107學年度臺北市聯合轉學考-高職升高二-數學科詳解

臺北市立高級職業學校暨進修學校107 學年度聯合招考轉學生招生考試
升高二數學科試題

1. 若直線 L1 與直線 L2 互相垂直，已知直線 L1 過兩點 A(1,3) 及 B(-3,0) ，直線 L2 過點 C(2,4) ，  求 L2 的直線方程式為何？ 

 (A) 3x - 4y = -10 (B) 3x + 4y = 22 (C) 4x -3y = -4 (D) 4x +3y = 20 

解： $$假設L_1: y=ax+b，由於L_1過(1,3)，(-3,0) \Rightarrow \begin{cases}a+b=3 \\-3a+b=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a=3/4 \\ b=9/4 \end{cases} \Rightarrow L_1:y={3\over 4}x+{9 \over 4}\\ \Rightarrow L_2: y=-{4\over 3}x+k，又L_2過(2,4) \Rightarrow 4=-{8\over 3}+k \Rightarrow k={20\over 3} \Rightarrow L_2:y=-{4\over 3}x+{20\over 3}\\ 即4x+3y=20， 故選：\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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2. 已知△ABC 之三頂點坐標為 A(3,1)B(6,-2)C(12,4)，若 G 為 △ABC 的重心，M 在線段 $\overline{BC}$ 上 且 $\overline{BM}= 2\overline{MC}$ 。若向量 $\overrightarrow{GM} = m \overrightarrow{AB}+ n\overrightarrow{AC}$ ，則數對 (m,n) = ？ $$(A) ({1\over 2}, -{1\over 3}) \quad (B)({1\over 3},{1\over 2})\quad (C)(0,{1\over 3})\quad (D) ({1\over 4},-{2\over 3})$$ 解： $$\begin{cases}A(3,1)\\B(6,-2)\\ C(12,4)\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}G((3+6+12)/3,(1-2+4)/3)=(7,1)\\ M((2\times 12+6)/3,(2\times 4-2)/3)=(10,2)\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} \overrightarrow{AB}=(3,-3)\\ \overrightarrow{AC}=(9,3)\\ \overrightarrow{GM}=(3,1)\end{cases}\\ \overrightarrow{GM}= m\overrightarrow{AB}+ n\overrightarrow{AC} \Rightarrow \begin{cases}3m+9n=3\\ -3m+3n=1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}m=0\\ n=1/3\end{cases} ， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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3. 已知兩向量 $|\vec{a}|=2$ 且 $\vec a$ 在$\vec b$ 上的正射影為一單位向量，請問兩向量的夾角為何？ 

(A) 60$^\circ$ (B) 60$^\circ$或120$^\circ$ (C) 30$^\circ$ (D) 30$^\circ$或150$^\circ$

解：
$$2\cos\theta =\pm 1 \Rightarrow \cos\theta = \pm{1\over 2} \Rightarrow \theta=60^\circ或120^\circ， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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4. 設函數 $f (\theta) =1+ \cos 2\theta + \cos \theta$ ，則其極小值為何？

(A)$-{1\over 8}$ (B)${1\over 8}$ (C)${17\over 8}$ (D)3

解： $$1+\cos 2\theta+\cos \theta = 1+2\cos^2\theta-1+\cos \theta= 2\cos^2\theta+\cos \theta = 2(\cos^2 \theta+{1\over 2}\cos \theta+{1\over 16})-{1\over 8}\\ =2(\cos \theta+{1\over 4})^2 -{1\over 8} \Rightarrow \cos\theta=-{1\over 4}有最小值-{1\over 8}， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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5. 若 y = cos kx 和 y = sin x 的圖形在 x = ${\pi \over 6}$ 相交，則 k 可能的值為何？ 

 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 

解： $$\cos (k\times {\pi \over 6})= \sin {\pi \over 6}={1\over 2} \Rightarrow k=2， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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6. △ABC 中，已知 $\angle A$的對邊 a = 6 ，且$\sin B\cos C=\cos B\sin C=\cfrac{\sqrt{3}}{4}$，則此三角形的外接圓半徑為何？ 

