108學年度臺北市聯合轉學考-高中升高二-數學科詳解

臺北市高級中等學校 108 學年度聯合轉學考招生考試
高中數學科試題(升高二)

一、單選題

解： $$(A)-(B)=(\sqrt 5-\sqrt 2)/5>0 \Rightarrow (A)>(B)\\ (C)-(D)=(\sqrt 5-\sqrt 2)/7>0 \Rightarrow (C)>(D)\\ \begin{cases}(2\sqrt 2+3\sqrt 5)/5=(14\sqrt 2+21\sqrt{10})/35 \\ (3\sqrt 2+4\sqrt 5)/7= (15\sqrt 2+ 20 \sqrt{10})/35\end{cases} \Rightarrow  (14\sqrt 2+ 21\sqrt{10})- (15\sqrt 2+ 20 \sqrt{10}) \\= \sqrt{10}-\sqrt 2>0 \Rightarrow (A)>(C)\\ \begin{cases}(2\sqrt 2+3\sqrt 5)/5=(4\sqrt 2+ 6\sqrt{10})/10 \\ (\sqrt 2+ \sqrt 5)/2= (5\sqrt 2+ 5 \sqrt{5})/10 \end{cases} \Rightarrow (4\sqrt 2+ 6\sqrt{10})-(5\sqrt 2+ 5 \sqrt{5})\\ =\sqrt 6-\sqrt 2>0 \Rightarrow (A)>(E)， 故選：\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$f(x)= (x^4+2x^2-3x+5) (x^2+3x-2) + x^3-x^2+2x-4 \\ =(x^4+2x^2-3x+5) (x^2+3x-2) + (x^2+3x-2)(x-4)+16x-12\\ = (x^4+2x^2-2x+1)(x^2+3x-2) +16x-12\\  \Rightarrow 商式為 x^4+2x^2-2x+1， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$-1<x<4  \Rightarrow (x-4)(x+1)<0 \Rightarrow  x^2-3x-4<0  \Rightarrow -x^2+3x+4>0 \Rightarrow  \begin{cases}a  = -1\\b=4 \end{cases} \\ \Rightarrow bx^2+2ax-12<0  \Rightarrow 4x^2-2x-12<0 \Rightarrow  2(2x+3)(x-2)<0 \Rightarrow -{3\over 2} <x <2， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$2x^5-17x^4+52x^3-68x^2+35x-6  =(2x-1)(x^4-8x^3+22x^2-23x+6) \\ =(2x-1) (x-2) (x^3-6x^2+10x-3) = (2x-1) (x-2)(x-3)(x^2-3x+1) =0 \\\Rightarrow 有理根之和為1/2+2+3 =11/2 ， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解： $$1024<2019<2048 \Rightarrow \log_2 1024< \log_2 2019 <\log_2 2048 \Rightarrow 10 < \log_2 2019<11 \\ \Rightarrow 20<2\log_2 2019 < 22 \Rightarrow 20<\log_2 2019^2 < 22 \Rightarrow 整數部分為21， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$x=\cfrac{\sqrt[3]{132\times 0.0154}}{\sqrt{103\times 0.0112}}  \Rightarrow \log x= {1\over 3}(\log 132+\log 0.0154)- {1\over 2}(\log 103+\log 0.0112)\\ ={1\over 3}(\log (1.32\times 100)+\log {1.54 \over 100})- {1\over 2}(\log (1.03\times 100)+\log {1.12 \over 100})\\ = {1\over 3}(\log 1.32+2+\log 1.54 -2)- {1\over 2}(\log 1.03+ 2+\log 1.12 -2) \\= {1\over 3}(\log 1.32+\log 1.54 )- {1\over 2}(\log 1.03+\log 1.12 ) ={1\over 3}(0.1206+0.1875 )- {1\over 2} (0.0128+0.0492 )\\ ={1\over 3}\times 0.3081-{1\over 2}\times 0.062 =0.1027-0.031 =0.0717 \Rightarrow \log x=0.0717 \Rightarrow x\approx 1.18， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解：

