臺灣警察專科學校 112 學年度專科警員班第 42 期正期學生組
新生入學考試甲組數學科試題
壹、單選題:30 題,題號自第 1 題至第 30 題,每題 2 分,計 60 分。
解答:令f(x,y)=11x−7y−1⇒f(7,11)=77−77−1<0(A)◯:f(6,10)=66−70−1<0⇒f(6,10)⋅f(7,11)>0⇒同側(B)×:f(8,12)=88−84−1>0⇒f(8,12)⋅f(7,11)<0⇒異側(C)×:f(9,9)>0(D)×:f(11,7)=>0故選(A)解答:Y=−110X⇒σ(Y)=|110|σ(X)=a10,故選(D)
解答:15x=2π⇒x=215π,故選(B)
解答:(3+2+2)!3!2!2!=7!6⋅2⋅2=504024=210,故選(A)
解答:P=2B+3A5=1.6×2+(−5.9)×35=−14.55=−2.9,故選(B)
解答:10000=1002⇒√1002+n=a為整數⇒最小的a=101⇒1002+a=1012⇒n=1012−1002=201,故選(D)
解答:log30.3=log0.3log3=log310log3=log3−1log3=1−1log3,故選(D)
解答:1−sin79∘×cos79∘tan79∘=1−sin79∘×cos79∘sin79∘/cos79∘=1−cos279∘=sin279∘=sin2(90∘−11∘)=cos211∘,故選(D)
解答:{a3=a1r2=3a6=a1r5=−24,兩式相除⇒1r3=−18⇒r=−2⇒a3=a1(−2)2=3⇒a1=34⇒a1+a2+⋯+a10=a1(1+r+r2+⋯+r9)=34⋅1−(−2)101−(−2)=34⋅1−10243=−10234,故選(A)
解答:兩直線{3x−4y=54x+ky=5平行⇒34=−4k⇒k=−163⇒兩直線{3x−4y=54x−163y=5⇒{3x−4y=53x−4y=154距離=5−15/4√32+42=5/45=14,故選(A)
解答:¯AB與¯CD的距離即為立方體邊長=1,故選(A)
解答:{A(0,1,−1)B(1,−3,−8)C(0,−1,−5)⇒{→AB=(1,−4,−7)→AC=(0,−2,−4)⇒→n=→AB×→AC=(2,4,−2)⇒△ABC面積=12|→n|=12√4+16+4=√6,故選(A)
解答:y=x(3−2x2)=0⇒x=0,±√32,又x3係數為負值⇒圖形為左上右下,故選(D)
解答:{(x+2)2(x−2)2=((x+2)(x−2))2=(x2−4)2=x4−8x2+16(x+1)(x−1)=x2−1再利用長除法可得(x+2)2(x−2)2=(x+1)(x−1)(x2−7)+9⇒餘式為9,故選(B)
解答:
x2+y2+8x+12y+25=0⇒(x2+8x+16)+(y2+12y+36)+25−16−36=0⇒(x+4)2+(y+6)2=27=(3√3)2⇒{圓心O(-4,-6)半徑r=3√3過P(−3,−5)作弦¯AB,使其¯AB⊥¯OP,則¯AB就是最短的弦長在直角△APO中,¯OP=√12+12=√2⇒¯AP=√r2−¯OP2=√27−2=5⇒¯AB=2¯AP=10,故選(B)
解答:y=f(x−1)=f(x)+3⇒a(x−1)+b=ax+b+3⇒ax−a+b=ax+b+3⇒−a+b=b+3⇒a=−3,故選(B)
解答:
解答:y=f(x−1)=f(x)+3⇒a(x−1)+b=ax+b+3⇒ax−a+b=ax+b+3⇒−a+b=b+3⇒a=−3,故選(B)
解答:
令{L1:y=0L2:x+2y=4L3:x−y=1,則所圍區域各頂點坐標{A=L1∩L3=(1,0)B=L2∩L3=(2,1)C=L1∩L2=(4,0)⇒△ABC面積=12⋅3⋅1=1.5,故選(A)
