國立鳳山高中 112 年教師甄試數學科試題
一、填充題(14 題,每題 5 分,占 70 分)
解答:2022420233=(2023−1)420233=120233(20234−4⋅20233+6⋅20232−4⋅2023+1)=2023−4+62023−420232+120233⇒最接近的正整數=2023−4=2019解答:取{O(0,0,0)A(3,0,0)B(3,5,0)C(0,5,0)D(3,0,2)E(3,5,2)F(0,5,2)G(0,0,2)⇒{→a⋅→b=→a⋅→d=→a⋅→e=9→a⋅→c=→a⋅→f=→a⋅→g=0→b⋅→c=→b⋅→f=25→b⋅→d=9→b⋅→e=34→b⋅→g=0→c⋅→d=→c⋅→g=0→c⋅→e=→c⋅→f=25→d⋅→e=13→d⋅→f=→d⋅→g=4→e⋅f=29→e⋅→g=→f⋅→g=4,總數相加=228⇒期望值=228C72=22821=767
解答:¯AD為∠BAC的角平分線⇒¯AB¯AC=¯BC¯DC=31⇒{¯AB=3k¯AC=k假設{¯AD=a∠BAD=∠DAC=θ⇒{cos∠ABD=(3k)2+a2−322⋅3k⋅acos∠DAC=k2+a2−122⋅a⋅k⇒9k2+a2−96ak=k2+a2−12ak⇒3k2+a2+3⇒a=√3k2−3⇒cosθ=k2+(3k2−3)−12k√3k2−3=2√k2−1√3k⇒sinθ=√4−k2√3k⇒△ABC面積=12(3ak+ak)sinθ=2aksinθ=2⋅√3k2−3⋅k⋅√4−k2√3k=2√3√−3k4+15k2−12=2√3√−3(k2−52)2+274當k2=52時,面積有最大值2√3⋅√274=3
解答:利用Lagrange 算子求極值:令{f(x,y)=x+yg(x,y)=x+y−4√x+2−6√y+1{fx=λgxfy=λgyg=0⇒{1=λ(1−2√x+2)1=λ(1+3√y+1),兩式相除⇒−2√x+2=3√y+1⇒y=14(9x+14)將y=14(9x+14)代入g=0⇒13x+144=4√x+2+6√9x+184=13√x+2⇒(13x+14)2=522(x+2)⇒169x2−2340x−5212=0⇒x=2340+√89989122×169=2⋅13⋅90+13⋅64√132⋅13⋅13=90+32√3213
解答:令t=x−2,則(x−2)6<x3−x2+5x−4⇒t6<t3+5t2+13t+10⇒t6−t3−5t2−13t−10<0⇒(t+1)(t−2)(t4+t3+3t2+4t+5)<0⇒−1<t<2⇒−1<x−2<2⇒1<x<4由於{t2+t+1>02+4t+5>0,∀x∈R⇒t4+t3+3t2+4t+5=t2(t2+t+1)+2t2+4t+5>0
解答:令z=eiθ⇒z3=ei3θ⇒{3θ−θ=±60∘⇒{θ=30∘θ=−30∘=330∘3θ−θ=±60∘+360∘⇒{θ=150∘θ=210∘⇒(n,ϕ)=(4,330∘)
解答:令{A=(√3+√2)1000=(5+2√6)500=∑500k=0(500k)5500−k2k6k/2B=(√3−√2)1000=(5−2√6)500=∑500k=0(500k)5500−k(−1)k2k6k/2⇒A+B=2250∑k=0(5002k)5500−2k24k除了最後一項,其餘都是10的倍數考慮最後一項:2×24500,由於4n≡{4mod10,n是奇數6mod10,n是偶數,n∈N因此2×24500≡2mod10⇒A+B的個位數是2,而0<B<1⇒A=(√3+√2)1000的個位數字是1
解答:抽走3張紅心剩下49張牌(10張紅心及39張非紅心)要分成2組:1組2張,另一組47張,有C492分法⇒{其中一組有2張紅心:機率為C102/C492其中一組只有1張紅心:機率為C101C391/C492⇒期望值:2⋅C102C492+C101C391C492=2049
解答:
{A(−1,0)B(2,0)C(x,y),作∠B的角平分線交¯AC於D⇒∠DAB=∠DBA⇒D在¯AB的中垂線上⇒D(12,a);又¯AD是角平分線,因此¯AD¯DC=¯AB¯BC=3√(x−2)2+y2⇒D=A⋅¯BC+3⋅C¯BC+3⇒12=−√(x−2)2+y2+3x√(x−2)2+y2+3⇒6x−3=3√(x−2)2+y2⇒(2x−1)2=(x−2)2+y2⇒3x2−y2=3⇒x2=1+y23⇒x>1(x=1⇒C(1,0)⇒A,B,C在一直線上無法構成△)⇒C的軌跡:x2−y23=1,x>1