 (A ) 1 (B) 2 (C) $4\sqrt{ 3}$ (D) $2\sqrt{ 3}$ 

解：
$$\sin (B+C)=\sin B\cos C+\sin C\cos B= 2\times {\sqrt 3\over 4}={\sqrt 3\over 2} \Rightarrow B+C=60^\circ \Rightarrow A=120^\circ\\ 正弦定理: {a\over \sin A}=2R \Rightarrow {6 \over \sin 120^\circ}={6 \over \sqrt{3}/2}=2R \Rightarrow R=2\sqrt 3， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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7.  設一圓的半徑為 r 公分，若圓心角$\theta$ 所對的扇形面積為 8(平方公分)，則扇形周長的最小值  為何？ 

 (A) 4 (B) $4 \sqrt{2}$ (C) 8 (D) $8\sqrt{ 2}$ (公分) 

解： $$8=r^2\pi\times \cfrac{\theta}{2\pi} \Rightarrow r^2\theta=16 \Rightarrow 扇形周長=2r+r\theta =2r+\cfrac{16}{r}\\ 令f(r)=2r+\cfrac{16}{r}，則f'(r)=0 \Rightarrow 2-\cfrac{16}{r^2}=0 \Rightarrow r=2\sqrt 2有極值f(2\sqrt 2)=4\sqrt 2+{16\over 2\sqrt 2}\\ =4\sqrt 2+4\sqrt 2=8\sqrt 2， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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8. 已知 f (x) = tan3x與 g(x) = 2sin(kx+1) 的週期相同，若 k>0，則 k =？ 

 (A)1 (B) 6 (C) 9 (D) 12 

解： $$\begin{cases}\tan 3x的週期為\pi\\2\sin(kx+1) 的週期為2\pi\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}3x=\pi\\kx=2\pi\end{cases} \Rightarrow k=6，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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9. 已知△ABC 的面積為 24，且周長為 6，則其內切圓半徑為何？ 

 (A) 2 (B) $2 \sqrt{2}$ (C) 4 (D) 8

解： $$6\times r\div 2=24 \Rightarrow r=8，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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10. 已知兩向量$\vec a=(3\sin \theta, 4)$及$\vec b=(-2,1+2\cos \theta)$ ，求內積$\vec a\cdot \vec b$的最小值為何？

(A) -6 (B) -10 (C) -16 (D) -20 

解： $$\begin{cases}\vec a  = (3\sin \theta,4)\\\vec b =(-2,1+2\cos \theta)\end{cases} \Rightarrow \vec a\cdot \vec b=-6\sin \theta+4+8\cos \theta =4-10({6\over 10}\sin \theta-{8\over 10}\cos \theta) \\ =4-10(\cos \alpha\sin \theta-\sin \alpha \cos \theta) =4-10\sin(\theta-\alpha)  \Rightarrow 最小值為4-10=-6 ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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11. 一艘漁船在海面上，測得鯨魚在它的北15$^\circ$ 東、距離他 100 公尺處，請問鯨魚往東南的方  向游行 200 公尺後，距離漁船有多遠？ 

 (A) 100 (B) 200 (C) $100\sqrt{ 3}$ (D) $100\sqrt{ 7}$ (公尺) 

解：

$$漁船在A，鯨魚在B往東南200公尺到C，如上圖\\由餘弦定理可知\cos 60^\circ = \cfrac{100^2+200^2 - {\overline{AC}}^2}{2\times 100\times 200} \Rightarrow \overline{AC}=100\sqrt 3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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12. 若$\theta$為第二象限角，且$\sin \theta \cos \theta= -\cfrac{7}{8}$，則$\sin \theta -\cos \theta$=? 

$(A)\sqrt \frac{15}{8}\quad (B)\sqrt\frac{11}{4}\quad (C)-\sqrt\frac{15}{8}\quad (D)-\sqrt\frac{11}{4}$

解： $$\theta 在第二象限\Rightarrow \sin\theta -\cos\theta>0 \Rightarrow (\sin \theta-\cos \theta)^2=1-2\sin \theta\cos \theta=1-2\times (-{7\over 8})= {11\over 4}\\ \Rightarrow \sin\theta -\cos \theta=\sqrt {11\over 4}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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13. 設一直線平行於3x - 2y =1，且與 A(1,-1)、B(-3,2) 兩點等距離，則此直線的方程式為何？ 

