112 學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統 一 入 學 測 驗-數學(C)
解答:(A)◯:3√x3=x(B)×:(2+x)2=4+4x+x2≠4+x2(C)×:x=−2⇒√x2=√4=2≠x(D)×:(2−x)3=8−12x+6x2−x3≠8−x3,故選(A)
解答:∠B=90∘⇒¯AB=√32−22=√5⇒tanA=¯BC¯AB=2√5,故選(B)
解答:已知{A(x,y)B(2,0)C(0,0),又{D=¯AB中點=(x+22,y2)E=¯BC中點=(1,0)F=¯AC中點=(x/2,y/2)⇒{→DE=(−x/2,−y/2)→DF=(−1,0)→DE⋅→DF=0⇒x2+0=0⇒x=0⇒{A(0,y)D(1,y/2)F(0,y/2)⇒∠BCA=90∘,故選(C)
解答:
,由上圖可知交接區在第二象限,故選(B)
解答:cos∠ACB=32+52−722⋅3⋅5=−12⇒cos∠ACD=12⇒¯AD=¯ACsin∠ACD=5⋅√32,故選(D)
解答:C=AB=[−110100][011011]=[1−101]⇒C2=[1−101][1−101]=[1−201]⇒d12=−2,故選(A)
解答:{x=√2(cosπ4+isinπ4)=√2eπi/4y=2(cosπ6+isinπ6)=2eπi/6z=2(cosπ3+isinπ3)=2eπi/3⇒x2y4z3=2eπi/2⋅24e2πi/38eπi=4eπi/6=22(cosπ6+isinπ6),故選(A)
解答:{A(1,2,3)B(2,4,6)C(3,5,4)⇒{→AB=(1,2,3)→AC=(2,3,1)⇒E1法向量=→n1=→AB×→AC=(−7,5,−1)又E2法向量→n2=(1,k,−2),由於→n1⊥→n2⇒→n1⋅→n2=0⇒−7+5k+2=0⇒k=1,故選(A)
解答:將{x=1y=1z=−1代入{ax+by+cz=−2bx+cy+az=−4cx+ay+bz=6⇒{a+b−c=−2⋯(1)b+c−a=−4⋯(2)c+a−b=6⋯(3)因此{(1)+(2)⇒2b=−6⇒b=−3(2)+(3)⇒2c=2⇒c=1(1)+(3)⇒2a=4⇒a=2⇒{(A)ab=−6≠6(B)bc=−3≠3(C)ac=2(D)abc=−6≠6,故選(C)
解答:|Ax+6|≥B⇒{Ax+6≥BAx+6≤−B⇒{Ax≥B−6Ax≤−B−6{若A>0⇒{x≥(B−6)/A=6x≤(−B−6)/A=−2⇒{A=−3B=−18不合,違反B≥0若A<0⇒{x≤(B−6)/A=−2x≥(−B−6)/A=6⇒{A=−3B=12⇒2A+B=−6+12=6,故選(C)
解答:b+2i,−1+ai同為f(x)=0的根⇒{a=−2b=−1⇒x=−1±2i⇒x2+2x+5=0⇒x2+2x+5為f(x)的因式再由長除法可得x3+4x2+9x+10=(x2+2x+5)(x+2),故選(D)
解答:2018至2023共5年⇒五年本利和=50(1+r)5=60,故選(B)
解答:烏龜花了2000÷250=8小時走完全程7小時後,兔子醒了,此時烏龜還需1小時到終點兔子睡醒後1小時跑了∫10v(t)dt=∫1027t2+52t+1262dt=1297公尺離終點還有2000−600−1297=103公尺,故選(C)
解答:limn→∞(√n2+8n−3−√n2+2n+5)=limn→∞((√n2+8n−3−√n2+2n+5)(√n2+8n−3+√n2+2n+5)√n2+8n−3+√n2+2n+5)=limn→∞(6n−8√n2+8n−3+√n2+2n+5)=limn→∞(6−8/n√1+8/n−3/n2+√1+2/n+5/n2)=61+1=3,故選(D)
解答:假設圓心O(α,β)⇒¯OA=¯OB=¯OC⇒(α−1)2+(β−2)2=(α−2)2+(β+3)2=(α−2)2+(β−7)2⇒−2α−4β+5=−4α+6β+13=−4α−14β+53⇒{α=14β=2⇒圓半徑=¯OA=√132+0=13⇒圓方程式:(x−14)2+(y−2)2=132將D(a,−10)代入圓⇒(a−14)2+144=169⇒(a−14)2=25⇒a−14=±5⇒a=19或9,故選(A)
