114年台大碩士班-工程數學A詳解

國立臺灣大學114學年度碩士班招生考試

題號:163
科目:工程數學(A)

解答: $$\textbf{(a) }A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\-1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow \det(A)=1 \Rightarrow \det(A^7)=1^7=1 \Rightarrow \det(5A^7) =5^3\cdot \det(A^7)= \bbox[red, 2pt]{125} \\\textbf{(b) } \det(A-\lambda I) =-(\lambda-1)(\lambda^2+1)=0 \Rightarrow \text{ eigenvalues of }A:1,\pm i \\ \qquad \Rightarrow \text{ eigenvalues of }A^7:1^7,(\pm i)^7 =1,\mp i \Rightarrow \text{ eigenvalues of }5A^7:1\times 5,\mp i\times 5 \\\qquad \Rightarrow \text{ eigenvalues of }5A^7:\bbox[red, 2pt]{5,5i,-5i} \\\textbf{(c) }\lambda_1=1 \Rightarrow (A-\lambda_1 I)v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3\end{bmatrix} =0 \Rightarrow x_1 =x_2=0\\\qquad \Rightarrow v=x_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix},\text{ choose }v_1= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}\\ \lambda_2=i \Rightarrow (A-\lambda_2 I)v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -i & 1 & 0 \\-1 & -i & 0 \\0 & 0 & 1-i\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3 \end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{x_1+ix_2=0 \\ x_3=0}\\\qquad \Rightarrow v=x_2 \begin{pmatrix} -i \\ 1 \\0\end{pmatrix},\text{ choose }v_2= \begin{pmatrix} -i \\ 1 \\0 \end{pmatrix} \\ \lambda_3=-i \Rightarrow (A-\lambda_3 I)v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix} i & 1 & 0 \\-1 & i & 0 \\0 & 0 & 1+i\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3\end{bmatrix} =0 \Rightarrow \cases{x_1=ix_2  \\ x_3=0}\\\qquad \Rightarrow v=x_2 \begin{pmatrix} i \\ 1 \\0\end{pmatrix},\text{ choose }v_3= \begin{pmatrix} i \\ 1 \\0 \end{pmatrix}\\ \Rightarrow D= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0\\ 0& \lambda_2& 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix}, P=[v_1 v_2 v_2] \Rightarrow A=PDP^{-1} = \bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix}0 & -i & i \\0 & 1 & 1 \\1 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & i & 0 \\0 & 0 & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\frac{i}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\\frac{-i}{2} & \frac{1}{2} & 0\end{bmatrix}} \\\textbf{(d) }A=PDP^{-1} \Rightarrow A^{2025}= PD^{2025}P^{-1}=  \begin{bmatrix}0 & -i & i \\0 & 1 & 1 \\1 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1^{2025} & 0 & 0 \\0 & i^{2025} & 0 \\0 & 0 & (-i)^{2025} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\frac{i}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\\frac{-i}{2} & \frac{1}{2} & 0\end{bmatrix} \\\qquad = \begin{bmatrix}0 & -i & i \\0 & 1 & 1 \\1 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1  & 0 & 0 \\0 & i  & 0 \\0 & 0 &  -i  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\\frac{i}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\\frac{-i}{2} & \frac{1}{2} & 0\end{bmatrix} =A= \bbox[red, 2pt]{ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\-1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix} }$$

解答: $$f(x)= \sin(x) \cos(x)=\bbox[red, 2pt]{{1\over 2}\sin(2x)}$$

解答: $${d\over dx}[xy]= y+xy'=2y-xe^{y/x} \Rightarrow xy'-y=-xe^{y/x} \Rightarrow -{1\over x}y'e^{-y/x} +{1\over x^2}ye^{-y/x}={1\over x} \\ \Rightarrow \left( e^{-y/x}\right)' ={1\over x} \Rightarrow e^{-y/x}=\ln x+c_1 \Rightarrow -{y\over x}=\ln(\ln x +c_1) \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=-x \ln(c_1+\ln x)}$$

解答: $$3xu_x-u_y=2u-x \Rightarrow {dx\over 3x}={dy\over -1}={du\over 2u-x}\\ {dx\over 3x}={dy\over -1} \Rightarrow {1\over 3}\ln x =-y+a \Rightarrow a={1\over 3}\ln x+y\\ {dx\over 3x}={du\over 2u-x} \Rightarrow 3x{du\over dx}=2u-x \Rightarrow {du\over dx}-{2\over 3x}u=-{1\over 3} \Rightarrow x^{-2/3}{du\over dx}-{2\over 3}x^{-5/3}u=-{1\over 3}x^{-2/3} \\ \Rightarrow \left( x^{-2/3}u\right)' =-{1\over 3}x^{-2/3} \Rightarrow x^{-2/3}u=-x^{1/3}+b \Rightarrow b=x^{-2/3}u+x^{1/3} =F(a)=F({1\over 3}\ln x+y) \\ \Rightarrow x^{-2/3}\cdot 3x+x^{1/3} =F({1\over 3}\ln x) \Rightarrow F({1\over 3}\ln x)=4x^{1/3} \Rightarrow F(x)=4e^x \\ \Rightarrow x^{-2/3}u +x^{1/3} =F({1\over 3}\ln x+y)=4e^{{1\over 3}\ln x+y} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{u(x,y)= 4x^{2/3}e^{{1\over 3}\ln x+y}-x }$$

解答: $$L\{y''\}-3L\{y'\} +2L\{y\} = L\{e^{3t}\} \Rightarrow s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)-3(sY(s)-y(0)) +2Y(s)={1\over s-3} \\ \Rightarrow (s^2-3s+2)Y(s)-s+3={1\over s-3} \Rightarrow Y(s)={s-3\over s^2-3s+2}+{1\over (s-3) (s^2-3s+2)} \\ \Rightarrow Y(s)={5\over 2}\cdot {1\over s-1}-{2\over s-2}+{1\over 2}\cdot {1\over s-3} \Rightarrow y(t)=L^{-1}\{Y(s)\} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y(t)={5\over 2}e^t-2e^{2t}+{1\over 2}e^{3t}}$$

========================== END =========================

解題僅供參考，碩士班歷年試題及詳解