臺北市高級中等學校 107 學年度聯合轉學考招生考試
升高二數學科試題(高中)
升高二數學科試題(高中)
一、單選題
1. 計算 \(\sqrt{2 +\sqrt 3}\) 的結果，其數值最接近下列哪一個選項？
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
也可以\sqrt{2+\sqrt 3} =a \Rightarrow a^2=2+\sqrt 3 \Rightarrow (a^2-2)^2=3 \Rightarrow a^4-4a^2+1=0\\ a^4-4a^2+1=\begin{cases}-4 & a = 1\\1 & a=2 \\ 46&a=3\end{cases} \Rightarrow 當a=2時,a^4-4a^2+1最接近0， 故選：\bbox[red,2pt]{(B)}$$
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
解：$$f(x)=-2x^2-4x+9=-2(x^2+2x+1)+9+2 = -2(x+1)^2+11\\ \Rightarrow \begin{cases}x = -1 有最大值11\\ x=1有最小值-2\times 4+11=3\end{cases} ,x\in[-1,1] \Rightarrow \begin{cases}a = 11\\b =3 \end{cases} \Rightarrow a-b=8， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$
3. 設\(A_1 ，A_2 ， A_3\) 為樣本空間S 的一個分割，B 為S 中的一個事件。已知\(P(A_1) = 0.24 ，P(A_2)=0.36，P(B\mid A_3)=0.8\)，則\(P(A_3\cap B)\)之值為何？
(A) 0.32
(B) 0.40
(C) 0.48
(D) 0.60
(E) 0.80 解：
$$P(A_3)=1-P(A_1)-P(A_2)=1-0.24-0.36 =0.4 \\\Rightarrow P(B\mid A_3) =\cfrac{P(A_3\cap B)}{P(A_3)} = \cfrac{P(A_3\cap B)}{0.4} =0.8 \Rightarrow P(A_3\cap B)=0.4\times 0.8=0.32， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
(A)\({7\over 250}\) (B)\({7\over 25}\) (C)\({7\over 28}\) (D)\({5\over 14}\) (E)\({5\over 7}\)
解：$$\cfrac{甲的不良品}{不良品} =\cfrac{0.5\times 0.02}{0.5\times 0.02 +0.2\times 0.03 + 0.3\times 0.04 } = \cfrac{0.01}{0.028 } = \cfrac{10}{28 } = \cfrac{5}{14 } ， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
5. 已知實係數函數 \(f(x)=x^4-x^3+ax^2+bx-10\)，且\(f(1-3i)=0，i=\sqrt {-1}\)，則下列選項
何者正確？
(A) a = 8
(B) a = 9
(C) b =10
(D) b =11
(E) b =12
解：$$x = 1-3i \Rightarrow x^2 = -8-6i \Rightarrow x^2-x= -9-3i\\ f(x)= x^4-x^3 +ax^2+bx-10 =x^2(x^2-x)+ax^2+bx-10 \\ f(1-3i)=0 \Rightarrow (-8-6i)(-9-3i)+a(-8-6i) +b(1-3i)-10=0\\ \Rightarrow (-8a+b+44) +(78-6a-3b)=0 \Rightarrow \begin{cases}8a-b = 44\\ 6a+3b=78\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a =7\\ b=12 \end{cases}， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$
6. 滿足分式不等式 \(\cfrac{2x-1}{x+2} \ge 4\)的整數解共有多少個？
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 無限多個
解：
$$\cfrac{2x-1}{x+2}\ge 4 \Rightarrow \cfrac{2x-1}{x+2}-4\ge 0 \Rightarrow \cfrac{2x-1-4x-8}{x+2}\ge 0 \Rightarrow \cfrac{-2x-9}{x+2}\ge 0 \\\Rightarrow (-2x-9)(x+2)\ge 0 \Rightarrow (2x+9)(x+2) \le 0 \Rightarrow -\frac{9}{2}\le x <-2 (\because 分母不為0, \therefore x\ne -2) \\\Rightarrow x的整數解為-4,-3， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
7. 函數\(f(x)=|\log_{0.5} x|-(0.5)^x\) 的圖形與x 軸有多少個交點？
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
$$此題相當於求兩圖形 \begin{cases} y=0.5^x\\ y=|\log_{0.5}x|\end{cases} 的交點數\\