解答:小明:30000+3000(x−1)≥80000⇒x−1≥503=16.6⇒x=18小亮:30000(1+3%)y−1≥80000⇒(1+3%)y−1≥83⇒(y−1)log1.03≥3log2−log3=3⋅0.301−0.4771=0.4259⇒y−1≥0.42590.0128(試題表頭資料)≈33.3⇒y=35⇒x−y=−17,故選(D)
解答:假設A(0,0)⇒{O(2,0)B(−6cos60∘,6sin60∘)=(−3,3√3)⇒C=(−3+4cos60∘,3√3+4sin60∘)=(−3+2,3√3+2√3)=(−1,5√3)⇒¯OC=√32+(5√3)2=√84=2√21,故選(B)
解答:M與E成正比,只有(A),(C)可選,又E>0,故選(A)
解答:考慮均衡原則,主菜與湯只剩下8種組合:(牛,魚),(牛雞),(豬,魚),(豬,雞),(魚,牛),(魚,豬),(雞,牛),(雞豬)因此套餐共有(5飯)×(8主菜與湯)×(4飲料)=160種,故選(B)
解答:由題意可知此橢圓{c=4÷2=2a=8÷2=4⇒b=√42−22=2√3,故選(B)
解答:直角△ACB⇒¯AC=√202−102=10√3假設¯BC中點O為圓心⇒¯OC=¯OD=5⇒cos∠OCD=¯OC2+¯CD2−¯OD22⋅¯OC⋅¯CD⇒cos30∘=√32=25+¯CD2−2550¯CD⇒¯CD=5√3又∠ACD=90∘⇒¯AD=√¯AC2+¯CD2=√300+75=5√15,故選(C)
解答:g(x)=ax3+bx通過(1,0)⇒a+b=0又{f(x)=√x−xg(x)=ax3+bx⇒{f′(x)=12√x−1g′(x)=3ax2+b⇒{L1斜率=f′(1)=−12L2斜率=g′(1)=3a+b=2aL1⊥L2⇒−12×2a=−1⇒a=1⇒b=−1⇒ab=−1,故選(D)
解答:f(x)=x3+3x2−72x−74⇒f′(x)=3x2+6x−72⇒f″
解答:4秒旋轉2\pi \Rightarrow 4a =2\pi \Rightarrow a={\pi \over 2}, 故選\bbox[red,2pt]{(B)}
解答:cos∠ACB=32+52−722⋅3⋅5=−12⇒cos∠ACD=12⇒¯AD=¯ACsin∠ACD=5⋅√32,故選(D)
解答:C=AB=[−110100][011011]=[1−101]⇒C2=[1−101][1−101]=[1−201]⇒d12=−2,故選(A)
解答:{x=√2(cosπ4+isinπ4)=√2eπi/4y=2(cosπ6+isinπ6)=2eπi/6z=2(cosπ3+isinπ3)=2eπi/3⇒x2y4z3=2eπi/2⋅24e2πi/38eπi=4eπi/6=22(cosπ6+isinπ6),故選(A)
解答:{A(1,2,3)B(2,4,6)C(3,5,4)⇒{→AB=(1,2,3)→AC=(2,3,1)⇒E1法向量=→n1=→AB×→AC=(−7,5,−1)又E2法向量→n2=(1,k,−2),由於→n1⊥→n2⇒→n1⋅→n2=0⇒−7+5k+2=0⇒k=1,故選(A)
解答:將{x=1y=1z=−1代入{ax+by+cz=−2bx+cy+az=−4cx+ay+bz=6⇒{a+b−c=−2⋯(1)b+c−a=−4⋯(2)c+a−b=6⋯(3)因此{(1)+(2)⇒2b=−6⇒b=−3(2)+(3)⇒2c=2⇒c=1(1)+(3)⇒2a=4⇒a=2⇒{(A)ab=−6≠6(B)bc=−3≠3(C)ac=2(D)abc=−6≠6,故選(C)
解答:|Ax+6|≥B⇒{Ax+6≥BAx+6≤−B⇒{Ax≥B−6Ax≤−B−6{若A>0⇒{x≥(B−6)/A=6x≤(−B−6)/A=−2⇒{A=−3B=−18不合,違反B≥0若A<0⇒{x≤(B−6)/A=−2x≥(−B−6)/A=6⇒{A=−3B=12⇒2A+B=−6+12=6,故選(C)
