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2019年12月7日 星期六

107學年度臺北市聯合轉學考-高職升高三-數學科詳解


臺北市立高級職業學校暨進修學校107 學年度聯合招考轉學生招生考試
升高三數學科試題
1. 如右圖,由一個正六面體的一頂點 A 沿著稜線走捷徑到對角線的另一頂角G,每一個頂點只能經過一次,有幾種走法? 

(A)6  (B)7  (C)8  (D)9 


由於是走捷徑,從A至G要走3步,即
A→D→H→G、A→D→C→G ,
A→B→C→G、A→B→F→G ,
A→E→F→G、A→E→H→G ,
共六種走法, 故選:(A)

2. 試求540 的正因數個數? 
 (A)20 (B)22 (C)24 (D)26
540=5×22×33(1+1)(2+1)(3+1)=2×3×4=24(C)

3. 將 10 件相同的衣服分給三位同學,每位同學至少拿一件,則其方法數為何? 
 (A)120 (B)84 (C)36 (D)28

x+y+z=103=7H37=C97=36(C)

4. 設n 正整數,且n×5!=(7!6!) ,求n= ? 
(A)36 (B)24 (C)14 (D)6
n×5!=(7!6!)=(7×6!6!)=6!(71)=6×6!n=6×6!5!=6×6=36(A)

5. 甲,乙,丙,丁,戊,己六人排成一列,若甲乙要相鄰且丙丁要相鄰,排列的方法數為? 
(A)24 (B)96 (C)48 (D)72

4!=24224×2×2=96(B)

6. 將 2 枚相同的五元硬幣,3 枚相同的十元硬幣分給 7 位同學,每人至多一枚,有幾種分法? 
(A)10 (B)420 (C)120 (D)210 


此題相當於將2個紅球(五元硬幣)、3個白球(十元硬幣)及2個藍球(沒分到球)排列,
共有7!2!3!2!=504024=210排法, 故選(D)

7. 將 6 本不同的書分給三位同學,每位同學均拿兩本,其方法數為 
 (A)90 (B)15 (C) 720 (D)540 


6本書排列共有6!排法,其中前2本給第一位同學、後2本給第二位同學、最後2本給第三位同學;因此方法數為6!2!2!2!=7208=90, 故選(A)

8. 試計算2115 除以100的餘數為何? 
(A) 61 (B)41 (C)21 (D)1
2115=(20+1)15=C150201510+C151201411++C1515200115=C1502015+C1512014++C1513202+C1514201+C151520021151002C1514201+C1515200=15×20+1=3013011001(D)

9. 從十個人中選四位圍圓桌而坐,其方法數為 
(A)210 (B)1260 (C)2520 (D)5040
P1044=1260(B)

10. 若C200+C202+C204++C2020=2n ,則n 的值為 
(A)20 (B)19 (C)18 (D)17
f(x,y)=(x+y)20=C200y20+C201xy19+C202x2y18++C2020x20{f(1,1)=0=C200C201+C202+C2020f(1,1)=220=C200+C201+C202++C2020C200+C202+C204++C2020=(f(1,1)+f(1,1))÷2=220÷2=219(B)

11. 設A 、B 為某隨機試驗的兩事件且P(AB)=512P(A)=14P(B)=13,求P(AB)=
(A)16  (B) 12 (C) 23 (D) 34
P(AB)=P(AB)P(B)=P(A)+P(B)P(AB)P(B)=1/4+1/35/121/3=1/61/3=1/2(B)

12. 表格內為某公司100 名員工的年齡人數表,求其年齡的中位數? 

 (A)42 (B)43 (C)44 (D)45
100名員工的中位數即第50與第51的平均值,也就是中位數落在40~50的區間;
由於50=9+25+16=24+20+6,因此40~50的區間拆成16:24=2:3,其分隔位置就是中位數;
該區間有40個人,每一個人占了10/40=1/4年齡比重,16人占了16/4=4年齡比重,
所以中位數=40+4=44,故選(C)

13. 有一筆抽樣資料,分別為 63,81,75,67,54,86,試求其標準差(四捨五入至個位)? 
(A)11 (B)12 (C)13 (D)14 

ˉx=(63+81+75+67+54+86)÷6=71s2=(6371)2+(8171)2+(7571)2+(6771)2+(5471)2+(8671)2=64+100+16+16+289+225=710=71061=14212(B)

14. 設圓C:x2+y2=k,若A(3,-1)在圓 C 的內部,B(-2,5) 在圓 C 的外部,求 k 的範圍為何? 
(A)10 < k < 29 (B) k <10 或 k > 29 (C) k <10 (D) k > 29 


x2+y2=k{O(0,0)r=k{A(3,1)B(2,5){¯AO<r¯OB>r{10<k29>k10<k<29(A)

15. 已經A(0,-3) , B(4,-3),¯AB 為圓 C 的直徑,若P(x, y) 為此圓 C 上之動點,求3x4y 之最大值為何? 
(A)6 (B)10 (C)25 (D)28

{A(0,3)B(4,3){O(2,3)r=¯AB÷2=4÷2=2C:(x2)2+(y+3)2=22P(x,y)=P(2cosθ+2,2sinθ3)3x4y=6cosθ+68sinθ+12=6cosθ8sinθ+18=10(610cosθ810sinθ)+18=10(sinαcosθcosαsinθ)+18=10sin(αθ)+1810+18=28(D)

