106學年度臺北市聯合轉學考-高中升高二-數學科詳解

臺北市高級中等學校 106 學年度聯合轉學考招生考試
升高二數學科試題

一、單選題

解：
$$\sqrt{4+\sqrt {12}}= \sqrt{4+2\sqrt {3}}= \sqrt{(\sqrt 3+1)^2} =\sqrt{3}+1 \Rightarrow 小數部份為\sqrt 3-1， 故選：\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$|3-2x|\le 4 \Rightarrow -4\le 3-2x \le 4 \Rightarrow x=3,2,1,0 \Rightarrow 四個整數解， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$(27)^{2\over 3}\times ({1\over 9})^{3\over 4}\times (\sqrt 3)^{5\over 2}\times ({1\over 3})^{-2} = (3^3)^{2/3}\times (3^{-2})^{3/4}\times (3^{1/2})^{5/2} \times (3^{-1})^{-2}\\ =3^2\times 3^{-3/2}\times 3^{5/4}\times 3^2 =3^{2-3/2+5/4+2} =3^{15/4}， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f(x)=-2x^2-6x+7 =-2(x^2+3x+9/4)+9/2+16 =-2(x+3/2)^2+41 /2 \\\Rightarrow x=-3/2有最大值且x離-3/2越遠,f(x)越小\\ \Rightarrow  當-1\le x\le 2時，最大值為f(-1)=11=a，最小值為f(2)=-13=b\\ \Rightarrow a+b=11-13=-2， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$第一列的數字<a_n>=1^2,1^2+1,3^2,3^2+1,5^2,5^2+1,7^2,7^2+1,9^2,9^2+1\\ \Rightarrow \sum_{n=1}^{10}a_n = 1+2+9+10+25+26+49+50+81+82 =335， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
甲生75→70，全班總分少5分；乙生65→70，全班總分多5分；因此甲乙兩人成績更正後，全班總分不變，所以算術平均數$\mu$不變；
由於$\mu$不變，甲乙兩生更正後的成績都離$\mu$更近，所以標準差$\sigma$變小； 故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$(2+1)^6= C^6_02^01^6 +C^6_12^11^5 + \ldots +C^6_62^61^0 =1+C^6_12^1 +C^6_22^2+ \ldots +C^6_62^6\\ \Rightarrow 2C^6_1+4C^6_2+ \cdots +64C^6_6=(2+1)^6-1= 729-1=728， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解： $$A、B獨立 \Rightarrow P(A\cap B) =P(A)\times P(B)=P(A)\times (1-P(B'))  \\={1\over 2}\times (1-{1\over 4})= {1\over 2}\times {3\over 4} ={3\over 8}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$x=i+1 \Rightarrow (x-1)^2=i^2 \Rightarrow x^2-2x+2=0 \Rightarrow x^2-2x+2為其因式\\  \Rightarrow 利用長除法可得x^4-4x^3+ax^2+2x+b=(x^2-2x+2)(x^2-2x+(a-6))\\ \Rightarrow  \begin{cases} 6 = -2(a-6) \\b =2(a-6)\end{cases} \Rightarrow  \begin{cases}a=3\\b = -6\end{cases}  \Rightarrow a+b=-3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$(x,y,z)代表販賣機的位置，則(x,y,z)= \\ (1,3,5),(1,3,6),\dots,(1,3,10)\to共6種配置 \\ (1,4,6),(1,4,7),\dots,(1,4,10)\to共5種配置\\  \vdots \\(1,8,10)\to 共1種配置\\  \Rightarrow (1,y,z) 共有(6+5+\cdots+1)=21種配置\\ 同理 \begin{cases}(2,y,z)有1+2+\cdots+5=15種配置\\ (3,y,z)有1+2+\cdots+4=10種配置\\  \ \ldots \\(6,y,z)有1種配置\end{cases} \\ \Rightarrow 總共有21+15+10+6+3+1=56種配置，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$(x,y)代表擲骰子出現的點數 \Rightarrow 點數和=8的情形:\\ (2,6), (3,5), (4,4),(5,3),(6,2)，共有5種情形；\\其中y為偶數的情形為(2,6),(4,4),(6,2)，有3種情形；3/5，故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$

