108學年度高雄區公立高中聯合轉學考-升高二數學科詳解

高雄區公立高中 108 學年度聯合招考轉學生
升高二數學科試題詳解

一、單選題

解：
$$-3\le x\le 5 \Rightarrow -10\le -2x \le 6 \Rightarrow -8\le -2x+2\le 8 \Rightarrow |-2x+2|\le 8 \Rightarrow \begin{cases} a=-2\\ b=8\end{cases}\\\Rightarrow a+b=6， 故選：\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$P在圓上 \Rightarrow \overrightarrow{OP}=(2,3)為直線的法向量 \Rightarrow 直線方程式為2(x-2)+3(y-3)=0\\ \Rightarrow 2x+3y=13， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$x=1+i-{2\over i}=1+i+2i =1+3i \Rightarrow (x-1)^2=(3i)^2 \Rightarrow x^2-2x+1=-9\\  \Rightarrow x^2-2x+10=0 \Rightarrow  \begin{cases}a  = -2\\b = 10\end{cases}  \Rightarrow a+b=8， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$12^5-7\cdot 12^4-58\cdot 12^3+16\cdot 12^2-465\cdot 12+100\\ =(12-7)12^4-58\cdot 12^3+16\cdot 12^2-465\cdot 12+100\\ =5\cdot 12^4-58\cdot 12^3+16\cdot 12^2-465\cdot 12+100 =(5\cdot 12-58)12^3+16\cdot 12^2-465\cdot 12+100\\ =2\cdot 12^3+16\cdot 12^2-465\cdot 12+100 =(2\cdot 12+16)12^2+465\cdot 12+100\\ =40\cdot 12^2-465\cdot 12+100 =(40\cdot 12-465)\cdot 12+100=15\cdot 12+100= 180+100=280\\， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$\left(\sqrt{2+ \sqrt 3}- \sqrt{2- \sqrt 3}\right)^2=2+ \sqrt 3-2\sqrt{(2+ \sqrt 3)(2- \sqrt 3)} +2- \sqrt 3\\ =4-2\sqrt 1=2 \Rightarrow \sqrt{2+ \sqrt 3}- \sqrt{2- \sqrt 3}=\sqrt 2 \Rightarrow \log_4\left(\sqrt{2+ \sqrt 3}- \sqrt{2- \sqrt 3}\right)=\log_4 \sqrt 2\\ ={{1\over 2}\log_2 2 \over 2\log_2 2}={1\over 4}， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$\begin{cases}可樂的pH值=2.5\\ 牛奶的pH值=6.5\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}-\log H^+_{可樂}=2.5\\ -\log H^+_{牛奶}=6.5\end{cases} \Rightarrow  \begin{cases} H^+_{可樂}= 10^{-2.5} \\ H^+_{牛奶}=10^{-6.5}\end{cases} \Rightarrow {10^{-2.5} \over 10^{-6.5}}=10^4， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解：

$$令f(x)=ax^2+bx+c,由 \begin{cases}a_1=1 \\ a_2=4=a_1+f(0)=1+ f(0) \Rightarrow f(0)=3\\ a_3=7 =a_2+f(1)=4+f(1) \Rightarrow f(1)=3 \\a_4=12 =a_3+f(2)=7+f(2) \Rightarrow f(2)=5\end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases}c = 3\\ a+b+c=3\\ 4a+2b+c=5\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a = 1\\ b=-1\\ c=3\end{cases}  \Rightarrow f(x)=x^2-x+3\\ \Rightarrow a_5=a_4+f(3) =12+3^2-3+3= 21， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$a_1=2 \Rightarrow a_2={1\over 1-a_1}=-1 \Rightarrow a_3={1 \over 1-a_2}={1\over 2} \Rightarrow a_4={1\over 1-a_3}=2\\ \Rightarrow <a_n>=2,-1,{1\over 2},2,\dots   = \begin{cases} 2 & n = 3k+1\\-1 & k =3k+2 \\ 1/2 & n=3k\end{cases} ,k=0,1,2,\dots\\ \Rightarrow a_{2019}+a_{2020}+a_{2021} = {1\over 2}+2-1= {3\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$總和為偶數的三位數: 偶偶偶、奇奇偶、奇偶奇、偶奇奇，其中：\\ 偶偶偶:666→1種\\ 奇奇偶: 奇數可選1,5,7, 9，有四種選擇，偶數只能選6，因此有4\times 4\times 1=16種3位數；\\奇偶奇與偶奇奇同樣也是都有16種3位數\\因此共有1+16+16+16=49種，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$此題相當於7個O與3個X排列，但任兩個X不相鄰；先將三個X排好:   a_1 X a_2 X a_3 X a_4,\\其中7個O要放進a_1,a_2,a_3,a_4中，因此題目可轉化作a_1+a_2+a_3+ a_4 =7, a_i\in N\cup \{0\};\\ 由於a_2及a_3至少要塞進一個O，所以令 \begin{cases}b1 = a_1\\b_2 =a_2+1\\ b_3=a_3+1\\ b_4=a_4\end{cases}  \Rightarrow  b_1+b_2+b_3+b_4=5 \\\Rightarrow 共有H^4_5 =C^8_5=56組非負整數解，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$編號之和大於或等於14的三球：861,862,863，共有3三種情形，其機率為{3\over C^5_3} ={3\over 10}\\ 因此編號之和小於14的機率為1-{3\over 10}={7\over 10}，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解：

