107學年度臺北市聯合轉學考-高中升高二-數學科詳解

臺北市高級中等學校 107 學年度聯合轉學考招生考試
升高二數學科試題(高中)

一、單選題

1. 計算 $\sqrt{2 +\sqrt 3}$ 的結果，其數值最接近下列哪一個選項？ 

(A)  1   

(B) 2 

(C) 3 

(D) 4 

(E) 5 

解： $$\sqrt{2+\sqrt 3} =\sqrt{2+1.732} = \sqrt {3.732}\approx 2\\ 也可以\sqrt{2+\sqrt 3} =a \Rightarrow a^2=2+\sqrt 3 \Rightarrow (a^2-2)^2=3 \Rightarrow a^4-4a^2+1=0\\  a^4-4a^2+1=\begin{cases}-4 & a = 1\\1 & a=2 \\ 46&a=3\end{cases}  \Rightarrow 當a=2時,a^4-4a^2+1最接近0， 故選：\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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2. 二次多項式函數 $f(x)=-2x^2-4x+9$，若 $f(x)在-1\le x\le 1$ 上的最大值為a ，最小值為b ，則a -b之值為何？ 
(A) 4 
(B) 5 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 8 
解： $$f(x)=-2x^2-4x+9=-2(x^2+2x+1)+9+2 = -2(x+1)^2+11\\  \Rightarrow \begin{cases}x = -1 有最大值11\\ x=1有最小值-2\times 4+11=3\end{cases} ,x\in[-1,1] \Rightarrow  \begin{cases}a = 11\\b =3 \end{cases}  \Rightarrow a-b=8， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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3. 設$A_1 ，A_2 ， A_3$ 為樣本空間S 的一個分割，B 為S 中的一個事件。已知$P(A_1) = 0.24 ，P(A_2)=0.36，P(B\mid A_3)=0.8$，則$P(A_3\cap B)$之值為何？ 

(A) 0.32
(B) 0.40
(C) 0.48
(D) 0.60
(E) 0.80 解：
$$P(A_3)=1-P(A_1)-P(A_2)=1-0.24-0.36 =0.4 \\\Rightarrow P(B\mid A_3) =\cfrac{P(A_3\cap B)}{P(A_3)} = \cfrac{P(A_3\cap B)}{0.4} =0.8  \Rightarrow P(A_3\cap B)=0.4\times 0.8=0.32， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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4. 某工廠由甲、乙、丙三台機器製造一項產品，甲、乙、丙三台機器的產量分別占該產品的 50%、20%、30%。又依過去的經驗得知，甲、乙、丙三台機器的不良產品比率分別為 2%、3%、4%。從全部產品中任選一個，若選出的產品為不良產品，則該不良產品為甲機器製造的機率為何？

(A)${7\over 250}$ (B)${7\over 25}$ (C)${7\over 28}$ (D)${5\over 14}$ (E)${5\over 7}$

解： $$\cfrac{甲的不良品}{不良品} =\cfrac{0.5\times 0.02}{0.5\times 0.02 +0.2\times 0.03 + 0.3\times 0.04 } = \cfrac{0.01}{0.028 } =  \cfrac{10}{28 } =  \cfrac{5}{14 } ， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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5. 已知實係數函數 $f(x)=x^4-x^3+ax^2+bx-10$，且$f(1-3i)=0，i=\sqrt {-1}$，則下列選項 

何者正確？ 

(A) a = 8 

(B) a = 9 

(C) b =10 

(D) b =11 

(E) b =12 

解： $$x = 1-3i \Rightarrow x^2 = -8-6i  \Rightarrow x^2-x= -9-3i\\ f(x)= x^4-x^3 +ax^2+bx-10 =x^2(x^2-x)+ax^2+bx-10 \\ f(1-3i)=0 \Rightarrow (-8-6i)(-9-3i)+a(-8-6i) +b(1-3i)-10=0\\  \Rightarrow (-8a+b+44) +(78-6a-3b)=0 \Rightarrow  \begin{cases}8a-b = 44\\ 6a+3b=78\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}a =7\\ b=12 \end{cases}， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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6. 滿足分式不等式 $\cfrac{2x-1}{x+2} \ge 4$的整數解共有多少個？ 