16. 求平行直線L : 3x + 2y =11且與圓 C:x2+y24x+6y3=0 相切之切線方程式為?
(A)3x+2y±413=0  (B)3x+2y2±313=0   
 (C)3x+2y±213=0   (D)3x+2y+1±13=0  
C:x2+y24x+6y3=0(x2)2+(y+3)2=42{O(2,3)r=4LM:3x+2y+k=0Mdist(M,O)=r|66+k32+22|=4k13=±4k=±413M:3x+2y±413=0(A)

17. 關於抛物線: x22x4y+9=0,下列敘述何者正確? 
 (A)頂點(2,1) (B)焦點(2,2) (C)準線:y=1 (D)正焦弦長為 1
x22x4y+9=0x22x+1=4y8(x1)2=4(y2){(1,2)c=1(1,2+1)=(1,3):y=21=1y=3(x1)2=4x=31=3(1)=4(C)

18. 平面上,與兩點(1,6) , (1,-4) 距離差之絕對值為 6 的圖形,其正焦弦長為? 
 (A)8 (B)10 (C) 165 (D) 323
:{F1(1,6)F2(1,4)2a=6a=3¯F1F2=10=2cc=5b=c2a2=4=2b2a=2×423=323(D)

19. 若點P 為橢圓x29+y225=1,求點P 到此橢圓中心距離為整數的點,共有幾個? 

 (A)2 (B)4 (C)8 (D)12



由方程式可知:長軸兩端點距中心點為5、短軸兩端點距中心點為3,因此橢圓還有四點距中心點為4,因此有2+2+4=8個點到中心點的距離為整數點,故選(C)

20. 若函數 f(x)=(2x+1)(x23x+5) ,求 f ' (0) =? 
 (A)0 (B)7 (C) -3 (D) -5
f(x)=(2x+1)(x23x+5)f(x)=2(x23x+5)+(2x+1)(2x3)f(0)=253=7(B)

21. 設an=(114)(119)(1116)(11n2),求limnan=
(A) 不存在  (B) 34  (C) 2   (D) 12

an=(114)(119)(11n2)=2212232132n21n2=(21)(2+1)22(31)(3+1)32(n1)(n+1)n2=132224323542(n3)(n1)(n2)2(n2)(n)(n1)2(n1)(n+1)n2=123242(n1)2n(n+1)2232(n1)2n2=12n(n+1)22n2=n(n+1)2n2limnan=limnn(n+1)2n2=12(D)

22. 求f(x)=2x33x212x+5在區間[0,3]的最大值為何? 
 (A)5 (B) -15 (C)12 (D) -3



f(x)=2x33x212x+5f(x)=6x26x12f

23. 設deg f (x) = 3,已知 f (0) = -1, f ' (0) = 2, f '' (0) = -12, f ''' (0) = 6,求 f (2) = ? 
 (A)24 (B) -13 (C) -3 (D)1

\text{deg }f=3 \Rightarrow f=ax^3+bx^2+cx +d \Rightarrow  \begin{cases}f'(x) = 3ax^2+2bx +c\\ f''(x)=6ax+2b \\ f'''(x)=6a\end{cases} \\ 因此  \begin{cases}f(0)=-1\\f'(0) = 2 \\ f''(0)=-12 \\ f'''(0)=6\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}d=-1\\c = 2 \\ 2b=-12  \Rightarrow b=-6\\ 6a=6  \Rightarrow a=1\end{cases}\\ \Rightarrow f(x)=x^3-6x^2+2x-1 \Rightarrow f(2)=8-24+4-1=-13,故選\bbox[red,2pt]{(B)}

24. 試求\int_{-3}^3|x|\;dx=
(A)0 (B)3 (C)6 (D)9 
\int_{-3}^3|x|\;dx= 2\int_0^3x\;dx= \left . x^2 \right|_0^3=9,故選\bbox[red,2pt]{(D)}

25. 求 y = -x^2 + 2x + 4 與 y = x - 2所圍區域面積為何?
(A) \cfrac{12}{5}  (B) \cfrac{25}{2}  (C) \cfrac{125}{6}  (D) \cfrac{64}{3}  


\begin{cases}y = -x^2+2x+4\\ y=x-2\end{cases}  \Rightarrow 求交點: -x^2+2x+4= x-2 \Rightarrow x^2-x-6=0 \Rightarrow (x-3)(x+2)=0\\  \Rightarrow  \begin{cases}x = 3 \Rightarrow y=3-2=1\\ x=-2  \Rightarrow y=-2-2=-4\end{cases}  \Rightarrow 交點 \begin{cases}A(-2,-4)\\B(3,1)\end{cases}  \\\Rightarrow 面積=\int_{-2}^3 (-x^2+2x+4)-(x-2)\;dx = \int_{-2}^3 -x^2+x+6\;dx= \left. \left[ -{1\over 3}x^3+ {1\over 2}x^2+6x\right] \right|_{-2}^3 \\ = \left( -9+{9\over 2}+18 \right) - \left({8\over 3}+2-12 \right) =9+{9\over 2}+10-{8\over 3}=19+{11\over 6}= {125 \over 6},故選\bbox[red,2pt]{(C)}



解題僅供參考

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