高雄區公立高中 108 學年度聯合招考轉學生
升高三數學科試題詳解
升高三數學科試題詳解
一、單選題
25cos2θ−5sinθ−13=0⇒25(1−sin2)θ−5sinθ−13=0⇒25sin2θ+5sinθ−12=0⇒(5sinθ−3)(5sinθ+4)=0⇒sinθ={3/5−4/5,不合(θ在第2象限,sinθ>0)⇒cosθ=−4/5(θ在第2象限,cosθ<0),故選:(E)
解:cosA=¯AB2+¯AC2−¯BC22ׯABׯAC⇒cos120∘=1+4−¯BC22×1×2⇒−12=5−¯BC24⇒¯BC2=7⇒¯BC=√7,故選(C)
解:
¯ED為平面,建築物A的高度¯AE=150,建築物B的高度為¯BD,如上圖在△ACD中,¯AC=¯CD×√3=150√3;在△ABC中,¯BC=¯AC=150√3⇒¯BD=¯BC+¯CD=150√3+150,故選(A)
解:圓C:x2+y2−4x−2y=0⇒(x−2)2+(y−1)2=5⇒圓心O(a,b)=(2,1),半徑r1=√5;圓S半徑r2=¯AO=√32+42=5⇒圓S:(x−2)2+(y−1)2=25⇒面積為25π,故選(D)
{A=(2,−4)B=(5,−2)⇒{圓心O=((2+5)/2,(−4−2)/2)=(7/2,−3)半徑r=12¯AB=12√32+22=12√13⇒圓方程式:(x−7/2)2+(y+3)2=134⇒x2−7x+494+y2+6y+9=134⇒x2+y2−7x+6y+18=0,故選(A)
解:
{|→a|=3|→b|=4|→a+→b|=√13⇒(→a+→b)⋅(→a+→b)=|→a|2+2→a⋅→b+|→b|2=|→a+→b|2⇒32+2→a⋅→b+42=(√13)2⇒→a⋅→b=−6=|→a||→b|cosθ=12cosθ⇒cosθ=−12⇒θ=120∘,故選(D)
解:
在△ABC中,{→a=→AB→b=→AC¯AD平分∠A,如上圖¯BD¯DC=¯AB¯AC=35⇒→AD=58→a+38→b=58(→a+35→b)⇒t=35,故選(E)
解:由L方程式可知:L與z=3平行,即xy平面平行,故選(C)
解:
{3x+2y+z=4⋯(1)x+2y+2z=4⋯(2)(1)−(2)→2x−z=0⇒z=2x代回(1)⇒3x+2y+2x=4⇒y=−52x+2⇒(x,y,z)=(x,−52x+2,2x)⇒x1=y−2−5/2=z2⇒L方向向量為(1,−5/2,2),故選(D)
解:c23即為C之最後一個元素=4×5+3×(−3)+(−5)×1=20−9−5=6,故選(B)
解:
(A)×:{A=[1110]B=[1100]⇒{AB=[1111]BA=[2100]⇒AB≠BA(C)×:{A=[1000]B=[0011]⇒AB=[0000],但A≠0且B≠0(D)×:{A=[1000]B=[0011]C=[0010]⇒AB=AC=0,但B≠C(E)×:(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2(除非AB=BA),故選(B)
解:
{L1:x−2y=0L2:x+2y=0⇒雙曲線:(x−2y)(x+2y)=k⇒x2−4y2=k(2√2,2)代入上式⇒8−16=k⇒k=−8⇒x2−4y2=−8⇒x28−y22=−1,故選(B)
解:
L:1−x1=y−22=z2⇒L上的點Q可表示成(−t+1,2t+2,2t)⇒¯PQ=√(−t−1)2+(2t−1)2+(2t+5)2=√9t2+18t+27=√9(t+1)2+18⇒t=−1⇒{¯PQ=√18=3√2Q=(1+1,−2+2,−2)=(2,0,−2)⇒{P至L最短距離=3√2Q=(2,0,−2)是離P最近的點令P′=(a,b,c)為P相對L的對稱點⇒P+P′2=Q⇒{2=(2+a)/20=(3+b)/2−2=(−5+c)/2⇒{a=2b=−3c=1⇒P′=(2,−3,1),故選(BCE)
解:(B)×:A=[1−11−1]⇒A2=0,但A≠0(C)×:(AB)−1=B−1A−1(D)×:{A=[1000]B=[0011]⇒{AB=0BA=[0010]≠0,故選(AE)
解:
(B)×:|3a3b3c3d|=9ad−9bc=9(ad−bc)=9|abcd|,故選(ACDE)
解:(A)×:t不能為3(B)×:t=2.5⇒Γ:x20.5+y21.5=1⇒長軸在Y軸(D)×:t=4⇒Γ:−x21+y23=1⇒貫軸在Y軸,故選(CE)
解:2y2−4y−3x−4=0⇒(y−1)2=4⋅38(x+2)⇒{頂點(−2,1)c=3/8⇒{焦點(−2+3/8,1)=(−13/8,1)準線:x=−2−3/8=−19/8⇒正焦弦長=4c=4×3/8=3/2⇒最小焦半徑=c=3/8,故選(BCD)
解題僅供參考
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