解答:甲被選中後剩下九人,九人中選中乙或丙的機率都是19,因此機率為19+19=29,故選(B)
解答:{a1=1an=3an−1+1⇒a2=4⇒a3=13⇒a4=40⇒a5=121⇒a6=364,故選(C)
解答:|x−10π|≤π⇒−π≤x−10π≤π⇒9π≤x≤11π⇒28.3≤x≤34.5⇒x=29,30,31,32,33,34⇒共六個解,故選(C)
解答:f(x)=(x−1)(x+1)(x+3)+5=(x2−1)(x+3)+5=x3+3x2−x+2⇒f′(x)=3x2+6x−1⇒f″(x)=6x+6若f″(x)=0⇒x=−1⇒對稱中心(−1,f(−1))=P(−1,5)又f′(−1)=−4⇒通過P且斜率為-4的直線:y=−4(x+1)+5=−4x+1,故選(D)
解答:[abcd][12243648]=[0230]⇒24a+48b=2⇒12a+24b=1因此[abcd][12242472]=[12a+24b=1???],故選(A)
解答:△ABC=△ABD+△ACD⇒12⋅3⋅4sin120∘=12⋅3⋅¯ADsin60∘+12⋅4⋅¯ADsin60∘⇒3√3=34√3¯AD+√3¯AD⇒¯AD=127,故選(B)
解答:→OP=→OB+t→v=(2,−1)+(−t,3t)=(2−t,−1+3t)⇒P(2−t,−1+3t)⇒→AP=(−t−13,−6+3t);由於→OP⊥→AP⇒→OP⋅→AP=(2−t,−1+3t)⋅(−t−13,−6+3t)=0⇒10t2−10t−20=0⇒10(t−2)(t+1)=0⇒{t=2t=−1⇒{P=(0,5)P=(3,−4)⇒{¯OP=5¯AP=15⇒△OAP=12⋅¯OP⋅¯AP=12⋅5⋅15=752,故選(C)
解答:A(0,0,1)∈L:x2=y2=z−k−1⇒k=1,因此P∈L⇒P(2t,2t,−t+1),t∈R將P代入E⇒2t+4t−2(1−t)=14⇒t=2⇒P(4,4,−1)⇒¯AP=√42+42+22=6,故選(B)
解答:x2+y2−4x−6y−12=0⇒(x−2)2+(y−3)2=52令{x=5cosθ+2y=5sinθ+3⇒3x−4y=15cosθ−20sinθ−6=25(35cosθ−45sinθ)−6=25sin(θ+α)−6⇒|3x−4y|最大值=|−25−6|=31,故選(C)
解答:500⋅2n/2>105⇒2n/2>200⇒n2≥8⇒n≥16,故選(D)
解答:{E法向量→n=(2,−4,5)L方向向量→u=(−2,1,0),假設→n與→u夾角ϕ⇒cosϕ=→n⋅→u|→n||→u|=−815ϕ與θ互餘⇒sinθ=|cosϕ|=815,故選(A)
解答:{△OBC/△OAB=4△OAC/△OAB=2⇒△ABC△OAB=4+2−1=5,故選(C)
解答:{P∈L1⇒P(−3+t,1+2t,1+2t)Q∈L2⇒Q(s,1+2s,−5+2s)⇒¯PQ2=(s−t+3)2+(2s−2t)2+(2s−2t−6)2取x=s−t,則f(x)=¯PQ2=(x+3)2+(2x)2+(2x−6)2=9x2−18x+45⇒當x=1時,¯PQ2有最小值9−18+45=36⇒¯PQ=6,故選(B)貳、多重選擇題:
解答:f(x)=(2x−3)12=12∑k=0C12k(2x)k(−3)12−k(A)◯:常數項=(−3)12=312(B)×:有x12,x11,…,x,常數項,共13類(C)◯:x9係數=C129⋅29⋅(−3)3(D)◯:f(1)=(−1)12=1(E)◯:g(x)=f(2x)=(4x−3)12⇒g(1)=1,故選(ACDE)