y=0.5^x經過(0,1)及(1,0.5)，且當x\to\infty則y\to 0；當x\to -\infty則y\to\infty；為一左上右平的形狀\\ y=\log_{0.5}x經過(0.5,1)及(1,0)且x\to 0則y\to \infty；當x\to\infty 則y\to -\infty\\
因此兩圖形在0<x<1有一交點，再加y=|\log_{0.5}x|在1<x<2會有另一個交點\\，因此共有兩個交點， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
計算\(2^2+4^2+6^2+8^2+\cdots +50^2\)之值為何？
(A) 11050
(B) 22100
(C) 33150
(D) 44200
(E) 55250
解：$$2^2+4^2+6^2+\cdots+50^2 = \sum_{n=1}^{25}(2n)^2 = \sum_{n=1}^{25}4n^2 = 4\sum_{n=1}^{25}n^2 =4\times \cfrac{25\times (25+1)(2\times 25+1)}{6} \\ =4\times \cfrac{25\times 26\times 51}{6}=22100，故選\bbox[red,2pt]{(B)} $$
A 表示抽到的號碼為質數的事件，
B 表示抽到的號碼其正因數恰有 4 個的事件，
C 表示抽到的號碼大於 7 或小於4 的事件，
則下列選項何者正確？
(A) A 與B 為獨立事件
(B) B 與C 為獨立事件
(C) A 與C 為獨立事件
(D)\(B\cup (A\cap C)= A\cup (B\cap C)\)
(E)\(P[(A\cup B)'\cap C]={1\over 3}\)
解：$$\begin{array}{c|} 數字 & A:質數 & B:正因數有4個 & C:大於7或小於4 \\\hline
1 & & & V\\\hline
2 & V & & V\\\hline
3 & V & & V\\\hline
4 & & & \\\hline
5 & V & & \\\hline
6 & & V & \\\hline
7 & V & & \\\hline
8 & & V& V\\\hline
9 & & & V\\\hline
10 & & V & V \\\hline
11 & V & & V\\\hline
12 & & & V\\\hline
\end{array}
\\ 由上表可知 \begin{cases}P(A)=5/12\\P(B)=3/12 \\ P(C)=8/12 \\ P(A\cap B)=0 \\ P(B\cap C)=2/12\\ P(A\cap C)=3/12\end{cases} \Rightarrow P(B)\times P(C)={3\over 12}\times {8 \over 12}= {2\over 12}=P(B\cap C)\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)} $$
(A) 24
(B) 35
(C) 108
(D) 216
(E) 256
千位數字有4種選擇，其它位數都只有3種選擇，因此共有\(4\times 3\times 3\times 3=108\)種四位數字，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)
解：
12. 麵包店所販售的商品與價格如下表。若老闆以店內的商品組合成餐盒，餐盒內商品價格共 100 元，則老闆共能組合出多少種不同的餐盒？
(A) 13
(B) 15 (C) 20
(D) 26
(E) 32
解：
$$此題相當於求20a+20b+30c+30d+50e+50f=100\\
\Rightarrow 2a+2b+3c+3d+5e+5f=10有幾組非負整數解；\\
\Rightarrow 2x+3y+5z=10，其中 \begin{cases}x=a+b\\ y=c+d \\ z=e+f\end{cases} \Rightarrow
\begin{array}{c|cccc}
x& 5 & 2& 1 & 0\\\hline
y& 0 & 2 & 1 & 0 \\\hline
z&0 & 0 & 1& 2
\end{array} \Rightarrow (x,y,z)有4組解\\
又x=5代表a+b=5，有H^2_5=C^6_5=6組(a,b)的非負整數解 \Rightarrow (x,y,z)=(5,0,0) 代表6組解\\同理(x,y,z)=(2,2,0)代表有H^2_2\times H^2_2\times H^2_0=3\times 3\times 1=9組解\\
(x,y,z)=(1,1,1)代表有H^2_1\times H^2_1\times H^2_1=2\times 2\times 2=8組解\\
(x,y,z)=(0,0,2)代表有H^2_0\times H^2_0\times H^2_2=1\times 1\times 3=3組解\\
因此共有6+9+8+3=26組解，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
$$此題相當於求20a+20b+30c+30d+50e+50f=100\\
\Rightarrow 2a+2b+3c+3d+5e+5f=10有幾組非負整數解；\\
\Rightarrow 2x+3y+5z=10，其中 \begin{cases}x=a+b\\ y=c+d \\ z=e+f\end{cases} \Rightarrow
\begin{array}{c|cccc}
x& 5 & 2& 1 & 0\\\hline
y& 0 & 2 & 1 & 0 \\\hline
z&0 & 0 & 1& 2
\end{array} \Rightarrow (x,y,z)有4組解\\
