國立嘉義高級中學 112 學年度第 1 學期第 1 次教師甄選
解答:從m開始,連續n個整數相加=m+(m+1)+⋯+(m+n−1)=nm+n(n−1)2=2nm+n(n−1)2=2023⇒n(2m+n−1)=4046由於4046=2×7×172⇒{4046=1×4046⇒{n=1m=2023,不符n≥24046=2×2023⇒{n=2m=10114046=7×578,14×289,17×238,34×119⇒共有5組解解答:
|1z−1|≥1⇒|z||1z−1|≥|z|⇒|z−1|≥|z|⇒(x−1)2+y2≥x2+y2⇒−2x+1≥0⇒x≤12⇒Ω1={x≤12}又|z−1|≤1⇒Ω2={(x−1)2+y2≤1};因此Ω1∩Ω2為一弓形,如上圖x=12與圓(x−1)2+y2=1交於{A(1/2,√3/2)B(1/2,−√3/2)⇒¯AB=√3⇒cos∠AOB=1+1−32=−12⇒∠AOB=120∘⇒{△OAB=√3/4扇形OAB=π/3⇒Ω1∩Ω2面積=π3−√34=4π−3√312
解答:{A(2,4,5)C(4,4,7)G(3,5,6)F(a,b,c)⇒{→AC=(2,0,2)→AG=(1,1,1)H=¯AC中點=(3,4,6)⇒→n=→AC×→AG=(−2,0,2)⇒通過A法向量為→n的平面E′=−x+z=3又¯AC=2√2⇒正八面體稜長=2又{→AC⊥→HF→AG⊥→HF⇒{(2,0,2)⋅(a−3,b−4,c−6)=0(1,1,1)⋅(a−3,b−4,c−6)=0⇒{a+c=9b=4¯HF=d(H,E′)=√2⇒|−a+c−3|√2=√2⇒−a+c=5或1⇒{a=2,c=7a=4,c=5⇒{F=(2,4,7)F=(4,4,5)⇒{→FH=(1,0,−1)=−2→n→FH=(−1,0,1)=2→n⇒F=(2,4,7)
解答:n5=aCn5+bCn4+cCn3+dCn2+eCn1n=1⇒1=0+0+0+0+e⇒e=1n=2⇒32=d+2e⇒d=30n=3⇒243=c+3d+3e⇒c=150n=4⇒1024=b+4c+6d+4e⇒b=240⇒n=5⇒3125=a+5b+10c+10d+5e⇒a=120⇒a+b+c+d+e=120+240+150+30+1=541
解答:f(n)=4f(n−1)+4n−2=4(4f(n−2)+4n−3)+4n−2=42f(n−2)+2⋅4n−2=⋯=4n−2f(2)+(n−2)4n−2=4n−2(n−1)(∵f(2)=1)⇒f(9)=47⋅8=217有17+1=18個正因數
解答:n2a⋅b⋅c⋅d排列數11,1,1,11224,1,1,142,2,1,16323,3,1,16424,4,1,164,2,2,1122,2,2,21525,5,1,16626,6,1,166,3,2,1243,3,4,1123,3,2,26824,4,2,264,4,4,14923,3,3,311025,5,2,265,5,4,1121226,6,4,1126,6,2,266,4,3,2244,4,3,361525,5,3,361624,4,4,411826,6,3,362025,5,4,462426,6,4,462525,5,5,513026,6,5,563626,6,6,61合計200⇒機率p=20064=25162⇒幾何分配的期望值=1p=16225
解答:
解答:{A(2,4,5)C(4,4,7)G(3,5,6)F(a,b,c)⇒{→AC=(2,0,2)→AG=(1,1,1)H=¯AC中點=(3,4,6)⇒→n=→AC×→AG=(−2,0,2)⇒通過A法向量為→n的平面E′=−x+z=3又¯AC=2√2⇒正八面體稜長=2又{→AC⊥→HF→AG⊥→HF⇒{(2,0,2)⋅(a−3,b−4,c−6)=0(1,1,1)⋅(a−3,b−4,c−6)=0⇒{a+c=9b=4¯HF=d(H,E′)=√2⇒|−a+c−3|√2=√2⇒−a+c=5或1⇒{a=2,c=7a=4,c=5⇒{F=(2,4,7)F=(4,4,5)⇒{→FH=(1,0,−1)=−2→n→FH=(−1,0,1)=2→n⇒F=(2,4,7)
