臺北市高級中等學校 108 學年度聯合轉學考招生考試
高中數學科試題(升高二)
高中數學科試題(升高二)
一、單選題
(C)-(D)=(\sqrt 5-\sqrt 2)/7>0 \Rightarrow (C)>(D)\\
\begin{cases}(2\sqrt 2+3\sqrt 5)/5=(14\sqrt 2+21\sqrt{10})/35 \\ (3\sqrt 2+4\sqrt 5)/7= (15\sqrt 2+ 20 \sqrt{10})/35\end{cases} \Rightarrow (14\sqrt 2+ 21\sqrt{10})- (15\sqrt 2+ 20 \sqrt{10}) \\= \sqrt{10}-\sqrt 2>0 \Rightarrow (A)>(C)\\
\begin{cases}(2\sqrt 2+3\sqrt 5)/5=(4\sqrt 2+ 6\sqrt{10})/10 \\ (\sqrt 2+ \sqrt 5)/2= (5\sqrt 2+ 5 \sqrt{5})/10 \end{cases} \Rightarrow (4\sqrt 2+ 6\sqrt{10})-(5\sqrt 2+ 5 \sqrt{5})\\ =\sqrt 6-\sqrt 2>0 \Rightarrow (A)>(E)， 故選：\bbox[red,2pt]{(A)}$$
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解：$$f(x)= (x^4+2x^2-3x+5) (x^2+3x-2) + x^3-x^2+2x-4 \\ =(x^4+2x^2-3x+5) (x^2+3x-2) + (x^2+3x-2)(x-4)+16x-12\\ = (x^4+2x^2-2x+1)(x^2+3x-2) +16x-12\\ \Rightarrow 商式為 x^4+2x^2-2x+1， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解：$$-1<x<4 \Rightarrow (x-4)(x+1)<0 \Rightarrow x^2-3x-4<0 \Rightarrow -x^2+3x+4>0 \Rightarrow \begin{cases}a = -1\\b=4 \end{cases} \\ \Rightarrow bx^2+2ax-12<0 \Rightarrow 4x^2-2x-12<0 \Rightarrow 2(2x+3)(x-2)<0 \Rightarrow -{3\over 2} <x <2， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解：$$1024<2019<2048 \Rightarrow \log_2 1024< \log_2 2019 <\log_2 2048 \Rightarrow 10 < \log_2 2019<11 \\ \Rightarrow 20<2\log_2 2019 < 22 \Rightarrow 20<\log_2 2019^2 < 22 \Rightarrow 整數部分為21， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解：
$$x=\cfrac{\sqrt[3]{132\times 0.0154}}{\sqrt{103\times 0.0112}} \Rightarrow \log x= {1\over 3}(\log 132+\log 0.0154)- {1\over 2}(\log 103+\log 0.0112)\\ ={1\over 3}(\log (1.32\times 100)+\log {1.54 \over 100})- {1\over 2}(\log (1.03\times 100)+\log {1.12 \over 100})\\ = {1\over 3}(\log 1.32+2+\log 1.54 -2)- {1\over 2}(\log 1.03+ 2+\log 1.12 -2) \\= {1\over 3}(\log 1.32+\log 1.54 )- {1\over 2}(\log 1.03+\log 1.12 ) ={1\over 3}(0.1206+0.1875 )- {1\over 2} (0.0128+0.0492 )\\ ={1\over 3}\times 0.3081-{1\over 2}\times 0.062 =0.1027-0.031 =0.0717 \Rightarrow \log x=0.0717 \Rightarrow x\approx 1.18， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$
=(甲有3種選法、乙有兩種選法，其他人都有3種選法\(=3\times 2\times 3^4\)) - (甲有3種選法、乙有兩種選法，其他人同坐甲船或同坐乙船(\( 3\times 2\times 2\)) ，因此共有\(3\times 2\times 3^4-3\times 2\times 2=486-12=474\)安全過渡法， 故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)
解：$${得病驗出陽性反應人數 \over 得病驗出陽性反應人數+不得病也驗出陽性反應} \\ ={1\times 0.999 \over 1\times 0.999+99999\times 0.001} ={0.999 \over 100.998} \approx {1 \over 100}，故選\bbox[red,2pt]{(D)} $$
解：$$符合a<b\le c 的(a,b,c)有：\\
(6,5,5-1)\to 5種；(6,4,4-1)\to 4種；\cdots (6,1,1)\to 1種；\\
(5,4,4-1)\to 4種；(5,3,3-1)\to 3種；\cdots (5,1,1)\to 1種；\\
\cdots \cdots\\
(2,1,1)\to 1種；\\
因此共有(5+4+\cdots+1)+(4+3+\cdots+1)+\cdots+(1) =5+4\times 2+3\times 3+ 2\times 4+1\times 5=35\\ \Rightarrow 機率為{35\over 6\times 6\times 6} ={35\over 216}
，故選\bbox[red,2pt]{(B)} $$