 (A) 3x - 2y + 4 = 0 (B) 3x - 2y +5 = 0 (C) 3x - 2y +8 = 0 (D) 3x - 2y +18 = 0 

解： $$平行3x-2y=1的直線可寫成3x-2y=k；與A、B等距表示該直線經過A與B的中點(-1,1/2)，\\因此-3-1=k \Rightarrow k=-4 \Rightarrow 3x-2y+4=0，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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14. 下列何者為 x 的多項式？ 

(A)9 (B) tan x (C) $\cfrac{x}{x^2-6x+1}$ (D) $\sqrt{x^3}$ 

解：

$$f(x)=9為零多項式，其它次數均不為整數，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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15. 設$f(x)=100x^5-318x^4-228x^3-311x^2-256x+100$，則$f(4)=$  

 (A) -300 (B) 100 (C) 300 (D) 500

解：

$$利用長除法可知f(x)=(x-4)p(x)+500 \Rightarrow f(4)=500，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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16. 若 $x^3 -12x^2+ 44x-48 = (x-a)(x-b)(x-c)，a、b、c$ 皆為整數，則${1\over 2}[(a+b)^2 +(b+c)^2+(c+a)^2]=$

(A) 56 (B) 64 (C) 100 (D) 200  

解： $$x^3 -12x^2+ 44x-48 = (x-a)(x-b)(x-c) \Rightarrow  \begin{cases}a +b+c = 12\\ab +bc+ca=44  \end{cases} \\ \Rightarrow {1\over 2}[(a+b)^2+(b+c)^2 +(c+a)^2]= {1\over 2}[2a^2+ 2b^2 + 2c^2 +2ab+2bc +2ca] \\=a^2+b^2+c^2 +ab+bc+ca =(a+b+c)^2-(ab+bc+ca) =12^2- 44=100，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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17. 設多項式 f (x) 與 g(x) 除以 x - 2所得的餘式分別為 0 與 -1，則 f (x) - 6g(x) 
 除以 x - 2所得的餘式為何？ (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

解： $$f (x) 與 g(x) 除以 x - 2所得的餘式分別為 0 與 -1 \Rightarrow  \begin{cases}f(x)=p(x)(x-2)\\ g(x)=q(x)(x-2)-1\end{cases} \\ \Rightarrow f(x)-6g(x)=p(x)(x-2)-6q(x)(x-2)+6  \Rightarrow f(2)-6g(2)=6，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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18. 設$\cfrac{x^3-4x^2+x-1}{(x+2)(x-1)^3} =\cfrac{A}{x+2}+\cfrac{B}{x-1}+\cfrac{C}{(x-1)^2}+ \cfrac{D}{(x-1)^3}$，則$2A+5D=$ 

 (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) -3 

解： $$\cfrac{x^3-4x^2+x-1}{(x+2)(x-1)^3} =\cfrac{A}{x+2}+\cfrac{B}{x-1}+\cfrac{C}{(x-1)^2}+ \cfrac{D}{(x-1)^3}\\ \Rightarrow x^3-4x^2+x-1 =A(x-1)^3+B(x+2)(x-1)^2+ C(x+2)(x-1) +D(x+2)\\ \begin{cases}x=1代入上式 \Rightarrow -3=3D \Rightarrow D=-1\\ x=-2 代入上式 \Rightarrow -27=-27A \Rightarrow A=1 \end{cases} \Rightarrow 2A+5D=2-5=-3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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19. 若一次方程式 (a -1)(a - 4)x = a - 2(x -1) 為無解，則 a = 
 (A) 2 或 3 (B) 2 (C) 3 (D)無解

解： $$(a-1)(a-4)x =a-2(x+1) =-2x+a-2 \Rightarrow ((a-1)(a-4)+2)x=a-2 \\\Rightarrow x=\cfrac{a-2}{(a-1)(a-4)+2} =\cfrac{a-2}{a^2-5a+6} =\cfrac{a-2}{(a-3)(a-2)} =\cfrac{1}{a-3}無解 \\ \Rightarrow a-3=0 \Rightarrow a=3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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20. 試求行列式 $\begin{vmatrix}\sin {\pi\over 2} & \cos {\pi\over 2} \\ \sin {\pi\over 4} & \cos {\pi\over 6}\end{vmatrix}$ = 