又x=5代表a+b=5，有H^2_5=C^6_5=6組(a,b)的非負整數解 \Rightarrow (x,y,z)=(5,0,0) 代表6組解\\同理(x,y,z)=(2,2,0)代表有H^2_2\times H^2_2\times H^2_0=3\times 3\times 1=9組解\\
(x,y,z)=(1,1,1)代表有H^2_1\times H^2_1\times H^2_1=2\times 2\times 2=8組解\\
(x,y,z)=(0,0,2)代表有H^2_0\times H^2_0\times H^2_2=1\times 1\times 3=3組解\\
因此共有6+9+8+3=26組解，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
13. 設一次函數\(f(x)=a+bx，a、b\)之值發生在
\([f(-2)-2]^2 +[f(-1)-1]^2 +[f(1)-4]^2 +[f(2)-3]^2 +[f(5)-5]^2\)的值為最小，則下列選項
何者正確？
(A) a = -1
(B) b = -1
(C) a < b
(D) f (1) = 3
(E) f (x) 的圖形通過(5,15)
解：$$樣本點(x_i,y_i) = (-2,2), (-1,1), (1, 4), (2,3),(5,5)，由題意可知：y=a+bx為一迴歸直線，\\ 因此該直線經過(\bar x, \bar y)，其中\begin{cases} \bar x= (-2-1+1+2+5)\div 5=1 \\ \bar y = (2+1+4+3+5) \div 5=3\end{cases} \Rightarrow f(1)=3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
則下列選項何者正確？
(A) a > 0
(B) b < 0
(C) c > 0
(D) 2a +b < 0
(E) f (0) < f (1)
解：
(B)\times: \begin{cases}f(x)=0無實根\\f圖形為凹向下\end{cases} \Rightarrow f(x)<0 \Rightarrow f(0)=c<0\\
(D)\times:\begin{cases}f(-2)=-4\\f(4)=-2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4a-2b+c=-4\cdots (1) \\ 16a+4b+c =2 \cdots (2) \end{cases} \xrightarrow{(2)-(1)} 12a+6b= 6 \Rightarrow 2a+b=1 >0 \\ (C)\times:\begin{cases} 2a+b>0 \\ a<0 \end{cases} \Rightarrow b>0\\(E)\bigcirc: f(1)-f(0)=a+b+c-c= a+b = (2a+b)-a =1-a >0(\because a<0) \Rightarrow f(1)>f(0)\\，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$
二、多重選擇題
15. 下列選項哪些正確﹖
(A) a,b,c,d 為實數，若\(a + c\sqrt 3 = b + d \sqrt 3\) ，則a = b 且c = d (B) a,b,c,d 為實數，若\(a + ci = b+ di ，i =\sqrt{-1}\) ，則a = b 且c = d
(C) 對所有的實數x ，不等式\(| x +1| + | x - 4|\ge 5\) 恆成立
(D) 對所有的實數x ，函數 \(f (x) = x^2 + x +\sqrt 2\) 的值恆為正數
(E) 對於a,b 兩實數，不等式\(\cfrac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\)恆成立
解：
$$(A)\times:\begin{cases}a=\sqrt 3\\ b=c=0\\d=1\end{cases} 滿足 a+b\sqrt 3=c+d\sqrt 3，但a\ne c且b\ne d\\(B)\bigcirc: 實部=實部且虛部=虛部\\(C)\bigcirc:數線上任一點至(-1)的距離加上至4的距離一定大於等於5\\(D)\bigcirc:x^2+x+\sqrt 2=(x+1/2)^2+\sqrt 2-{1\over 4}>0\\(E)\times:\begin{cases}a=-2\\ b=-2\end{cases} \Rightarrow {a+b\over 2}=-2<\sqrt{ab}=2 \\，故選\bbox[red,2pt]{(BCD)}$$
16. 有兩個數列 \( <a_n>與<b_n>\)，數列\(<a_n>\)的前\(n\)項和為
\(S_n=a_1+a_2+a_2+ \cdots+a_n = n(n+1)\)，數列\(<b_n>\)滿足\(\begin{cases}b_1=a_1 \\ b_n=a_n-a_{n-1},n\ge 2\end{cases}\)，則下列選項哪些正確？$$(A)a_1=2\\(B)a_2=6\\(C)b_3 =6\\ (D)<a_n>是一個等差數列\\(E)<b_n>是一個等比數列$$