解答:(logax)(logax2)=4⇒(loga+logx)(loga+2logx)=4⇒2(logx)2+3logalogx+(loga)2−4=0⇒logx=−3loga±√(loga)2+324二根相異且大於1⇒logx>0⇒−3loga−√(loga)2+32>0⇒9(loga)2>(loga)2+32⇒(loga)2>4⇒{loga>2⇒a>100(不合)loga<−2⇒0<a<1/100若a>100,則−3loga<0⇒−3loga−√(loga)2+32≯0
解答:令x=√3sinθ⇒dx=√3cosθdθ⇒∫0−3/21√3−x2dx=∫0−π/3√3cosθ√3cos2θdθ=∫0−π/31dθ=π3
解答:
解答:
解答:至少甲乙丙丁四人中的一人,可能一人,二人,三人,四人被選上,不是只有一人被選上
解答:令x=√3sinθ⇒dx=√3cosθdθ⇒∫0−3/21√3−x2dx=∫0−π/3√3cosθ√3cos2θdθ=∫0−π/31dθ=π3
解答:
解答:
依序累加,作法如上,29933
解答:|→a|=|→b|=|→a+→b|=1⇒→a與→b夾角120∘⇒→a⋅→b=−12又{→a⋅→c=0→b⋅→c<0⇒→a與→c夾角90∘⇒→c與→b夾角=(360∘−120∘−90∘)=150∘⇒→c⋅→b=−√32{0≤→v⋅→a≤10≤→v⋅→b≤1⇒{0≤(x→a+y→c)⋅→a≤10≤(x→a+y→c)⋅→b≤1⇒{0≤x≤10≤−12x−√32y≤1⇒12≤−√32y≤32⇒−√3≤y≤−1√3⇒→v⋅→c=(x→a+y→c)⋅→c=y⇒最小值=−√3
解答:Q∈Lk⇒Q=(2021t+k,2022t+k,2023t+k)∈E:2y=x+z⇒dk的最小值=d(P,E)=|2−6−4|√6=8√6=43√6
解答:|→a|=|→b|=|→a+→b|=1⇒→a與→b夾角120∘⇒→a⋅→b=−12又{→a⋅→c=0→b⋅→c<0⇒→a與→c夾角90∘⇒→c與→b夾角=(360∘−120∘−90∘)=150∘⇒→c⋅→b=−√32{0≤→v⋅→a≤10≤→v⋅→b≤1⇒{0≤(x→a+y→c)⋅→a≤10≤(x→a+y→c)⋅→b≤1⇒{0≤x≤10≤−12x−√32y≤1⇒12≤−√32y≤32⇒−√3≤y≤−1√3⇒→v⋅→c=(x→a+y→c)⋅→c=y⇒最小值=−√3
解答:Q∈Lk⇒Q=(2021t+k,2022t+k,2023t+k)∈E:2y=x+z⇒dk的最小值=d(P,E)=|2−6−4|√6=8√6=43√6
二、計算證明問答題(共 4 題,占 30 分)
解答:至少甲乙丙丁四人中的一人,可能一人,二人,三人,四人被選上,不是只有一人被選上
Q在P的右下角,如上圖
解答:¯Pn+2Pn:¯Pn+2Pn+1=3:1⇒xn+2=14(3xn+1+xn)⇒4xn−3xn−1−xn−2=0⇒4λ2−3λ−1=0⇒(4λ+1)(λ−1)=0⇒λ=−14,1⇒xn=C1(−14)n+C2,將{x1=1x2=2代入⇒{1=−14C1+C22=116C1+C2⇒{C1=16/5C2=9/5⇒xn=165(−14)n+95⇒limn→∞xn=95
解答:xyz=1⇒{x=1yzy=1zxz=1xy13(xy+xy+yz)≥3√x2yz=x⋯(1)13(yz+yz+zx)≥3√y2xz=y⋯(2)13(zx+zx+xy)≥3√z2xy=z⋯(3)(1)+(2)+(3)⇒xy+yz+zx≥x+y+z,故得證
解答:xyz=1⇒{x=1yzy=1zxz=1xy13(xy+xy+yz)≥3√x2yz=x⋯(1)13(yz+yz+zx)≥3√y2xz=y⋯(2)13(zx+zx+xy)≥3√z2xy=z⋯(3)(1)+(2)+(3)⇒xy+yz+zx≥x+y+z,故得證
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解題僅供參考,其他教甄試題及詳解
老師您好
回覆刪除請問計算3是不是還沒補齊呢 呵呵
再麻煩您了 謝謝
已補齊!!差點忘了
刪除太感謝您了
刪除這效率堪稱神速啊