$$\begin{cases}更正前\{50,100,x_1,x_2,\dots,x_{46}\} \Rightarrow \begin{cases}平均值\mu=70 \\ 標準差\sigma\end{cases}\\ 更正後\{80,70, x_1, x_2, \dots, x_{46} \}  \Rightarrow \begin{cases}平均值\mu=70 \\ 標準差\sigma' \end{cases} \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases}{1\over 48}((50-70)^2 +(100-70)^2+\sum_{i=1}^{46}(x_i-70)^2) = \sigma^2 \\ {1\over 48}((80-70)^2 +(70-70)^2+\sum_{i=1}^{46}(x_i-70)^2) = \sigma'^2 \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}\sum_{i=1}^{46}(x_i-70)^2= 48\sigma^2-1300 \\ \sum_{i=1}^{46}(x_i-70)^2=48\sigma'^2-100 \end{cases}\\  \Rightarrow 48\sigma^2-1300= 48\sigma'^2-100 \Rightarrow \sigma^2=\sigma'^2+25 \Rightarrow \sigma>\sigma' \\又 (\sigma'+5)^2=(\sigma'^2+25)+10\sigma'=\sigma^2+10\sigma' \Rightarrow (\sigma'+5)^2 \ge \sigma^2 \Rightarrow \sigma'+5\ge \sigma \Rightarrow \sigma'\ge \sigma-5\\ 因此\sigma-5\le \sigma'<\sigma，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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二、多重選擇題

解： $$-1與5的距離為6，因此\begin{cases}|x+1|+|x-5|\ge 6\\6\ge  |x+1|-|x-5|\ge -6 \end{cases} \Rightarrow (A)(C)(E)錯、(B)(D)對，故選\bbox[red,2pt]{(BD)}$$

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解：

$$\begin{cases}f(x) = a(x-1)^2+b \\ f(3)> 0\\ f(4)<0\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}f(1) 為極值 \\ f(x)= 0 \Rightarrow 3<x<4 \end{cases}  \Rightarrow\begin{cases}f(1) >0 \\ f(1)為極大值 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}b>0 \\ a< 0 \end{cases}\\ 又f(x)的對稱軸為x=1 \Rightarrow \begin{cases}f(-1)=f(1-2) = f(1+2)=f(3)>0\\ f(-2)=f(1-3)=f(1+3)=f(4)<0 \end{cases} \\另f(x)為遞減，1<x<3 \Rightarrow f(2)>f(3)>0 \Rightarrow f(2)=a+b>0，故選\bbox[red,2pt]{(CDE)}$$

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解：
$$\begin{cases}\log_2 a = 19 \\ \log_3 b=12\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}a=2^{19} \\ b=3^{12} \end{cases}  \Rightarrow ab=2^{19}\cdot 3^{12} \Rightarrow \log ab=19\log 2+12\log 3= 19\times 0.301+12\times 0.4771\\ =11.4442 \Rightarrow ab為12位數, 又\log 2<0.4442 < \log 3 \Rightarrow ab的最高位數字為2\\同理\begin{cases}a=2^{19} \\ b=3^{12} \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}\log a= 19\log 2= 19\times 0.301=5.719 \\ \log b= 12 \log 3= 12\times 0.4771= 5.7252\end{cases}  \Rightarrow a,b皆為6位數, \\又\log 5 <0.719,0.7252 <\log 6(0.4771+0.301=0.7784)  \Rightarrow ab最高位數字皆為5 \\因此a+b為7位數,且最高位數為1，故選\bbox[red,2pt]{(BD)}$$

