112年警大碩士班－微積分詳解

 中央警察大學 112 學年度碩士班入學考試試題

所 別：消防科學研究所、交通管理研究所
科 目：微積分(同等學力加考)

解答：$$\mathbf{(一)}\; y=(\ln x)^x= e^{x\ln(\ln x)} \Rightarrow y'=(\ln(\ln x)+ x\cdot {1\over \ln x}\cdot {1\over x})e^{x\ln(\ln x)} =\bbox[red, 2pt]{(\ln(\ln x)+{1\over \ln x})(\ln x)^x} \\\mathbf{(二)}\; y={\sin 2x\over e^x+1} \Rightarrow y'=\bbox[red,2pt]{{2\cos 2x\over e^x+1}-{e^x\sin 2x\over (e^x+1)^2}}\\ \mathbf{(三)}\; y=(\ln^2 x)x^2 \Rightarrow y'=(2\ln x\cdot {1\over x})x^2 +(\ln^2 x)2x =\bbox[red, 2pt]{2x\ln x(1 +\ln x)}$$

解答：$$\mathbf{(一)}\;令I＝\int_{-\infty}^{\infty} {1\over \sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \Rightarrow I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{1\over 2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}dydx\\ =\int_0^{2\pi} \int_0^{\infty}{1\over 2\pi}re^{-r^2/2}drd\theta  =\int_0^{2\pi} \left.\left[ -{1\over 2\pi}e^{-r^2/2} \right]\right|_0^{\infty}\, d\theta=\int_0^{2\pi}{1\over 2\pi}\,d\theta=1 \Rightarrow I=1\\ 因此令t={x-\mu\over \sigma} \Rightarrow 原式\int_{-\infty}^{\infty} {1\over \sqrt{2\pi}\sigma } e^{-{1\over 2}({x-\mu\over \sigma})^2}dx =\int_{-\infty}^{\infty}{1\over \sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt=I =\bbox[red, 2pt]1\\ \mathbf{(二)}\;\int {x+1\over x+2}\,dx=\int 1-{1\over x+2}\,dx=\bbox[red,2pt]{x-\ln(x+2)＋C} \\ \mathbf{(三)}令u=\ln x,則du={1\over x}dx,因此\int {(1+\ln x)^2\over x}\,dx = \int (1+u)^2\,du ={1\over 3}(1+u)^3+C\\= \bbox[red,2pt]{{1\over 3}(1+\ln x)^3+C}$$

解答：$$\mathbf{(一)}\; \lim_{x\to 0^+} x\ln x =\lim_{x\to 0^+} {\ln x\over 1/x} = \lim_{x\to 0^+} {(\ln x)'\over (1/x)'} =\lim_{x\to 0^+} {1/x \over -1/x^2} =\lim_{x\to 0^+}(-x)=0\\ 因此\lim_{x\to 0^+} x^x =\lim_{x\to 0^+} e^{x\ln x} =e^0=\bbox[red, 2pt]1 \\\mathbf{(二)}L=(1-{x\over 2})^{3/x} \Rightarrow \ln L={3\over x}\ln(1-{x\over 2}) ={3\ln{2-x\over 2} \over x} \\ \Rightarrow \lim_{x\to 0}\ln L=\lim_{x\to 0} {3\ln{2-x\over 2} \over x}=\lim_{x\to 0}{3\cdot {2\over 2-x}\cdot (-{1\over 2})\over 1}=\lim_{x\to 0}{-3\over 2-x} =-{3\over 2}\\ \Rightarrow \lim_{x\to 0}L=\bbox[red, 2pt]{e^{-3/2}}$$

解答：$$\mathbf{(一)}\; e^2是一個常數,因此{d\over dx}e^2 =\bbox[red, 2pt]0 \\\mathbf{(二)}\;\frac{\text{d} }{\text{d}x}2^x =\frac{\text{d} }{\text{d}x}e^{x\ln 2} =\ln 2e^{x\ln 2} =\bbox[red, 2pt]{\ln 2\cdot 2^x}\\ \mathbf{(三)}\;\frac{\text{d} }{\text{d}x}(\sin x)^x =\frac{\text{d} }{\text{d}x} e^{x\ln(\sin x)} = \left(\ln(\sin x)+x\cdot {\cos x\over \sin x}\right) e^{x\ln(\sin x)} =\bbox[red, 2pt]{\left(\ln(\sin x)+x\cot x\right) (\sin x)^x}$$

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解題僅供參考，其他歷年試題及詳解