u_2v_3-u_3v_2, u_3v_4-u_4v_3,\dots, u_{n-2}v_{n-1} -u_{n-1}v_{n-2})為一向量} \\ \Rightarrow \cases{三角形面積={1\over 2}\Vert \vec u\times \vec v\Vert \\ 兩向量夾角\theta \Rightarrow \cos \theta ={\vec u\cdot \vec v\over \Vert \vec u\Vert \Vert \vec v\Vert}}$$

解答: $$\det(A-\lambda I)=-(\lambda-1)( \lambda-2)(\lambda-3)=0 \Rightarrow \lambda=1,2,3\\ \lambda_1=1 \Rightarrow (A-\lambda_1 I)v =0 \Rightarrow \left(\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\4 & 0 & 0\end{matrix} \right) \left(\begin{matrix}x_1 \\x_2 \\x_3 \end{matrix} \right)  =0 \Rightarrow x_1=x_2=0 \\\qquad \Rightarrow v=x_3\left(\begin{matrix}0 \\0 \\1 \end{matrix} \right) ,取v_1= \left(\begin{matrix}0 \\0 \\1 \end{matrix} \right) \\ \lambda_2=2 \Rightarrow (A-\lambda_2 I)v =0 \Rightarrow \left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\4 & 0 & -1\end{matrix} \right) \left(\begin{matrix}x_1 \\x_2 \\x_3 \end{matrix} \right)  =0 \Rightarrow x_1=x_3=0 \\\qquad \Rightarrow v=x_2\left(\begin{matrix}0 \\1 \\0 \end{matrix} \right) ,取v_2= \left(\begin{matrix}0 \\1 \\0 \end{matrix} \right)  \\ \lambda_3=3 \Rightarrow (A-\lambda_3 I)v =0 \Rightarrow \left(\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \\4 & 0 & -2\end{matrix} \right) \left(\begin{matrix}x_1 \\x_2 \\x_3 \end{matrix} \right)  =0 \Rightarrow \cases{2x_1=x_3\\ x_2=0} \\\qquad \Rightarrow v=x_3\left( \begin{matrix} 1/2 \\0 \\1 \end{matrix} \right) ,取v_3= \left(\begin{matrix}1/2 \\0 \\1 \end{matrix} \right) \\ \Rightarrow \text{eighenvalues: }\bbox[red, 2pt]{1,2,3}\text{  and eigenvectors: }\bbox[red,2pt]{ \left(\begin{matrix}0 \\0 \\1 \end{matrix} \right), \left(\begin{matrix}0 \\1 \\0 \end{matrix} \right), \left(\begin{matrix}1/2 \\0 \\1 \end{matrix} \right) }$$
 

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