臺北市立高級職業學校暨進修學校107 學年度聯合招考轉學生招生考試
升高三數學科試題
升高三數學科試題
1. 如右圖,由一個正六面體的一頂點 A 沿著稜線走捷徑到對角線的另一頂角G,每一個頂點只能經過一次,有幾種走法?
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
由於是走捷徑,從A至G要走3步,即
A→D→H→G、A→D→C→G ,
A→B→C→G、A→B→F→G ,
A→E→F→G、A→E→H→G ,
共六種走法, 故選:(A)
(A)20 (B)22 (C)24 (D)26
解:540=5×22×33⇒正因數個數為(1+1)(2+1)(3+1)=2×3×4=24,故選(C)
(A)120 (B)84 (C)36 (D)28
解:本題相當於求x+y+z=10−3=7的非負整數解有幾組?即H37=C97=36,故選(C)
(A)36 (B)24 (C)14 (D)6
解:n×5!=(7!−6!)=(7×6!−6!)=6!(7−1)=6×6!⇒n=6×6!5!=6×6=36,故選(A)
5. 甲,乙,丙,丁,戊,己六人排成一列,若甲乙要相鄰且丙丁要相鄰,排列的方法數為?
(A)24 (B)96 (C)48 (D)72
解:甲乙綁在一起變成一個人、丙丁綁在一起也變成一個人,則原來六人變成四人排列,共有4!=24種排法;由於甲乙兩人可以是甲乙或乙甲,丙丁也是有2種排法,因此共有24×2×2=96排法,故選(B)
6. 將 2 枚相同的五元硬幣,3 枚相同的十元硬幣分給 7 位同學,每人至多一枚,有幾種分法?
(A)10 (B)420 (C)120 (D)210
解:
此題相當於將2個紅球(五元硬幣)、3個白球(十元硬幣)及2個藍球(沒分到球)排列,
共有7!2!3!2!=504024=210排法, 故選(D)
(A)90 (B)15 (C) 720 (D)540
解:
6本書排列共有6!排法,其中前2本給第一位同學、後2本給第二位同學、最後2本給第三位同學;因此方法數為6!2!2!2!=7208=90, 故選(A)
(A) 61 (B)41 (C)21 (D)1
解:2115=(20+1)15=C150201510+C151201411+⋯+C1515200115=C1502015+C1512014+⋯+C1513202+C1514201+C15152002115除以100的餘數只要看最後2項,即C1514201+C1515200=15×20+1=301⇒301除以100的餘數為1,故選(D)
(A)210 (B)1260 (C)2520 (D)5040
解:P1044=1260,故選(B)
(A)20 (B)19 (C)18 (D)17
解:f(x,y)=(x+y)20=C200y20+C201xy19+C202x2y18+⋯+C2020x20⇒{f(1,−1)=0=C200−C201+C202−⋯+C2020f(1,1)=220=C200+C201+C202+⋯+C2020⇒C200+C202+C204+⋯+C2020=(f(1,−1)+f(1,1))÷2=220÷2=219,故選(B)
(A)16 (B) 12 (C) 23 (D) 34
解:P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)P(B)=1/4+1/3−5/121/3=1/61/3=1/2,故選(B)
12. 表格內為某公司100 名員工的年齡人數表,求其年齡的中位數?
(A)42 (B)43 (C)44 (D)45
解:
100名員工的中位數即第50與第51的平均值,也就是中位數落在40~50的區間;
由於50=9+25+16=24+20+6,因此40~50的區間拆成16:24=2:3,其分隔位置就是中位數;
該區間有40個人,每一個人占了10/40=1/4年齡比重,16人占了16/4=4年齡比重,
所以中位數=40+4=44,故選(C)
13. 有一筆抽樣資料,分別為 63,81,75,67,54,86,試求其標準差(四捨五入至個位)?
(A)11 (B)12 (C)13 (D)14
解:樣本平均值ˉx=(63+81+75+67+54+86)÷6=71⇒s2=(63−71)2+(81−71)2+(75−71)2+(67−71)2+(54−71)2+(86−71)2=64+100+16+16+289+225=710⇒樣本標準差=√7106−1=√142≈12,故選(B)
(A)10 < k < 29 (B) k <10 或 k > 29 (C) k <10 (D) k > 29
解:
15. 已經A(0,-3) , B(4,-3),¯AB 為圓 C 的直徑,若P(x, y) 為此圓 C 上之動點,求3x−4y 之最大值為何?
(A)6 (B)10 (C)25 (D)28
解:{A(0,−3)B(4,−3)⇒{圓心O(2,−3)半徑r=¯AB÷2=4÷2=2⇒圓C:(x−2)2+(y+3)2=22⇒P(x,y)=P(2cosθ+2,2sinθ−3)⇒3x−4y=6cosθ+6−8sinθ+12=6cosθ−8sinθ+18=10(610cosθ−810sinθ)+18=10(sinαcosθ−cosαsinθ)+18=10sin(α−θ)+18⇒最大值為10+18=28,故選(D)
16. 求平行直線L : 3x + 2y =11且與圓 C:x2+y2−4x+6y−3=0 相切之切線方程式為?