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解： $$(A)\bigcirc: S>0 \Rightarrow {(a_1+a_{61})61 \over 2}>0 \Rightarrow a_1+a_{61}>0 \\(B)\times: a_{42}+a_{60} =2a_1+100d= 2a_{51}<0 \\ (C) \bigcirc: \begin{cases}a_{51}<0 \\S > 0\end{cases}  \Rightarrow \begin{cases}a_{1}>0 \\d< 0\end{cases} ,由(A)知a_1+a_{61}>0 \Rightarrow a_1+a_{61}=a_{20}+a_{42}>0 ,\\\qquad因d<0 \Rightarrow a_{20}>a_{42} \Rightarrow a_{20}>0\\(D)\bigcirc: a_1+a_{61}>0  \Rightarrow 2(a_1+30d)> 0  \Rightarrow 2a_{31}>0 \Rightarrow a_{31}>0\\(E)\times: 理由同(C)\\，故選\bbox[red,2pt]{(ACD)}$$

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解： $$(A)\times: 7200= 2^5\times 3^2\times 5^2 \Rightarrow \color{red}{正}因數共有(5+1)(2+1)(2+1)=54個\\(B)\bigcirc: (2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5)(3^0+ 3^1+3^2)(5^0+ 5^1+5^2) =(2^6-1)\times 13\times 31=25389\\ (C)\bigcirc: 7200= 2\times (2^2)^2\times 3^2\times 5^2 \Rightarrow 完全平方數有(2+1)(1+1)(1+1)=12個\\(D)\bigcirc: (1+4+16)(1+9)(1+25)= 5460\\(E)\times: 7200= 2^2\times 2^3\times 3^2\times 5^2 \Rightarrow 完全平方數有1,8 \Rightarrow 1+8=9，故選\bbox[red,2pt]{(BCD)}$$

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解：
$$樣本空間S=5個R與40個W排列 \Rightarrow n(S)={45! \over 5!40!} \\ 事件A: 第1個是R,其它4R與40個W任排 \Rightarrow n(A)={44! \over 4!40!}\\事件B: 第10個是R, 其它4R與40個W任排 \Rightarrow n(B)={44! \over 4!40!}\\ 事件A\cap B: 第1個是R且第10個也是R,其它3R與40個W任排 \Rightarrow n(A\cap B)= {43! \over 3!40!}\\ (A) \bigcirc : P(A)={n(A) \over n(S)} = {44! \over 4!40!}\times {5!40! \over 45!}={5\over 45} ={1\over 9}\\(B)\times: P(B)={n(B) \over n(S)} =P(A)={1 \over 9} \\ (C)\bigcirc: P(A\cap B) ={n(A\cap B) \over n(S)} = {43! \over 3!40!}\times {5!40! \over 45!}={5\over 45} ={1\over 99} \Rightarrow P(B\mid A)= {P(A\cap B) \over P(A)} \\\qquad ={1/99 \over 1/9} ={1\over 11}\\ (D)\times: P(A\cap B)={1\over 99},說明如(C)\\(E)\times: P(A)\times P(B)= {1\over 9}\times {1\over 9}={1\over 81}\ne {1\over 11}=P(A\cap B)  \Rightarrow   A, B不獨立 \\，故選\bbox[red,2pt]{(AC)}$$

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解： $$(A)\times: n(S)=6\times 6\times 6=216\\(B)\times: n(B)=3\times 6\times 6=108 \\ (C)\times: A_5 ={(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1),(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)} \Rightarrow A_5\cap B={(2,1,2),(2,2,1)}\\ \qquad  \Rightarrow n(A_5\cap B)=2 \\ (D)\times: A_{17}= {(6,6,5), (6,5,6), (5,6,6)} \Rightarrow n(A_{17})=3 \ne n(A_5) \Rightarrow P(A_5)\ne P(A_{17})\\(E)\bigcirc: A_{3}={(1,1,1)}  \Rightarrow A_3 \cap B= \emptyset \\，故選\bbox[red,2pt]{(CE)}$$

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解： $$(A)\bigcirc: \rho={Cov(x,y) \over \sigma_X\sigma_Y} ={0 \over \sigma_X\sigma_Y}=0\\(B)\times: b_1 = {Cov(x,y) \over \sigma_X^2} ={0 \over \sigma_X^2}=0\\ (C)\times: 迴歸直線: y=b_1x+b_0通過(\bar x,\bar y), 其中\begin{cases}\bar x={1\over 15}\sum_{i=1}^{15}x_i =165/15=11 \\ \bar y={1\over 15}\sum_{i=1}^{15}y_i =315/15 = 21  \end{cases}\\ \qquad \Rightarrow (y-21)= 0\cdot (x-11) \Rightarrow  y=21 \Rightarrow y截距為21 \\(D)\bigcirc: 理由同(C)\\(E)\bigcirc: 該樣本點(100,21)在原迴歸直線上，所以不改變\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ADE)}$$

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解題僅供參考