解答:XYX2Y2XY1111134916123399942164853259155225410714917∑28161344462(A)×:{μx=28/7=4μy=16/7⇒μX>μY(B)×:{E(X2)=134/7⇒σX=√227E(Y2)=44/7⇒σY=2√13/7⇒σX>σY(C)◯:X越大Y越小⇒r<0(D)×:斜率變小,相關係數變得更小(E)◯:斜率變正值(6×55−21×15>0),故選(CE)
解答:[0110][ab]=[21]⇒{a=1b=2(A)◯:A(2,1),B(1,2)對稱於x=y(B)×:→OA⋅→OB=(2,1)⋅(1,2)=4≠0(C)×:B(1,2)在第一象限(D)◯:¯OA=√5=¯OB(E)×:↔AB斜率=2−11−2=−1≠−2,故選(AD)
解答:(A)◯:{f(π/6)=cos(π/6)=√3/2g(π/6)=cos(−π/6)=√3/2(B)◯:g(x)為f(x)的平移,兩者週期相同,f+g週期仍是2π(C)◯:f+g=cosx+cos(x−π/3)=2cos(x−π/6)cos(π/6)=√3cos(x−π/6)最大值=√3(D)×:f−g週期仍為2π(E)×:f−g=cosx−cos(x−π/3)=−2sin(x−π/6)sinπ/6=−sin(x−π/6)最大值1,故選(ABC)
解答:(A)◯:a10=S10−S9=102−92=19(B)◯:an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1為正奇數(C)◯:⇒an=2n−1⇒公差為2的等差數列(D)×:a10+a11+⋯+a20=S20−S9=202−92=319≠300(E)×:a2+a4+⋯+a20=10∑k=1a2k=10∑k=14k−1=4⋅55−10=210,故選(ABC)
解答:|12132223|+2|11132123|+3|11122122|=−10+2⋅(−20)+3⋅(−10)=−80(A)×:2應該為(−2)(B)◯:正負號正確(C)◯:剛好也是−10+2⋅(−20)+3⋅(−10)(D)×:其值為2+2⋅1+3⋅1,顯然錯誤(E)×:正負號剛好相反,故選(BC)
解答:(A)×:f(α)=6⇒2−α=6⇒−α=log26⇒α<0(B)×:f(2α)=2−2α=(2−α)2=62=36≠12(C)×:{2−α=6⇒2α=1/62−β=12⇒2α−β=2≠12(D)◯:f(α+β2)=2−(α+β)/2=(2−(α+β))1/2=√6⋅12<√81=9(E)◯:¯AB斜率=12−6β−α=61=6,故選(DE)
解答:(A)◯:第2次只能是5,機率為16(B)×:期望值=136(2⋅1+3⋅2+4⋅3+5⋅4+6⋅5+7⋅6+8⋅5+9⋅4+10⋅3+11⋅2+12⋅1)=25336≠6(C)◯:636=16(D)◯:都是336(E)×:乘積為奇數必須兩數皆為奇數,而乘積為偶數只兩數之一為偶數即可,因此偶數奇率較大,故選(ACD)
解答:(A)×:13+12<1(B)◯:23+12>1(C)×:−12+23<1(D)◯:cosθ+sinθ=√2sin(θ+45∘)可能>1(E)◯:log3+log5=log15>1,故選(BDE)
解答:(A)◯:{θ3=60∘θ6=120∘⇒sinθ3=sinθ6=√32(B)×:θ8=135∘⇒{cos135∘=−1/√2sin135∘=1/√2⇒cosθ8≠sinθ8(C)×:tan135∘=−1<cos135∘=−1/√2(D)◯:90∘<θ7<θ8<180∘⇒cosθ8<cosθ7(E)×:90∘<θ7<θ8<180∘⇒tanθ8>tanθ7,故選(AD)
解答:甲被選中後剩下九人,九人中選中乙或丙的機率都是19,因此機率為19+19=29,故選(B)
解答:|x−10π|≤π⇒−π≤x−10π≤π⇒9π≤x≤11π⇒28.3≤x≤34.5⇒x=29,30,31,32,33,34⇒共六個解,故選(C)