解答:b+2i,−1+ai同為f(x)=0的根⇒{a=−2b=−1⇒x=−1±2i⇒x2+2x+5=0⇒x2+2x+5為f(x)的因式再由長除法可得x3+4x2+9x+10=(x2+2x+5)(x+2),故選(D)
解答:2018至2023共5年⇒五年本利和=50(1+r)5=60,故選(B)
解答:烏龜花了2000÷250=8小時走完全程7小時後,兔子醒了,此時烏龜還需1小時到終點兔子睡醒後1小時跑了∫10v(t)dt=∫1027t2+52t+1262dt=1297公尺離終點還有2000−600−1297=103公尺,故選(C)
解答:limn→∞(√n2+8n−3−√n2+2n+5)=limn→∞((√n2+8n−3−√n2+2n+5)(√n2+8n−3+√n2+2n+5)√n2+8n−3+√n2+2n+5)=limn→∞(6n−8√n2+8n−3+√n2+2n+5)=limn→∞(6−8/n√1+8/n−3/n2+√1+2/n+5/n2)=61+1=3,故選(D)
解答:假設圓心O(α,β)⇒¯OA=¯OB=¯OC⇒(α−1)2+(β−2)2=(α−2)2+(β+3)2=(α−2)2+(β−7)2⇒−2α−4β+5=−4α+6β+13=−4α−14β+53⇒{α=14β=2⇒圓半徑=¯OA=√132+0=13⇒圓方程式:(x−14)2+(y−2)2=132將D(a,−10)代入圓⇒(a−14)2+144=169⇒(a−14)2=25⇒a−14=±5⇒a=19或9,故選(A)
解答:小明:30000+3000(x−1)≥80000⇒x−1≥503=16.6⇒x=18小亮:30000(1+3%)y−1≥80000⇒(1+3%)y−1≥83⇒(y−1)log1.03≥3log2−log3=3⋅0.301−0.4771=0.4259⇒y−1≥0.42590.0128(試題表頭資料)≈33.3⇒y=35⇒x−y=−17,故選(D)
解答:假設A(0,0)⇒{O(2,0)B(−6cos60∘,6sin60∘)=(−3,3√3)⇒C=(−3+4cos60∘,3√3+4sin60∘)=(−3+2,3√3+2√3)=(−1,5√3)⇒¯OC=√32+(5√3)2=√84=2√21,故選(B)
解答:M與E成正比,只有(A),(C)可選,又E>0,故選(A)
解答:考慮均衡原則,主菜與湯只剩下8種組合:(牛,魚),(牛雞),(豬,魚),(豬,雞),(魚,牛),(魚,豬),(雞,牛),(雞豬)因此套餐共有(5飯)×(8主菜與湯)×(4飲料)=160種,故選(B)
解答:由題意可知此橢圓{c=4÷2=2a=8÷2=4⇒b=√42−22=2√3,故選(B)
解答:直角△ACB⇒¯AC=√202−102=10√3假設¯BC中點O為圓心⇒¯OC=¯OD=5⇒cos∠OCD=¯OC2+¯CD2−¯OD22⋅¯OC⋅¯CD⇒cos30∘=√32=25+¯CD2−2550¯CD⇒¯CD=5√3又∠ACD=90∘⇒¯AD=√¯AC2+¯CD2=√300+75=5√15,故選(C)
解答:g(x)=ax3+bx通過(1,0)⇒a+b=0又{f(x)=√x−xg(x)=ax3+bx⇒{f′(x)=12√x−1g′(x)=3ax2+b⇒{L1斜率=f′(1)=−12L2斜率=g′(1)=3a+b=2aL1⊥L2⇒−12×2a=−1⇒a=1⇒b=−1⇒ab=−1,故選(D)
解答:f(x)=x3+3x2−72x−74⇒f′(x)=3x2+6x−72⇒f″
解答:4秒旋轉2\pi \Rightarrow 4a =2\pi \Rightarrow a={\pi \over 2}, 故選\bbox[red,2pt]{(B)}
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解題僅供參考,其他歷屆試題及詳解
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