解：$$0.9^n< {2\over 5} \Rightarrow n\log 0.9<\log 2-\log 5 \Rightarrow n(2\log 3-1)<\log 2-(1-\log 2)\\ \Rightarrow n(2\times 0.4771-1) < 2\times 0.301-1 \Rightarrow -0.0458n<-0.398 \Rightarrow n>{0.398 \over 0.0458}=8.69 \Rightarrow n=9\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解：
解：
$$將原熱量表簡化如下表，總共有4\times 2\times 3=24種配法；\\\begin{array}{|cccc|cc|ccc|}
\hline
a_1& a_2 & a_3 &a_4 &b_1&b_2 &c_1 &c_2 &c_3\\\hline
620 & 530 & 450 & 320 & 360 & 200 &300 & 210 &150\\\hline
\end{array}\\
挑出熱量超過1000大卡的配法：\\
(1,1,1), (1,1,2), (1,1,3)、(1,2,1),(1,2,2)、(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3)、(2,2,1)、(3,1,1),(3,1,2)\\
共有11種套餐熱量超過1千大卡，剩下24-11=13種合乎要求，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解：$$此題相當於求x+y+z=7的非負整數解有幾組？共有H^3_{7}=C^9_7，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
解：
二、多重選擇題
解：
$$(A)\times: \begin{cases}\log_7 3<1 \\ \log_7 4<1 \end{cases} \Rightarrow (\log_7 3<1 )(\log_7 4<1 )<1 \ne 1\\(B)\times:\log_2 12)(\log_3 2) = {\log 12 \over \log 2}\times {\log 2 \over \log 3}= {\log 12\over \log 3} =\log_3 12 \ne 4 \\(C)\bigcirc: \log_{\sqrt 2}\sqrt 3= {\log \sqrt 3 \over \log \sqrt 2}={(1/2)\log 3 \over (1/2)\log 2}={\log 3\over \log 2}= \log_2 3\\ (D)\bigcirc:5^{\log_5 3}=a \Rightarrow \log_5 5^{\log_5 3} =\log_5 a \Rightarrow \log_5 3=\log_5 a \Rightarrow a=3=\log_3 27\\(E)\bigcirc: y=0.2^x 為遞減函數 \Rightarrow 0.2^{a}>0.2^b \Rightarrow b>a \\，故選\bbox[red,2pt]{(CDE)}$$
解：$$(A)\times: E(1.5X+10)=1.5E(X)+10 \Rightarrow 加分後數學平均值變為原來的1.5倍再加10分\\(B)\times:\sigma(1.5X+10)=1.5\sigma(X) \Rightarrow 加分後數學標準差變為原來的1.5倍 \\(C)\bigcirc: 加分倍率均為正值 \Rightarrow 相關係數不變\\ (D)\bigcirc:兩科加分倍率相同 \Rightarrow 斜率不變\\(E)\times: 迴歸直線已被平移，其截距改變，所以方程式不同 \\，故選\bbox[red,2pt]{(CD)}$$
(B)\bigcirc:先取紅球再取白球+先取白球再取紅球={3\over 7}\times {4\over 6} +{4\over 7}\times {3\over 6}={2\over 7}+{2\over 7}={4\over 7} \\
(C)\times: 先取紅球再取白球+先取白球再取紅球={3\over 7}\times {4\over 7}+ {4\over 7}\times {3\over 7}={24\over 49}\\
(D)\bigcirc:與(B)相同\\
(E)\times: 第三次取到白球\to (白白白)(紅紅白)(白紅白)(紅白白)，\\機率為(4\times 3\times 2+ 3\times 2\times 4 +4\times 3\times 3+3\times 4\times 3)\div (7\times 6\times 5)={4\over 7}\\，故選\bbox[red,2pt]{(ABDE)} $$
解：$$令<b_i>=2,4,6,\dots<2i>,i=1,2,\dots\\
a_1=b_1\\a_2=b_2+b_3\\ a_3=b_4+b_5+b_6\\a_4 = b_7+b_8+b_9+b_{10}\\ \vdots \\
\Rightarrow \begin{cases} 第1組的第一個數字b_1\\第n組的第一個數字是b_k \Rightarrow 第n+1組的第一個數字b_{k+n} \\第n組有n個數字\end{cases} \\ (A)\bigcirc: a_5=22+24+26+28+30=130\\(B)\times:第n組的第一數字為b_k,k=1+\sum_{i=1}^{n-1}i={n(n-1)\over 2}+1 \Rightarrow b_k=2k=n(n-1)+2\\(C)\bigcirc:第n組的最後一數字為b_k,k=\sum_{i=1}^{n}i= {n(n+1)\over 2} \Rightarrow b_k=2k=n(n+1)\\(D)\bigcirc: a_n=(n(n-1)+2)+(n(n-1)+4)+\cdots+n(n+1)\\ =(n^2-n+2)+(n^2-n+4)+\cdots+(n^2-n+2n)\\=n(n^2-n)+2(1+2+\cdots+n) =n(n^2-n)+n(n+1)= n^3+n\\(E) \times: \sum_{i=1}^na_n= 2+4+6+\cdots +n(n+1) = 2(1+2+3+ \cdots+ {n(n+1)\over 2})\\ =\left( {n(n+1)\over 2}+1\right)\cdot {n(n+1)\over 2} ={n(n+1)(n^2+n+2)\over 4}
\\，故選\bbox[red,2pt]{(ACD)}$$
解題僅供參考
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