解答:f(x)=(x−1)(x+1)(x+3)+5=(x2−1)(x+3)+5=x3+3x2−x+2⇒f′(x)=3x2+6x−1⇒f″(x)=6x+6若f″(x)=0⇒x=−1⇒對稱中心(−1,f(−1))=P(−1,5)又f′(−1)=−4⇒通過P且斜率為-4的直線:y=−4(x+1)+5=−4x+1,故選(D)
解答:[abcd][12243648]=[0230]⇒24a+48b=2⇒12a+24b=1因此[abcd][12242472]=[12a+24b=1???],故選(A)
解答:△ABC=△ABD+△ACD⇒12⋅3⋅4sin120∘=12⋅3⋅¯ADsin60∘+12⋅4⋅¯ADsin60∘⇒3√3=34√3¯AD+√3¯AD⇒¯AD=127,故選(B)
解答:→OP=→OB+t→v=(2,−1)+(−t,3t)=(2−t,−1+3t)⇒P(2−t,−1+3t)⇒→AP=(−t−13,−6+3t);由於→OP⊥→AP⇒→OP⋅→AP=(2−t,−1+3t)⋅(−t−13,−6+3t)=0⇒10t2−10t−20=0⇒10(t−2)(t+1)=0⇒{t=2t=−1⇒{P=(0,5)P=(3,−4)⇒{¯OP=5¯AP=15⇒△OAP=12⋅¯OP⋅¯AP=12⋅5⋅15=752,故選(C)
解答:A(0,0,1)∈L:x2=y2=z−k−1⇒k=1,因此P∈L⇒P(2t,2t,−t+1),t∈R將P代入E⇒2t+4t−2(1−t)=14⇒t=2⇒P(4,4,−1)⇒¯AP=√42+42+22=6,故選(B)
解答:x2+y2−4x−6y−12=0⇒(x−2)2+(y−3)2=52令{x=5cosθ+2y=5sinθ+3⇒3x−4y=15cosθ−20sinθ−6=25(35cosθ−45sinθ)−6=25sin(θ+α)−6⇒|3x−4y|最大值=|−25−6|=31,故選(C)
解答:500⋅2n/2>105⇒2n/2>200⇒n2≥8⇒n≥16,故選(D)
解答:{E法向量→n=(2,−4,5)L方向向量→u=(−2,1,0),假設→n與→u夾角ϕ⇒cosϕ=→n⋅→u|→n||→u|=−815ϕ與θ互餘⇒sinθ=|cosϕ|=815,故選(A)
解答:{△OBC/△OAB=4△OAC/△OAB=2⇒△ABC△OAB=4+2−1=5,故選(C)
解答:{P∈L1⇒P(−3+t,1+2t,1+2t)Q∈L2⇒Q(s,1+2s,−5+2s)⇒¯PQ2=(s−t+3)2+(2s−2t)2+(2s−2t−6)2取x=s−t,則f(x)=¯PQ2=(x+3)2+(2x)2+(2x−6)2=9x2−18x+45⇒當x=1時,¯PQ2有最小值9−18+45=36⇒¯PQ=6,故選(B)
貳、多重選擇題:
(一)共 10 題,題號自第 31 題至第 40 題,每題 4 分,計 40 分。
(二)每題 5 個選項各自獨立其中至少有 1 個選項是正確的,每題皆不倒扣,5 個選項全部
答對得該題全部分數,只錯 1 個選項可得一半分數,錯 2 個或 2 個以上選項不給分。
(三)請將正確答案以 2B 鉛筆劃記於答案卡內。
解答:f(x)=(2x−3)12=12∑k=0C12k(2x)k(−3)12−k(A)◯:常數項=(−3)12=312(B)×:有x12,x11,…,x,常數項,共13類(C)◯:x9係數=C129⋅29⋅(−3)3(D)◯:f(1)=(−1)12=1(E)◯:g(x)=f(2x)=(4x−3)12⇒g(1)=1,故選(ACDE)解答:XYX2Y2XY1111134916123399942164853259155225410714917∑28161344462(A)×:{μx=28/7=4μy=16/7⇒μX>μY(B)×:{E(X2)=134/7⇒σX=√227E(Y2)=44/7⇒σY=2√13/7⇒σX>σY(C)◯:X越大Y越小⇒r<0(D)×:斜率變小,相關係數變得更小(E)◯:斜率變正值(6×55−21×15>0),故選(CE)