(甲乙不同船，其他人任坐) - (甲乙不同船而且超載)
=(甲有3種選法、乙有兩種選法，其他人都有3種選法$=3\times 2\times 3^4$) - (甲有3種選法、乙有兩種選法，其他人同坐甲船或同坐乙船($3\times 2\times 2$) ，因此共有$3\times 2\times 3^4-3\times 2\times 2=486-12=474$安全過渡法， 故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $${得病驗出陽性反應人數 \over 得病驗出陽性反應人數+不得病也驗出陽性反應} \\ ={1\times 0.999 \over 1\times 0.999+99999\times 0.001} ={0.999 \over 100.998} \approx {1 \over 100}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$符合a<b\le c 的(a,b,c)有：\\ (6,5,5-1)\to 5種；(6,4,4-1)\to 4種；\cdots (6,1,1)\to 1種；\\ (5,4,4-1)\to 4種；(5,3,3-1)\to 3種；\cdots (5,1,1)\to 1種；\\ \cdots \cdots\\ (2,1,1)\to 1種；\\ 因此共有(5+4+\cdots+1)+(4+3+\cdots+1)+\cdots+(1) =5+4\times 2+3\times 3+ 2\times 4+1\times 5=35\\ \Rightarrow 機率為{35\over 6\times 6\times 6} ={35\over 216} ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$0.9^n< {2\over 5} \Rightarrow n\log 0.9<\log 2-\log 5 \Rightarrow n(2\log 3-1)<\log 2-(1-\log 2)\\ \Rightarrow n(2\times 0.4771-1) < 2\times 0.301-1 \Rightarrow -0.0458n<-0.398 \Rightarrow n>{0.398 \over 0.0458}=8.69 \Rightarrow n=9\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$\begin{cases}a_1+a_3+a_5=12 \\S_{13}=208 \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}a_1+(a_1+2d)+(a_1+4d)=12 \\ (2a_1+12d)\times 13/2=208 \end{cases}  \Rightarrow  \begin{cases}a_1+2d=4 \\ a_1+6d=16 \end{cases} \Rightarrow  \begin{cases}a_1=-2 \\ d=3 \end{cases} \\  \Rightarrow S_8= (2a_1+7d)\times 8\div 2=(-4+21)\times 4=68，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解：

$$將原熱量表簡化如下表，總共有4\times 2\times 3=24種配法；\\ \begin{array}{|cccc|cc|ccc|} \hline a_1& a_2 & a_3 &a_4 &b_1&b_2 &c_1 &c_2 &c_3\\\hline 620 & 530 & 450 & 320 & 360 & 200 &300 & 210 &150\\\hline \end{array}\\ 挑出熱量超過1000大卡的配法：\\ (1,1,1), (1,1,2), (1,1,3)、(1,2,1),(1,2,2)、(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3)、(2,2,1)、(3,1,1),(3,1,2)\\ 共有11種套餐熱量超過1千大卡，剩下24-11=13種合乎要求，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$此題相當於求x+y+z=7的非負整數解有幾組？共有H^3_{7}=C^9_7，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$\begin{cases} EX=5\\ EX^2-(EX)^2=4^2\end{cases} \Rightarrow EX^2=16+5^2=41 \Rightarrow E(3X^2-5)=3EX^2-5=3\times 41-5=118\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$ 但公佈的答案是(C)，隨便舉個例子: $$\begin{cases} x_1=1\\ x_2=9\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 算數平均數 =(1+9)\div 2= 5\\ 標準差=\sqrt{((1-5)^2+(9-5)^2)\div 2}=4\end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases} 3x_1^2-5= -2\\ 3x_2^2-5 = 238\end{cases} \Rightarrow 算術平均數=(-2+238)\div 2=118\ne 110$$

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二、多重選擇題

解：
$$(A)\times: \begin{cases}\log_7 3<1 \\ \log_7 4<1 \end{cases}  \Rightarrow (\log_7 3<1 )(\log_7 4<1 )<1 \ne 1\\(B)\times:\log_2 12)(\log_3 2) = {\log 12 \over \log 2}\times {\log 2 \over \log 3}= {\log 12\over \log 3} =\log_3 12 \ne 4 \\(C)\bigcirc: \log_{\sqrt 2}\sqrt 3= {\log \sqrt 3 \over \log \sqrt 2}={(1/2)\log 3 \over (1/2)\log 2}={\log 3\over \log 2}= \log_2 3\\ (D)\bigcirc:5^{\log_5 3}=a \Rightarrow \log_5 5^{\log_5 3} =\log_5 a \Rightarrow \log_5 3=\log_5 a \Rightarrow a=3=\log_3 27\\(E)\bigcirc: y=0.2^x 為遞減函數 \Rightarrow 0.2^{a}>0.2^b \Rightarrow b>a \\，故選\bbox[red,2pt]{(CDE)}$$