解答:n5=aCn5+bCn4+cCn3+dCn2+eCn1n=1⇒1=0+0+0+0+e⇒e=1n=2⇒32=d+2e⇒d=30n=3⇒243=c+3d+3e⇒c=150n=4⇒1024=b+4c+6d+4e⇒b=240⇒n=5⇒3125=a+5b+10c+10d+5e⇒a=120⇒a+b+c+d+e=120+240+150+30+1=541
解答:f(n)=4f(n−1)+4n−2=4(4f(n−2)+4n−3)+4n−2=42f(n−2)+2⋅4n−2=⋯=4n−2f(2)+(n−2)4n−2=4n−2(n−1)(∵f(2)=1)⇒f(9)=47⋅8=217有17+1=18個正因數
解答:n2a⋅b⋅c⋅d排列數11,1,1,11224,1,1,142,2,1,16323,3,1,16424,4,1,164,2,2,1122,2,2,21525,5,1,16626,6,1,166,3,2,1243,3,4,1123,3,2,26824,4,2,264,4,4,14923,3,3,311025,5,2,265,5,4,1121226,6,4,1126,6,2,266,4,3,2244,4,3,361525,5,3,361624,4,4,411826,6,3,362025,5,4,462426,6,4,462525,5,5,513026,6,5,563626,6,6,61合計200⇒機率p=20064=25162⇒幾何分配的期望值=1p=16225
解答:
{3≤x≤5⇒f(x)=∫x35−tdt=−12x2+5x212x≥5⇒g(x)=∫535−tdt+∫x5t−5dt=12x2−5x+292令直線L:y=2x−2023k,則L介於兩圖形{y=f(x)y=g(x)切點之間有三相異交點因此{2x−2023k=f(x),判別式=0⇒k=4046/12≈337.22x−2023k=g(x),判別式=0⇒k=4046/20=202.3⇒k=203−337,共有337−203+1=135個
解答:
解答:
取{A(1,0,1)B(0,1,1)C(1,1,0)O(0,0,0),則OABC為正四面體,且稜邊長=√2再取{D=¯AO中點=(1/2,0,1/2)E=(2A+B)/3=(2/3,1/3,1)F=(2B+A)/3=(1/3,2/3,1)G=¯BC中點=(1/2,1,1/2),則△CDE∥△OFG,也就是{E2=△CDEE3=△OFG因此{→CD=(−1/2,−1,1/2)→CE=(−1/3,−2/3,1)⇒→n=→CD×→CE=(−2/3,1/3,0)⇒△CDE面積=12|→n|=√56又→AB=(−1,1,0)⇒cosθ=→AB⋅→n|→AB||→n|=3√10而d(E1,E4)=35√2⇒原四面體稜長=35√2/3√10=1√5⇒截面積=△CDE⋅12(1√5)2=√560
解答:
解答:利用公式:23R3tanθ=23⋅63tan30∘=48√3公式來源
解答:欲求之原式=16∑k=1k(k+2)C16kxky16−k,其中x=34,y=14令f(x,y)=(x+y)16=16∑k=0C16kxky16−k⇒fx=16∑k=1kC16kxk−1y16−k⇒x3fx=16∑k=1kC16kxk+2y16−k⇒∂∂x(x3fx)=3x2fx+x3fxx=16∑k=1k(k+2)C16kxk+1y16−k⇒1x(3x2fx+x3fxx)=3xfx+x2fxx=16∑k=1k(k+2)C16kxky16−k≜原式f=(x+y)16⇒fx=16(x+y)15⇒{fxx=240(x+y)143xfx=48x(x+y)15⇒g(x,y)=3xfx+x2fxx=48x(x+y)15+240x2(x+y)14⇒g(34,14)=36+135=171
解答:前4球前4球排列變色數後4球後4球排列數1B3WBWWW14B1WBWW2WWBW2WWWB12B2WBBWW13B1W4BWBW3BWWB2WBBW2WBWB3WWBB13B1WBBBW12B2W6BBWB2BWBB2WBBB1總變色數=1⋅(1+2+2+1)+4⋅(1+3+2+2+3+1)+6⋅(1+2+2+1)=90⇒期望值=90C83=9056=4528
解答:P(1,a)⇒asin(π3+θ)=a⇒π3+θ=π2⇒θ=π6⇒f(x)=asin(π3x+π6)又Q在最低點⇒π3x+π6=32π⇒x=4⇒Q(4,−a)因此我們有{P(1,a)R(1,0)Q(4,−a)⇒{→RP=(0,a)→RQ=(3,−a)⇒cos∠PRQ=→RP⋅→RQ|→RP||→RQ⇒−a2a⋅√9+a2=−12⇒a2=3⇒a=√3