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解： $$\log_2 a+2\log_4 b=5 \Rightarrow \log_2 a+\log_2 b=5 \Rightarrow \log_2 ab=5 \Rightarrow ab=2^5=32\\ 又 {a+2b \over 2}\ge \sqrt {2ab}=\sqrt{2\times 32}=8 \Rightarrow a+2b\ge 16，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $${A的不良品\over 不良品} ={0.4\times 0.1 \over 0.4\times 0.1+0.6\times 0.2}={0.04 \over 0.16} =0.25，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$原數據均為十位數正數，其全距經log運算後會變小，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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二、多重選擇題

解：
$$(A)\times: f(x)=(3x-1)q(x)+r={1\over 2}(6x-2)q(x)+r \Rightarrow 餘式仍為r\\ (B)\bigcirc:2f(x)=2(3x-1)q(x)+2r  \Rightarrow 餘式為2r\\ (C)\times:f({x\over 2})=(3x-1)q({x\over 2} )+r \Rightarrow 商式為q({x\over 2} )\\ (D)\bigcirc:f({x\over 2})=(3x-1)q({x\over 2} )+r \Rightarrow 餘式仍為r\\ (E)\times: 除以(3x-1)的餘式為常數，故選\bbox[red,2pt]{(BD)}$$

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解：
$$(A)\times: A與B資料完全相同，只是順序不同 \Rightarrow \sigma_A=\sigma_B\\ (B)\bigcirc:C=2A \Rightarrow \sigma_C=2\sigma_A\\ (C)\times:A、D兩組資料與各組的平均值差距相同，所以\sigma_A=\sigma_D\\ (D)\bigcirc:D組資料與其平均值差距小於C組資料 \Rightarrow \sigma_D<\sigma_C\\ (E)\bigcirc: C=2B\Rightarrow \sigma_C=2\sigma_B\\，故選\bbox[red,2pt]{(BDE)}$$

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解： $$(A)\times: \begin{cases} a_{100}=1\\ d=-0.01 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_{199}=1+99d=0.01>0 \\ a_{399}=1+299d=-1.99<0 \end{cases} \\(B)\bigcirc: a_{100}>a_{199}\Rightarrow d<0 \Rightarrow a_{399}=a_{199}+200d<0\\(C)\bigcirc: \begin{cases}b_{100}>0\\ b_{199}>0 \end{cases} \Rightarrow r^{99}={b_{199} \over b_{100}}>0 \Rightarrow r>0 \Rightarrow b_{399}=b_{199}\times r^{200}>0\\(D)\bigcirc:  r^{99}={b_{199} \over b_{100}}<0 \Rightarrow r<0 \Rightarrow b_{399}=b_{199}\times r^{200}<0\\(E)\times:  r^{100}={b_{200} \over b_{100}}>0 \Rightarrow r^{100}>0 \Rightarrow r可能為正數,也可能為負數，因此b_{399}=b_{200}\times r^{199}正負未定\\，故選\bbox[red,2pt]{(BCD)}$$

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解： $$(A)\bigcirc:3^\alpha>2^\alpha \Rightarrow \alpha\log 3>\alpha\log 2 \Rightarrow \alpha(\log 3-\log 2)>0 \Rightarrow \alpha>0\\(B)\times:\log_3 \alpha- \log_2 \alpha>0 \Rightarrow {\log \alpha \over \log 3}-{\log \alpha \over \log 2}>0  \Rightarrow (\log 2-\log 3)\log \alpha>0 \Rightarrow \log \alpha <0 \Rightarrow \alpha <1\\(C)\bigcirc: 理由同(B)\\(D)\bigcirc: 由於g_1為f_1的反函數，所以條件成立\\(E)\times: b=f_2(a) \Rightarrow  若a>0，則g_2(-a)不存在\\，故選\bbox[red,2pt]{(ACD)}$$

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解： $$(B)\times:應該是C^5_2C^4_2\\(C)\times: 應該是C^4_2\times C^4_2\\(D)\times: 紅色2張黑色1張或紅色1張黑色2張，共有C^4_2C^5_1+C^4_1C^5_2\\(E)\times: 黑色2張紅色1張或黑色3張，共有C^5_2C^4_1+C^5_3\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解題僅供參考