(A) 2 

(B) 3 

(C) 4 

(D) 5 

(E) 無限多個

解：
$$\cfrac{2x-1}{x+2}\ge 4 \Rightarrow \cfrac{2x-1}{x+2}-4\ge 0 \Rightarrow \cfrac{2x-1-4x-8}{x+2}\ge 0 \Rightarrow \cfrac{-2x-9}{x+2}\ge 0 \\\Rightarrow (-2x-9)(x+2)\ge 0  \Rightarrow (2x+9)(x+2) \le 0 \Rightarrow -\frac{9}{2}\le x <-2 (\because 分母不為0, \therefore x\ne -2)  \\\Rightarrow x的整數解為-4,-3， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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7.  函數$f(x)=|\log_{0.5} x|-(0.5)^x$ 的圖形與x 軸有多少個交點？ 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 

(E)  4  

解：

$$此題相當於求兩圖形 \begin{cases} y=0.5^x\\ y=|\log_{0.5}x|\end{cases} 的交點數\\ y=0.5^x經過(0,1)及(1,0.5)，且當x\to\infty則y\to 0；當x\to -\infty則y\to\infty；為一左上右平的形狀\\ y=\log_{0.5}x經過(0.5,1)及(1,0)且x\to 0則y\to \infty；當x\to\infty 則y\to -\infty\\ 因此兩圖形在0<x<1有一交點，再加y=|\log_{0.5}x|在1<x<2會有另一個交點\\，因此共有兩個交點， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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8. 已知公式： $1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，其中n 為正整數。
計算$2^2+4^2+6^2+8^2+\cdots +50^2$之值為何？
(A) 11050
(B) 22100
(C) 33150
(D) 44200
(E) 55250

解： $$2^2+4^2+6^2+\cdots+50^2 = \sum_{n=1}^{25}(2n)^2 = \sum_{n=1}^{25}4n^2 = 4\sum_{n=1}^{25}n^2 =4\times \cfrac{25\times (25+1)(2\times 25+1)}{6} \\ =4\times \cfrac{25\times 26\times 51}{6}=22100，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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9. 有 12 張卡片上分別印有1,2 ,3,... ,10 ,11,12 的號碼，今從中抽出一張卡片。 
A 表示抽到的號碼為質數的事件， 
B 表示抽到的號碼其正因數恰有 4 個的事件， 
C 表示抽到的號碼大於 7 或小於4 的事件， 
則下列選項何者正確？ 
(A) A 與B 為獨立事件 
(B) B 與C 為獨立事件 
(C) A 與C 為獨立事件 
(D)$B\cup (A\cap C)= A\cup (B\cap C)$
(E)$P[(A\cup B)'\cap C]={1\over 3}$
解： $$\begin{array}{c|} 數字 & A:質數 & B:正因數有4個 & C:大於7或小於4 \\\hline 1 & & & V\\\hline 2 & V & & V\\\hline 3 & V & & V\\\hline 4 &    & & \\\hline 5 & V & & \\\hline 6 &   & V & \\\hline 7 & V & & \\\hline 8 &   & V& V\\\hline 9 &  & & V\\\hline 10 & & V & V \\\hline 11 & V & & V\\\hline 12 &  &  & V\\\hline \end{array} \\ 由上表可知  \begin{cases}P(A)=5/12\\P(B)=3/12 \\ P(C)=8/12 \\ P(A\cap B)=0 \\ P(B\cap C)=2/12\\ P(A\cap C)=3/12\end{cases} \Rightarrow  P(B)\times P(C)={3\over 12}\times {8 \over 12}= {2\over 12}=P(B\cap C)\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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10. 由數字1、2、3、4 組成一個四位數，數字可以重複，但相同的數字不能相鄰，例如：四位數可以是1231、1212，但不可以是 1123、2222。依據題意共可組成多少個不同的四位數？ 
(A)  24 
(B)  35 
(C)  108 
(D)  216 

