臺北市高級中等學校 106 學年度聯合轉學考招生考試
升高三數學科試題
升高三數學科試題
一、單選題
sin3θsinθ−cos3θcosθ=cosθsin3θ−sinθcos3θsinθcosθ=sin(3θ−θ)12⋅2sinθcosθ=sin2θ12sin2θ=2,故選:(C)
解:{a=cos80∘b=cos140∘=−cos40∘c=cos230∘=−cos50∘d=cos290∘=cos70∘e=cos340∘=cos20∘⇒e>d>a>c>b⇒中位數為a,故選(A)
解:
{x=2+2ty=4+3tz=−3+4t代入E:3x−2y+z=3⇒3(2+2t)−2(4+3t)+(−3+4t)=3⇒4t=8⇒t=2⇒交點=(2+2×2,4+3×2,−3+4×2)=(6,10,5),故選(A)
解:(x9+y4)(x9−y4)=k(A)×:k=0⇒(x9+y4)(x9−y4)=0⇒x9=±y4為兩直線(B)×:k=1⇒(x9+y4)(x9−y4)=1⇒x292−y242=1為雙曲線(C)×:k=0為兩不平行的直線,說明如(A)(D)×:k=0為兩不平行的直線,說明如(A)(E)◯:x292−y242=k為雙曲線,故選(E)
解:令中心點為O,此題相當於找{¯CP=¯OA?¯CQ=¯OA?¯CR=¯OA?¯CS=¯OA?¯CT=¯OA?,故選(B)
解:
x290−k+y2k−30=1⇒{90−k>0k−30>090−k≠k−30⇒{90>k>30k≠60⇒k=31,32,…,89⇒共有89−31+1−1(k=60)=58,故選(C)
解:
將A、B及C(直升機)投影至地面的相對位置如上圖,只要能找出¯AC及¯BC投影至地面的距離就可求出¯AB;
A在C西方俯角60度,如上圖,因此¯AC在地面的投影為¯AC1=h/√3;
最後再由餘弦定理(代入最上圖): cos∠ACB=¯AC2+¯BC2−¯AB22ׯABׯAC⇒−12=h2/3+3h2−¯AB22h2⇒¯AB2=133h2⇒¯AB=√133h,故選(E)
解:tan2∠AEB=2524⇒假設{¯AB=5k¯EB=√24⇒¯CE2=¯EB2+¯BC2=24k2+25k2=49k2⇒¯CE=7k⇒tan∠CED=¯DC¯EC=5k7k⇒tan2∠CED=2549,故選(B)
解:假設P(x,x24)⇒→AB⋅→AP=(6,3)⋅(x+2,x24−1)=6x+12+34x2−3=0⇒x2+8x+12=0⇒(x+6)(x+2)=0⇒x=−2或−6,故選(B)
解:{P(6,s,3)Q(0,16,t)R(−3,19,6)⇒{→P,R=(−9,19−s,3)→QR=(−3,3,6−t)⇒−9−3=19−s3=36−t⇒{19−s=96−t=1⇒{s=10t=5⇒s+t=15,故選(A)
解:
考慮原點不在所圍區域,例原點在3x+y=6的異側,因此3x+6≥6,故選(D)
解:x2+y2−2x−2ky+k2−31=0⇒(x−1)2+(y−k)2=32⇒{圓心O(1,k)半徑r=√32=4√2dist(O,L)=r⇒|1−k−6√12+12|=4√2⇒|−5−k|=8⇒k={−133,故選(D)
解:
二、多重選擇題
{A(1,0)B(−2,5)代入y=ax+b⇒{0=a+b5=−2a+b⇒{a=−5/3b=5/3⇒y=−53x+53⇒y=−53(x−1)⇒y−5=−53(x+2)⇒5x+3y=5,故選(BCE)
只要符合任兩邊皆平行的條件,如上圖之紅點,即(1,0), (3,0), (3,2),故選(CD)
解:只有選項(A)及(B)未限制z值的範圍,故選(AB)
解:(A)◯:→OP=(6,3,3)為L的法向量⇒(6,3,3)⋅(−2,1,3)=−12+3+9=0⇒(6,3,3)⊥(−2,1,3)⇒(−2,1,3)為L的方向向量(B)◯:Q=(2,−2,2)⇒→OQ⋅→QP=(2,−2,2)⋅(4,5,1)=8−10+2=0⇒→OQ⊥→QP⇒Q為原點在E上的投影點(C)×:(2,−2,2)才是投影點(D)×:¯OQ=√22+(−2)2+22=√12=2√3(E)◯:理由同(D),故選(ABE)
解:[1−321−25−3−33−981]−3r1+r3,2r1+r2→[1−3210−11−1002−2]−r2→[1−32101−11002−2]=[1α2101β1002γ]⇒{α=−3β=−1γ=−2由[1−32101−11002−2]⇒{x−3y+2z=1y−z=12z=−2⇒{x=3y=0z=−1(A)◯:α=−3(B)×:β=−2≠1(C)×:γ=−2≠−1(D)×:只有一組解(E)◯:共有一組解,故選(AE)
解題僅供參考
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