解：$$a_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)-(n-1)n=n^2+n-n^2+n=2n\\ \Rightarrow b_n=a_n-a_{n-1}=2n-2(n-1)=2n-2n+2=2\\(A)\bigcirc:a_1=2\times 1=2\\(B)\times: a_2= 2\times 2=4\\(C)\times: b_3=2\\(D)\bigcirc:a_n=2n為等差數列\\(E)\bigcirc:b_n=2為公比=1的等比數列\\，故選\bbox[red,2pt]{(ADE)}$$解：$$(A)\times: \begin{cases}(2^{1/2})^6 = 2^3=8\\ (3^{1/3})^6 =3^2=9 \end{cases} \Rightarrow 2^{1/2}<3^{1/3}\\(B)\times:\log {1\over 234567}=\log 1-\log 234567 \Rightarrow -6<\log {1\over 234567}<-5 \Rightarrow 首數=-6\\(C)\bigcirc: \log 5^{10}=10(1-\log 2)=10\times 0.699=6.99;由於\log 9<0.99<\log 10 \Rightarrow 最高位數字為9\\(D)\bigcirc: \begin{cases}\log 1250=\log (5^3\times 10)=1+3\log 5=1+3(1-\log 2)=4-3\log 2 \\ \log{1\over 8}=-\log 8=-3\log 2 \end{cases} \Rightarrow 尾數相同\\ (E)\times:\log x=-1.3401=-2+0.6599 =\log {1\over 100}+\log 4.57=\log {4.57\over 100} \Rightarrow x=0.04577\\，故選\bbox[red,2pt]{(CD)}$$
哪些正確？
(A) 新數據的算術平均數為 10
(B) 新數據的標準差為 6
(C) 原數據的算術平均數為 8000
(D) 原數據的標準差為 7600
(E) 原數據的中位數為 7700
(A)\bigcirc: \bar y={1\over 7}\sum_{i=1}^7y_i =(1+16+18+7+4+9+15)\div 7=70\div 7=10\\
(B)\bigcirc:\sigma^2(Y)={1\over 7}\sum_{i=1}^7(y_i-\bar y)^2= (81+36+64+9+36+1+25)\div 7= 252\div 7=36\\\qquad \Rightarrow \sigma(Y)=\sqrt {36}=6\\
(C)\bigcirc:E(Y)=E(X/100-70) ={1\over 100}E(X)-70=10 \Rightarrow E(X)=8000\\
(D)\times:\sigma(Y)=\sigma(X/100-70)={1\over 100}\sigma(X)=6 \Rightarrow \sigma(X)=600\\(E)\times:原數據從小排到大\to 7100,7400,7700,7900,8500, 8600,8800，第四位(中位數)是7900\\，故選\bbox[red,2pt]{(ABC)} $$
19. 設數列\(<a_n>\)的一般項為\(a_n=(1+\sqrt 3)^n+(1-\sqrt 3)^n\)，其中\(n\)為正整數 ，則下列選項哪些正確？ $$(A)a_2=8\\(B)a_3=18\\(C)(1+\sqrt 3)^{10}的整數部分為a_{10}-1\\(E)a_{101}為無理數$$
解：$$ \begin{cases}b_n=(1+\sqrt 3)^n=1+{n\choose 1}\sqrt 3+ {n\choose 2}(\sqrt 3)^2+ \cdots + {n\choose n}(\sqrt 3)^n\\c_n= (1-\sqrt 3)^n =1-{n\choose 1}\sqrt 3+ {n\choose 2}(\sqrt 3)^2- \cdots + {n\choose n}(\sqrt 3)^n(-1)^n\end{cases} \\ \Rightarrow a_n=b_n+c_n = \begin{cases}2\left(1+ {n\choose 2}(\sqrt 3)^2+ {n\choose 4}(\sqrt 3)^4+ \cdots+ {n\choose n}(\sqrt 3)^n\right)& n是偶數\\ 2\left(1+ {n\choose 2}(\sqrt 3)^2+ {n\choose 4}(\sqrt 3)^4+ \cdots+ {n\choose n-1}(\sqrt 3)^{n-1}\right)& n是奇數\end{cases}
\\
(A)\bigcirc:a_2=2\left(1+{2\choose 2}(\sqrt 3)^2\right)= 2(1+3)=8\\(B)\times:a_3= 2\left(1+{3\choose 2}(\sqrt 3)^2\right)= 2(1+9)=20\\(C)\bigcirc:a_{10}=2\left(1+{10 \choose 2}(\sqrt 3)^2 +{10 \choose 4}(\sqrt 3)^4 +\cdots +{10 \choose 10}(\sqrt 3)^{10} \right)為一正整數\\(D)\bigcirc:令(1+\sqrt 3)^{10}=I+f_1 (I是整數, f_1是小數) \\又 a_{10}=(1+\sqrt 3)^{10}+(1-\sqrt 3)^{10}= (1+\sqrt 3)^{10}+(\sqrt 3-1)^{10} =I+f_1+f_2 (0<f_2<1)\\ 由於a_{10}是整數 \Rightarrow I+f_1+f_2是整數 \Rightarrow f_1+f_2是整數 \Rightarrow f_1+f_2=1\\ \Rightarrow I=a_{10}-(f_1+f_2) = a_{10}-1\\(E)\times:a_{101}=2\left(1+{101\choose 2}(\sqrt 3)^2+ {101\choose 4}(\sqrt 3)^4+ \cdots +{101\choose 100}(\sqrt 3)^{100}\right)為一有理數\\，故選\bbox[red,2pt]{(ACD)}$$
解題僅供參考
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