(E)  256 

解：
千位數字有4種選擇，其它位數都只有3種選擇，因此共有$4\times 3\times 3\times 3=108$種四位數字，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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11. 不等式$1+2\log_{0.25}(5-x) \ge \log_{0.5}(x-3)$的解為何？ $$(A){11\over 3}\le x< 5\\(B)1 \le x\le {11\over 3}\\(C)3< x\le {11\over 3}\\(D)x\le {11\over 3}或x>5\\(E)x\le 1或x\ge {11\over 3}$$  
解：

$$1+2\log_{0.25}(5-x) \ge \log_{0.5}(x-3) \Rightarrow 1+2\log_{1/4}(5-x) \ge \log_{1/2}(x-3) \\ \Rightarrow 1-2\log_{4}(5-x) \ge -\log_{2}(x-3) \Rightarrow 1-\log_{2}(5-x) \ge -\log_{2}(x-3) \Rightarrow 1\ge \log_{2}(5-x)-\log_{2}(x-3)\\  \Rightarrow 1\ge \log_{2}{5-x \over x-3} \Rightarrow 2 \ge {5-x \over x-3}  \Rightarrow 2x-6 \ge 5-x \Rightarrow 3x \ge 11 \Rightarrow x \ge {11\over 3}\\ 又原式\log運算式需為正數，即 \begin{cases}5-x>0\\ x-3>0\end{cases}  \Rightarrow 5>x>3再加上x \ge {11\over 3} \Rightarrow 5>x\ge {11\over 3}\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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12. 麵包店所販售的商品與價格如下表。若老闆以店內的商品組合成餐盒，餐盒內商品價格共 100 元，則老闆共能組合出多少種不同的餐盒？ 

(A) 13 

(B) 15
(C) 20
(D) 26
(E) 32

解：


$$此題相當於求20a+20b+30c+30d+50e+50f=100\\ \Rightarrow 2a+2b+3c+3d+5e+5f=10有幾組非負整數解；\\ \Rightarrow 2x+3y+5z=10，其中 \begin{cases}x=a+b\\ y=c+d \\ z=e+f\end{cases} \Rightarrow \begin{array}{c|cccc} x& 5 & 2& 1 & 0\\\hline y& 0 & 2 & 1 & 0 \\\hline z&0 & 0 & 1& 2 \end{array} \Rightarrow (x,y,z)有4組解\\ 又x=5代表a+b=5，有H^2_5=C^6_5=6組(a,b)的非負整數解 \Rightarrow (x,y,z)=(5,0,0) 代表6組解\\同理(x,y,z)=(2,2,0)代表有H^2_2\times H^2_2\times H^2_0=3\times 3\times 1=9組解\\ (x,y,z)=(1,1,1)代表有H^2_1\times H^2_1\times H^2_1=2\times 2\times 2=8組解\\ (x,y,z)=(0,0,2)代表有H^2_0\times H^2_0\times H^2_2=1\times 1\times 3=3組解\\ 因此共有6+9+8+3=26組解，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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13. 設一次函數$f(x)=a+bx，a、b$之值發生在

$[f(-2)-2]^2 +[f(-1)-1]^2 +[f(1)-4]^2 +[f(2)-3]^2 +[f(5)-5]^2$的值為最小，則下列選項

何者正確？ 

(A) a = -1 

(B) b = -1 

(C) a < b 

(D) f (1) = 3 

(E) f (x) 的圖形通過(5,15) 

解： $$樣本點(x_i,y_i) = (-2,2), (-1,1), (1, 4), (2,3),(5,5)，由題意可知：y=a+bx為一迴歸直線，\\ 因此該直線經過(\bar x, \bar y)，其中\begin{cases} \bar x= (-2-1+1+2+5)\div 5=1 \\ \bar y = (2+1+4+3+5) \div 5=3\end{cases}  \Rightarrow f(1)=3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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14. 若實係數多項式函數 $f(x)=ax^2+bx+c，f(-2)=-4，f(4)=-2，且f(x)=0$無實數解，
則下列選項何者正確？ 
(A) a > 0 
(B) b < 0 
(C) c > 0 
(D) 2a +b < 0 
(E) f (0) < f (1)

解：

$$(A)\times:\begin{cases}f(x)=0無實根\\ f(-2)<0\end{cases}   \Rightarrow f圖形為凹向下 \Rightarrow a<0\\ (B)\times: \begin{cases}f(x)=0無實根\\f圖形為凹向下\end{cases}   \Rightarrow f(x)<0 \Rightarrow f(0)=c<0\\ (D)\times:\begin{cases}f(-2)=-4\\f(4)=-2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4a-2b+c=-4\cdots (1) \\ 16a+4b+c =2 \cdots (2) \end{cases} \xrightarrow{(2)-(1)} 12a+6b= 6 \Rightarrow 2a+b=1 >0 \\ (C)\times:\begin{cases} 2a+b>0 \\ a<0 \end{cases} \Rightarrow b>0\\(E)\bigcirc: f(1)-f(0)=a+b+c-c= a+b = (2a+b)-a =1-a >0(\because a<0) \Rightarrow f(1)>f(0)\\，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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二、多重選擇題