解答:[0110][ab]=[21]⇒{a=1b=2(A)◯:A(2,1),B(1,2)對稱於x=y(B)×:→OA⋅→OB=(2,1)⋅(1,2)=4≠0(C)×:B(1,2)在第一象限(D)◯:¯OA=√5=¯OB(E)×:↔AB斜率=2−11−2=−1≠−2,故選(AD)
解答:(A)◯:{f(π/6)=cos(π/6)=√3/2g(π/6)=cos(−π/6)=√3/2(B)◯:g(x)為f(x)的平移,兩者週期相同,f+g週期仍是2π(C)◯:f+g=cosx+cos(x−π/3)=2cos(x−π/6)cos(π/6)=√3cos(x−π/6)最大值=√3(D)×:f−g週期仍為2π(E)×:f−g=cosx−cos(x−π/3)=−2sin(x−π/6)sinπ/6=−sin(x−π/6)最大值1,故選(ABC)
解答:(A)◯:a10=S10−S9=102−92=19(B)◯:an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1為正奇數(C)◯:⇒an=2n−1⇒公差為2的等差數列(D)×:a10+a11+⋯+a20=S20−S9=202−92=319≠300(E)×:a2+a4+⋯+a20=10∑k=1a2k=10∑k=14k−1=4⋅55−10=210,故選(ABC)
解答:|12132223|+2|11132123|+3|11122122|=−10+2⋅(−20)+3⋅(−10)=−80(A)×:2應該為(−2)(B)◯:正負號正確(C)◯:剛好也是−10+2⋅(−20)+3⋅(−10)(D)×:其值為2+2⋅1+3⋅1,顯然錯誤(E)×:正負號剛好相反,故選(BC)
解答:(A)×:f(α)=6⇒2−α=6⇒−α=log26⇒α<0(B)×:f(2α)=2−2α=(2−α)2=62=36≠12(C)×:{2−α=6⇒2α=1/62−β=12⇒2α−β=2≠12(D)◯:f(α+β2)=2−(α+β)/2=(2−(α+β))1/2=√6⋅12<√81=9(E)◯:¯AB斜率=12−6β−α=61=6,故選(DE)
解答:(A)◯:第2次只能是5,機率為16(B)×:期望值=136(2⋅1+3⋅2+4⋅3+5⋅4+6⋅5+7⋅6+8⋅5+9⋅4+10⋅3+11⋅2+12⋅1)=25336≠6(C)◯:636=16(D)◯:都是336(E)×:乘積為奇數必須兩數皆為奇數,而乘積為偶數只兩數之一為偶數即可,因此偶數奇率較大,故選(ACD)
解答:(A)×:13+12<1(B)◯:23+12>1(C)×:−12+23<1(D)◯:cosθ+sinθ=√2sin(θ+45∘)可能>1(E)◯:log3+log5=log15>1,故選(BDE)
解答:(A)◯:{θ3=60∘θ6=120∘⇒sinθ3=sinθ6=√32(B)×:θ8=135∘⇒{cos135∘=−1/√2sin135∘=1/√2⇒cosθ8≠sinθ8(C)×:tan135∘=−1<cos135∘=−1/√2(D)◯:90∘<θ7<θ8<180∘⇒cosθ8<cosθ7(E)×:90∘<θ7<θ8<180∘⇒tanθ8>tanθ7,故選(AD)
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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
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