解答:假設¯AC=a⇒¯AB=10−a⇒三角柱體積=f(a)=12a(10−a)sin60∘⋅2a⇒f(a)=√32(10a2−a3)⇒f′(a)=√32(20a−3a2)⇒f″(a)=√32(20−6a)f′(a)=0⇒{a=0a=20/3⇒{f″(0)>0f″(20/3)<0⇒f(203)=√32⋅4009⋅(10−203)=2000√327
解答:80(1+3.53%)n≥100(1+1.5%)n⇒(1.03531.015)n≥10080⇒(102100)n≥108⇒nlog1.02≥1−3log2=1−3⋅0.301=0.097⇒n≥0.0970.0086≈11.3⇒最少12年後
解答:
解答:利用公式:23R3tanθ=23⋅63tan30∘=48√3公式來源
解答:欲求之原式=16∑k=1k(k+2)C16kxky16−k,其中x=34,y=14令f(x,y)=(x+y)16=16∑k=0C16kxky16−k⇒fx=16∑k=1kC16kxk−1y16−k⇒x3fx=16∑k=1kC16kxk+2y16−k⇒∂∂x(x3fx)=3x2fx+x3fxx=16∑k=1k(k+2)C16kxk+1y16−k⇒1x(3x2fx+x3fxx)=3xfx+x2fxx=16∑k=1k(k+2)C16kxky16−k≜原式f=(x+y)16⇒fx=16(x+y)15⇒{fxx=240(x+y)143xfx=48x(x+y)15⇒g(x,y)=3xfx+x2fxx=48x(x+y)15+240x2(x+y)14⇒g(34,14)=36+135=171
解答:前4球前4球排列變色數後4球後4球排列數1B3WBWWW14B1WBWW2WWBW2WWWB12B2WBBWW13B1W4BWBW3BWWB2WBBW2WBWB3WWBB13B1WBBBW12B2W6BBWB2BWBB2WBBB1總變色數=1⋅(1+2+2+1)+4⋅(1+3+2+2+3+1)+6⋅(1+2+2+1)=90⇒期望值=90C83=9056=4528
解答:P(1,a)⇒asin(π3+θ)=a⇒π3+θ=π2⇒θ=π6⇒f(x)=asin(π3x+π6)又Q在最低點⇒π3x+π6=32π⇒x=4⇒Q(4,−a)因此我們有{P(1,a)R(1,0)Q(4,−a)⇒{→RP=(0,a)→RQ=(3,−a)⇒cos∠PRQ=→RP⋅→RQ|→RP||→RQ⇒−a2a⋅√9+a2=−12⇒a2=3⇒a=√3
解答:假設¯AC=a⇒¯AB=10−a⇒三角柱體積=f(a)=12a(10−a)sin60∘⋅2a⇒f(a)=√32(10a2−a3)⇒f′(a)=√32(20a−3a2)⇒f″(a)=√32(20−6a)f′(a)=0⇒{a=0a=20/3⇒{f″(0)>0f″(20/3)<0⇒f(203)=√32⋅4009⋅(10−203)=2000√327
解答:80(1+3.53%)n≥100(1+1.5%)n⇒(1.03531.015)n≥10080⇒(102100)n≥108⇒nlog1.02≥1−3log2=1−3⋅0.301=0.097⇒n≥0.0970.0086≈11.3⇒最少12年後
解答:
兩圖形皆對稱y軸,取{A(a,−a2+4)B(−a,−a2+4)C(−a,2a2−8)D(a,2a2−8)⇒{¯AB=2a¯AD=−a2+4+8−2a2=−3a2+12⇒矩形面積=f(a)=2a(−3a2+12)=−6a3+24a⇒f′(x)=−18a2+24=0⇒a=2√3⇒f(2√3)=−16√3+48√3=32√33
解答:I為內心,X為任一點⇒→XI=aa+b+c→XA+ba+b+c→XB+ca+b+c→XC公式來源因此→AI=32+3+4→AB+42+3+4→AC=13→AB+49→AC⇒→AO⋅→AI=13→AO⋅→AB+49→AO⋅→AC=13⋅12¯AB2+49⋅12¯AC2=16⋅16+29⋅9=143