(C)3x+2y±2√13=0 (D)3x+2y+1±√13=0
解:圓C:x2+y2−4x+6y−3=0⇒(x−2)2+(y+3)2=42⇒{圓心O(2,−3)半徑r=4與L平行的直線M:方程式為3x+2y+k=0,又M與圓相切⇒dist(M,O)=r⇒|6−6+k√32+22|=4⇒k√13=±4⇒k=±4√13⇒直線M:3x+2y±4√13=0,故選(A)
(A)頂點(2,1) (B)焦點(2,2) (C)準線:y=1 (D)正焦弦長為 1
解:x2−2x−4y+9=0⇒x2−2x+1=4y−8⇒(x−1)2=4(y−2)⇒{頂點(1,2)c=1⇒焦點(1,2+1)=(1,3)⇒準線:y=2−1=1又y=3時⇒(x−1)2=4⇒x=3或−1⇒正焦弦長=3−(−1)=4,故選(C)
(A)8 (B)10 (C) 165 (D) 323
解:由題意可知:{F1(1,6)F2(1,−4)2a=6⇒a=3⇒¯F1F2=10=2c⇒c=5⇒b=√c2−a2=4⇒正焦弦長=2b2a=2×423=323,故選(D)19. 若點P 為橢圓x29+y225=1,求點P 到此橢圓中心距離為整數的點,共有幾個?
(A)2 (B)4 (C)8 (D)12
解:
由方程式可知:長軸兩端點距中心點為5、短軸兩端點距中心點為3,因此橢圓還有四點距中心點為4,因此有2+2+4=8個點到中心點的距離為整數點,故選(C)
(A)0 (B)7 (C) -3 (D) -5
解:f(x)=(2x+1)(x2−3x+5)⇒f′(x)=2(x2−3x+5)+(2x+1)(2x−3)⇒f′(0)=2⋅5−3=7,故選(B)21. 設an=(1−14)(1−19)(1−116)⋯(1−1n2),求limn→∞an=?
(A) 不存在 (B) 34 (C) 2 (D) 12
解:an=(1−14)(1−19)⋯(1−1n2)=22−122⋅32−132⋯n2−1n2=(2−1)(2+1)22⋅(3−1)(3+1)32⋯(n−1)(n+1)n2=1⋅322⋅2⋅432⋅3⋅542⋯(n−3)(n−1)(n−2)2⋅(n−2)(n)(n−1)2⋅(n−1)(n+1)n2=1⋅2⋅32⋅42⋯(n−1)2⋅n⋅(n+1)22⋅32⋯(n−1)2⋅n2=1⋅2⋅n⋅(n+1)22⋅n2=n(n+1)2n2⇒limn→∞an=limn→∞n(n+1)2n2=12,故選(D)
22. 求f(x)=2x3−3x2−12x+5在區間[0,3]的最大值為何?
(A)5 (B) -15 (C)12 (D) -3
解:
f(x)=2x3−3x2−12x+5⇒f′(x)=6x2−6x−12⇒f″
23. 設deg f (x) = 3,已知 f (0) = -1, f ' (0) = 2, f '' (0) = -12, f ''' (0) = 6,求 f (2) = ?
(A)24 (B) -13 (C) -3 (D)1
解:\text{deg }f=3 \Rightarrow f=ax^3+bx^2+cx +d \Rightarrow \begin{cases}f'(x) = 3ax^2+2bx +c\\ f''(x)=6ax+2b \\ f'''(x)=6a\end{cases} \\ 因此 \begin{cases}f(0)=-1\\f'(0) = 2 \\ f''(0)=-12 \\ f'''(0)=6\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}d=-1\\c = 2 \\ 2b=-12 \Rightarrow b=-6\\ 6a=6 \Rightarrow a=1\end{cases}\\ \Rightarrow f(x)=x^3-6x^2+2x-1 \Rightarrow f(2)=8-24+4-1=-13,故選\bbox[red,2pt]{(B)}
24. 試求\int_{-3}^3|x|\;dx=?
(A)0 (B)3 (C)6 (D)9
解:\int_{-3}^3|x|\;dx= 2\int_0^3x\;dx= \left . x^2 \right|_0^3=9,故選\bbox[red,2pt]{(D)}25. 求 y = -x^2 + 2x + 4 與 y = x - 2所圍區域面積為何?
(A) \cfrac{12}{5} (B) \cfrac{25}{2} (C) \cfrac{125}{6} (D) \cfrac{64}{3}
解:\begin{cases}y = -x^2+2x+4\\ y=x-2\end{cases} \Rightarrow 求交點: -x^2+2x+4= x-2 \Rightarrow x^2-x-6=0 \Rightarrow (x-3)(x+2)=0\\ \Rightarrow \begin{cases}x = 3 \Rightarrow y=3-2=1\\ x=-2 \Rightarrow y=-2-2=-4\end{cases} \Rightarrow 交點 \begin{cases}A(-2,-4)\\B(3,1)\end{cases} \\\Rightarrow 面積=\int_{-2}^3 (-x^2+2x+4)-(x-2)\;dx = \int_{-2}^3 -x^2+x+6\;dx= \left. \left[ -{1\over 3}x^3+ {1\over 2}x^2+6x\right] \right|_{-2}^3 \\ = \left( -9+{9\over 2}+18 \right) - \left({8\over 3}+2-12 \right) =9+{9\over 2}+10-{8\over 3}=19+{11\over 6}= {125 \over 6},故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解題僅供參考
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