15. 下列選項哪些正確﹖  

(A) a,b,c,d 為實數，若$a + c\sqrt 3 = b + d \sqrt 3$ ，則a = b 且c = d
(B) a,b,c,d 為實數，若$a + ci = b+ di ，i =\sqrt{-1}$ ，則a = b 且c = d
(C) 對所有的實數x ，不等式$| x +1| + | x - 4|\ge  5$ 恆成立
(D) 對所有的實數x ，函數 $f (x) = x^2 + x +\sqrt 2$ 的值恆為正數
(E) 對於a,b 兩實數，不等式$\cfrac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$恆成立

解：
$$(A)\times:\begin{cases}a=\sqrt 3\\ b=c=0\\d=1\end{cases}  滿足 a+b\sqrt 3=c+d\sqrt 3，但a\ne c且b\ne d\\(B)\bigcirc: 實部=實部且虛部=虛部\\(C)\bigcirc:數線上任一點至(-1)的距離加上至4的距離一定大於等於5\\(D)\bigcirc:x^2+x+\sqrt 2=(x+1/2)^2+\sqrt 2-{1\over 4}>0\\(E)\times:\begin{cases}a=-2\\ b=-2\end{cases} \Rightarrow {a+b\over 2}=-2<\sqrt{ab}=2 \\，故選\bbox[red,2pt]{(BCD)}$$

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16. 有兩個數列 $<a_n>與<b_n>$，數列$<a_n>$的前$n$項和為

$S_n=a_1+a_2+a_2+ \cdots+a_n = n(n+1)$，數列$<b_n>$滿足$\begin{cases}b_1=a_1 \\ b_n=a_n-a_{n-1},n\ge 2\end{cases}$，則下列選項哪些正確？ $$(A)a_1=2\\(B)a_2=6\\(C)b_3 =6\\ (D)<a_n>是一個等差數列\\(E)<b_n>是一個等比數列$$  

解： $$a_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)-(n-1)n=n^2+n-n^2+n=2n\\ \Rightarrow b_n=a_n-a_{n-1}=2n-2(n-1)=2n-2n+2=2\\(A)\bigcirc:a_1=2\times 1=2\\(B)\times: a_2= 2\times 2=4\\(C)\times: b_3=2\\(D)\bigcirc:a_n=2n為等差數列\\(E)\bigcirc:b_n=2為公比=1的等比數列\\，故選\bbox[red,2pt]{(ADE)}$$

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17. 下列選項哪些正確﹖ $$(A)2^{1\over 2}> 3^{1\over 3}>5^{1\over 5}\\(B)\log{1\over 234567}的首數為-5\\(C)5^{10}的最高位數字為9\\(D)\log 1250與\log{1\over 8}有相同尾數\\(E)已知\log 4.57=0.6599，\log x=-1.3401，則x=0.457\\(參考數值：\log 2\approx 0.0301，\log 3\approx 0.4771)$$

解： $$(A)\times: \begin{cases}(2^{1/2})^6  = 2^3=8\\ (3^{1/3})^6 =3^2=9 \end{cases} \Rightarrow 2^{1/2}<3^{1/3}\\(B)\times:\log {1\over 234567}=\log 1-\log 234567 \Rightarrow -6<\log {1\over 234567}<-5 \Rightarrow 首數=-6\\(C)\bigcirc: \log 5^{10}=10(1-\log 2)=10\times 0.699=6.99;由於\log 9<0.99<\log 10 \Rightarrow 最高位數字為9\\(D)\bigcirc: \begin{cases}\log 1250=\log (5^3\times 10)=1+3\log 5=1+3(1-\log 2)=4-3\log 2 \\ \log{1\over 8}=-\log 8=-3\log 2 \end{cases} \Rightarrow 尾數相同\\ (E)\times:\log x=-1.3401=-2+0.6599 =\log {1\over 100}+\log 4.57=\log {4.57\over 100} \Rightarrow x=0.04577\\，故選\bbox[red,2pt]{(CD)}$$