解答:{E1:2x+y+2z+3=0E2:3x+4y−5=0⇒{E1法向量→u=(2,1,2)E2法向量→v=(3,4,0)⇒{→n1=→u/|→u|=(2/3,1/3,2/3)→n2=→v/|→v|=(3/5,4/5,0)⇒cosθ=→n1⋅→n2|→n1||→n2|>0⇒→n1與→n2的夾角為銳角因此取→s=−→n1+→n2=(−1/15,7/15,−10/15)為角平分面之法向量,並任找一點P(−17/5,19/5,0)∈E1∩E2⇒角平分面方程式:−115(x+175)+715(y−195)−1015z=0⇒x−7y+10z+30=0
解答:橢圓x2m+y2=1⇒{a=√mb=1⇒c=√m−1⇒焦點{F1(−√m−1,0)F1(√m−1,0)雙曲線x2n−y23=1⇒{a=√nb=√3⇒c=√n+3⇒焦點{F1(−√n+3,0)F2(√n+3,0)兩焦點相同⇒m−1=n+3⇒m−n=4⇒取{n=1m=5⇒{F1(−2,0)F2(2,0)兩圖形交點:x25+y2=x2−y23⇒x2=53y2⇒y2=34⇒取y=√32⇒x=√52⇒P(√5/2,√3/2)⇒{¯PF1=√5+1¯PF2=√5−1⇒cos∠F1PF2=(√5+1)2+(√5−1)2−422(√5+1)(√5−1)=−12⇒∠F1PF2=120∘⇒tan∠F1PF2=−√3
解答:
解答:{E1:2x+y+2z+3=0E2:3x+4y−5=0⇒{E1法向量→u=(2,1,2)E2法向量→v=(3,4,0)⇒{→n1=→u/|→u|=(2/3,1/3,2/3)→n2=→v/|→v|=(3/5,4/5,0)⇒cosθ=→n1⋅→n2|→n1||→n2|>0⇒→n1與→n2的夾角為銳角因此取→s=−→n1+→n2=(−1/15,7/15,−10/15)為角平分面之法向量,並任找一點P(−17/5,19/5,0)∈E1∩E2⇒角平分面方程式:−115(x+175)+715(y−195)−1015z=0⇒x−7y+10z+30=0
解答:橢圓x2m+y2=1⇒{a=√mb=1⇒c=√m−1⇒焦點{F1(−√m−1,0)F1(√m−1,0)雙曲線x2n−y23=1⇒{a=√nb=√3⇒c=√n+3⇒焦點{F1(−√n+3,0)F2(√n+3,0)兩焦點相同⇒m−1=n+3⇒m−n=4⇒取{n=1m=5⇒{F1(−2,0)F2(2,0)兩圖形交點:x25+y2=x2−y23⇒x2=53y2⇒y2=34⇒取y=√32⇒x=√52⇒P(√5/2,√3/2)⇒{¯PF1=√5+1¯PF2=√5−1⇒cos∠F1PF2=(√5+1)2+(√5−1)2−422(√5+1)(√5−1)=−12⇒∠F1PF2=120∘⇒tan∠F1PF2=−√3
解答:
假設A(Rcosα,Rsinα)對稱軸為直線L:y=tanθx,則對稱點A′(Rcos(2θ−α),Rsin(2θ−α))也就是{x=Rcosαy=Rsinα對應到{x′=Rcos(2θ−α)=Rcos2θcosα+Rsin2θsinα=xcos2θ+ysin2θy′=Rsin(2θ−α)=R(sin2θcosα−sinαcos2θ)=xsin2θ−ycos2θ即[cos2θsin2θsin2θ−cos2θ][xy]=[x′y′]⇒對直線L的鏡射矩陣為[cos2θsin2θsin2θ−cos2θ]
解答:假設兩鏡射矩陣分別為{A=[cos2αsin2αsin2α−cos2α]B=[cos2βsin2βsin2β−cos2β]⇒AB=[cos2αcos2β+sin2αsin2βcos2αsin2β−sin2αcos2βsin2αcos2β−cos2βsin2αsin2αsin2β+cos2αcos2β]=[cos(2α−2β)−sin(2α−2β)sin(2α−2β)cos(2α−2β)]為一旋轉矩陣,旋轉角度為兩對稱軸角度差的2倍
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解題僅供參考,其他教甄試題及詳解
朱老師你好!請問第16題,我算出AI的長度與A B的夾角,AO同樣算出其長度與AB的夾角,而AO與AB的夾角餘弦值和A l與AB的夾角餘弦值相等,即AI和AO夾角為0,兩向量內積,即其長度相乘,但答案是16 /3,老師我那裏弄錯了,能否解迷?謝謝你
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