 (A)1 (B)2 (C) ${1\over 2}$ (D) ${\sqrt{3} \over 2}$

解： $$\begin{vmatrix}\sin {\pi\over 2} & \cos {\pi\over 2} \\ \sin {\pi\over 4} & \cos {\pi\over 6}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1 & 0 \\  {\sqrt 2\over 2} &  {\sqrt 3\over 2}\end{vmatrix}= {\sqrt 3\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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21. 若$\alpha,\beta$為 $\begin{vmatrix}1 & 2 & -1 \\ 5 & x+2 & 3\\ 3 & -1 & x+3 \end{vmatrix}=0$之兩根，則${\alpha+\beta \over \alpha\beta}$？

(A) 4  (B) ${1\over 4}$  (C) 12   (D) -${1\over 4}$

解： $$\begin{vmatrix}1 & 2 & -1 \\ 5 & x+2 & 3\\ 3 & -1 & x+3 \end{vmatrix}=0 \Rightarrow (x+2)(x+3)+5+18+3(x+2)-10(x+3)+3=0\\ \Rightarrow x^2-2x+8=0 \Rightarrow  \begin{cases}\alpha+\beta= 2\\ \alpha\beta=8\end{cases}  \Rightarrow {\alpha+\beta\over \alpha\beta}={2\over 8}={1\over 4}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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22. 若 $\begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}=1$，則 $\begin{vmatrix}2a & 2c & 2b \\ d & f & e\\ -3g & -3i & -3h \end{vmatrix}$之值為何? 

 (A)6 (B) 12 (C)-6 (D) -12

解： $$\begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix}=1 \Rightarrow \begin{vmatrix}a & c & b \\ d & f & e\\ g & i &   h \end{vmatrix}=-1 \Rightarrow \begin{vmatrix}2a & 2c & 2b \\ d & f & e\\ g & i &   h \end{vmatrix}=-1\times 2=-2\\ \Rightarrow \begin{vmatrix}2a & 2c & 2b \\ d & f & e\\ -3g & -3i &   -3h \end{vmatrix}= -2\times (-3)=6，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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23. 試求方程組 $\begin{cases} x+y+z=1\\ x-y+z=1\\ x+y-z=1\end{cases}$的解的情形為何？

 (A)無解 (B)恰有一組解 (C)無限多組解 (D)兩組解

解： $$\begin{cases} x+y+z=1\cdots(1)\\ x-y+z=1\cdots(2)\\ x+y-z=1\cdots (3)\end{cases} \xrightarrow{(2)+(3)}2x=2 \Rightarrow x=1 \xrightarrow{代回原式} \begin{cases} y+z=0\cdots(1')\\ -y+z=0\cdots(2')\\ y-z=0\cdots (3')\end{cases} \Rightarrow  \begin{cases}y = 0\\z= 0\end{cases} \\  \Rightarrow 恰有一組解(1,0,0)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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24. 設 x > 0 且 y > 0，試求$(9x^2+{1\over y^2})(y^2+{1\over x^2})$的最小值為何？ 

 (A) 25 (B) 16 (C) 9 (D) 4 

解： $$\left( 9x^2+\cfrac{1}{y^2}\right)\left( y^2+\cfrac{1}{x^2}\right) =\left( (3x)^2+(\cfrac{1}{y})^2\right)\left( (\cfrac{1}{x})^2+y^2\right) \ge \left( 3x\cdot {1\over x}+{1\over y} \cdot y\right)^2 \\=(3+1)^2=16，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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25. 試求在滿足$\begin{cases} x\ge 0,y\ge 0\\ x+y-3\le 0\end{cases}$ 的條件下， f (x, y) = x + 2y 的最大值為何？ 

 (A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 15 

解：
$$先求封閉區域\begin{cases} x\ge 0,y\ge 0\\ x+y-3\le 0\end{cases}的交點 \begin{cases}A(0,3)\\ B(3,0)\\ C(0,0)\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}f(A)=6\\ f(B)=3\\ f(C)=0\end{cases}\\  \Rightarrow 6>3>0 \Rightarrow 最大值為6，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解題僅供參考