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18.  已知有一組數據為 7100，8600，8800，7700，7400，7900，8500，將這組每一個的數據都除以100，再減去 70 得到另一組新數據為 1，16，18，7，4，9，15，則下列選項
哪些正確？ 
(A) 新數據的算術平均數為 10 
(B) 新數據的標準差為 6 
(C) 原數據的算術平均數為 8000 
(D) 原數據的標準差為 7600 

(E) 原數據的中位數為 7700  

解： $$令y_i(i=1-7)為新數據，x_i為舊數據，且y_i={x_i\over 100}-70\\ (A)\bigcirc: \bar y={1\over 7}\sum_{i=1}^7y_i =(1+16+18+7+4+9+15)\div 7=70\div 7=10\\ (B)\bigcirc:\sigma^2(Y)={1\over 7}\sum_{i=1}^7(y_i-\bar y)^2= (81+36+64+9+36+1+25)\div 7= 252\div 7=36\\\qquad \Rightarrow \sigma(Y)=\sqrt {36}=6\\ (C)\bigcirc:E(Y)=E(X/100-70) ={1\over 100}E(X)-70=10 \Rightarrow E(X)=8000\\ (D)\times:\sigma(Y)=\sigma(X/100-70)={1\over 100}\sigma(X)=6 \Rightarrow \sigma(X)=600\\(E)\times:原數據從小排到大\to 7100,7400,7700,7900,8500, 8600,8800，第四位(中位數)是7900\\，故選\bbox[red,2pt]{(ABC)}$$

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19. 設數列$<a_n>$的一般項為$a_n=(1+\sqrt 3)^n+(1-\sqrt 3)^n$，其中$n$為正整數 ，則下列選項哪些正確？  $$(A)a_2=8\\(B)a_3=18\\(C)(1+\sqrt 3)^{10}的整數部分為a_{10}-1\\(E)a_{101}為無理數$$
解： $$\begin{cases}b_n=(1+\sqrt 3)^n=1+{n\choose 1}\sqrt 3+ {n\choose 2}(\sqrt 3)^2+ \cdots + {n\choose n}(\sqrt 3)^n\\c_n= (1-\sqrt 3)^n =1-{n\choose 1}\sqrt 3+ {n\choose 2}(\sqrt 3)^2- \cdots + {n\choose n}(\sqrt 3)^n(-1)^n\end{cases} \\ \Rightarrow a_n=b_n+c_n = \begin{cases}2\left(1+ {n\choose 2}(\sqrt 3)^2+ {n\choose 4}(\sqrt 3)^4+ \cdots+ {n\choose n}(\sqrt 3)^n\right)& n是偶數\\ 2\left(1+ {n\choose 2}(\sqrt 3)^2+ {n\choose 4}(\sqrt 3)^4+ \cdots+ {n\choose n-1}(\sqrt 3)^{n-1}\right)& n是奇數\end{cases} \\ (A)\bigcirc:a_2=2\left(1+{2\choose 2}(\sqrt 3)^2\right)= 2(1+3)=8\\(B)\times:a_3= 2\left(1+{3\choose 2}(\sqrt 3)^2\right)= 2(1+9)=20\\(C)\bigcirc:a_{10}=2\left(1+{10 \choose 2}(\sqrt 3)^2 +{10 \choose 4}(\sqrt 3)^4 +\cdots +{10 \choose 10}(\sqrt 3)^{10} \right)為一正整數\\(D)\bigcirc:令(1+\sqrt 3)^{10}=I+f_1 (I是整數, f_1是小數) \\又 a_{10}=(1+\sqrt 3)^{10}+(1-\sqrt 3)^{10}= (1+\sqrt 3)^{10}+(\sqrt 3-1)^{10} =I+f_1+f_2 (0<f_2<1)\\ 由於a_{10}是整數 \Rightarrow I+f_1+f_2是整數 \Rightarrow f_1+f_2是整數 \Rightarrow f_1+f_2=1\\  \Rightarrow I=a_{10}-(f_1+f_2) = a_{10}-1\\(E)\times:a_{101}=2\left(1+{101\choose 2}(\sqrt 3)^2+ {101\choose 4}(\sqrt 3)^4+ \cdots +{101\choose 100}(\sqrt 3)^{100}\right)為一有理數\\，故選\bbox[red,2pt]{(ACD)}$$

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解題僅供參考