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解： $$(A)\times: f(1)\times f(2) =(-2)\times 3<0 \Rightarrow 有實根介於1和2之間\\(B)\bigcirc:f(\infty)>0 \Rightarrow f(3)\times f(\infty)<0 \Rightarrow 有實根介於3和\infty之間 \\(C)\bigcirc:f(-\infty)>0 \Rightarrow f(1)\times f(\infty)<0 \Rightarrow 有實根介於-\infty和1之間，\\\qquad 因此有實根介於(-\infty, 1), (1,2), (2,3), (3,\infty)，恰有4實根\\ (D)\bigcirc: 共軛變數的函數值也是共軛，兩者相加必為實數\\(E)\times:  (x-(1+\sqrt 2)(x-2)=0的兩根為1+\sqrt  2及2，並沒有1-\sqrt 2 \\，故選\bbox[red,2pt]{(BCD)}$$

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解： $$(A)\times: E(1.5X+10)=1.5E(X)+10 \Rightarrow 加分後數學平均值變為原來的1.5倍再加10分\\(B)\times:\sigma(1.5X+10)=1.5\sigma(X) \Rightarrow 加分後數學標準差變為原來的1.5倍 \\(C)\bigcirc: 加分倍率均為正值 \Rightarrow 相關係數不變\\ (D)\bigcirc:兩科加分倍率相同 \Rightarrow 斜率不變\\(E)\times: 迴歸直線已被平移，其截距改變，所以方程式不同 \\，故選\bbox[red,2pt]{(CD)}$$

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解： $$(A)\bigcirc: 紅球數/全部=3/7\\ (B)\bigcirc:先取紅球再取白球+先取白球再取紅球={3\over 7}\times {4\over 6} +{4\over 7}\times {3\over 6}={2\over 7}+{2\over 7}={4\over 7} \\ (C)\times: 先取紅球再取白球+先取白球再取紅球={3\over 7}\times {4\over 7}+ {4\over 7}\times {3\over 7}={24\over 49}\\ (D)\bigcirc:與(B)相同\\ (E)\times: 第三次取到白球\to (白白白)(紅紅白)(白紅白)(紅白白)，\\機率為(4\times 3\times 2+ 3\times 2\times 4 +4\times 3\times 3+3\times 4\times 3)\div (7\times 6\times 5)={4\over 7}\\，故選\bbox[red,2pt]{(ABDE)}$$

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解： $$令<b_i>=2,4,6,\dots<2i>,i=1,2,\dots\\ a_1=b_1\\a_2=b_2+b_3\\ a_3=b_4+b_5+b_6\\a_4 = b_7+b_8+b_9+b_{10}\\ \vdots \\ \Rightarrow \begin{cases}  第1組的第一個數字b_1\\第n組的第一個數字是b_k  \Rightarrow 第n+1組的第一個數字b_{k+n} \\第n組有n個數字\end{cases} \\ (A)\bigcirc: a_5=22+24+26+28+30=130\\(B)\times:第n組的第一數字為b_k,k=1+\sum_{i=1}^{n-1}i={n(n-1)\over 2}+1 \Rightarrow b_k=2k=n(n-1)+2\\(C)\bigcirc:第n組的最後一數字為b_k,k=\sum_{i=1}^{n}i= {n(n+1)\over 2} \Rightarrow b_k=2k=n(n+1)\\(D)\bigcirc: a_n=(n(n-1)+2)+(n(n-1)+4)+\cdots+n(n+1)\\ =(n^2-n+2)+(n^2-n+4)+\cdots+(n^2-n+2n)\\=n(n^2-n)+2(1+2+\cdots+n) =n(n^2-n)+n(n+1)= n^3+n\\(E) \times: \sum_{i=1}^na_n= 2+4+6+\cdots +n(n+1) = 2(1+2+3+ \cdots+ {n(n+1)\over 2})\\ =\left( {n(n+1)\over 2}+1\right)\cdot {n(n+1)\over 2} ={n(n+1)(n^2+n+2)\over 4} \\，故選\bbox[red,2pt]{(ACD)}$$

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解題僅供參考