臺灣警察專科學校 112 學年度專科警員班第 42 期正期學生組
新生入學考試乙組數學科試題
壹、單選題:(一)30 題,題號自第 1 題至第 30 題,每題 2 分,計 60 分。
(二)未作答者不給分,答錯者不倒扣。
(三)請將正確答案以 2B 鉛筆劃記於答案卡內。
解答:tanθ=512⇒斜邊長=√52+122=13⇒sinθ=513,故選(A)
解答:x→x−π3代表向右平移π3,故選(D)
解答:f(−2)=0⇒(4+2a−2)(4a+2+2)=8(a+1)2=0⇒a=−1,故選(A)
解答:(x+3)(x+2)(x−1)(x−2)≤0⇒{1≤x≤2⇒x=1,2−3≤x≤−2⇒x=−3,−2⇒x=1,2,−2,−3,共四個整數解,故選(C)
解答:任一張被抽中的機率都是120,抽一張的期望值=120(100⋅15+500⋅4+1000⋅1)=225⇒抽二張的期望值=450,故選(C)
解答:A=[1201]⇒A2=[1201][1201]=[1401]⇒A4=[1401][1401]=[1801]⇒k=8,故選(C)
解答:
假設正六邊形邊長為1,A(0,0)及B(1,0),圖形如上(A)→AB⋅→AB=¯AB2=1(B)→AB⋅→AC=√3cos30∘=32(C)→AB⋅→AD=2cos60∘=1(D)cos120∘=−√32,故選(B)
解答:{A(a,a,0)B(0,−a,−a)⇒¯AB=√a2+4a2+a2=√6a=3√2⇒a=3√2√6=√3,故選(B)
解答:(→u−→v)⋅(→u−→v)=|→u|2−2→u⋅→v+|→v|2=92+(−8)2⇒144−2⋅0+|→v|2=145⇒|→v|2=1⇒|→v|=1,故選(A)
解答:y=f(x)=(m2+1)x2+(m+1)x+1⇒{m2+1>0f(0)=1⇒圓形凹向上且通過(0,1),故選(A)
解答:圓C:x2+y2−6x−8y=0⇒(x−3)2+(y−4)2=52⇒{圓心O(3,4)圓半徑r=5又¯OA=√52+(−12)2=13>r⇒A在圓外⇒¯AP最短距離=¯OA−r=13−5=8,故選(B)
解答:√19+6√10=√19+2√90=√9+√10=3+√10,整數部分為3+3=6,故選(D)
解答:令公比為r,則{a1+a2+a3=a1+a1r+a1r2=5=a1(1+r+r2)=5a4+a5+a6=a1r3+a1r4+a1r5=a1r3(1+r+r2)=−40兩式相除⇒1r3=−18⇒r=−2⇒a1(1−2+(−2)2)=5⇒a1=53因此a1+⋯+a9=a1(1+r+⋯+r8)=a1⋅1−r91−r=53⋅1+5123=5⋅57=285,故選(C)
解答:在九節沒有充電站的車廂間有十個間隔,可在十個間隔任選三個設置充電站的車廂因此有C103種設置方法,故選(B)
解答:假設{黃球有a個藍球有b個⇒{Ca2/C92=1/6Cb2/C92=1/12⇒{a=4b=3⇒紅球有9−4−3=2個,故選(B)
解答:logx=−12.34⇒x=10−12.34=10−13⋅100.66=4.57×10a由於0<100.66<10,因此a=−13,故選(A)
解答:{log2=alog3=b⇒{10a=210b=3⇒103b−a+1=(10b)3⋅(10a)−1⋅10=33⋅12⋅10=135,故選(D)
解答:(A)log49=log9log4=2log32log2=log3log2=log23(B)log2030=log30log20=log10+log3log10+log2=1+log31+log2≠log3log2(C)log√2√3=log√3log√2=(1/2)log3(1/2)log2=log3log2=log23(D)log31−log5=log31−(1−log2)==log3log2=log23,故選(B)
解答:{a1+a2+a3=51a6=7⇒{3a1+3d=51a1+5d=7⇒{a1=39/2d=−5/2⇒an=392−(n−1)⋅52<0⇒5n>44⇒n≥9,故選(B)
解答:3次出現1正面5次出現3正面=C31C53=310,故選(C)
解答:戴眼鏡的男生所有戴眼鏡=60%×60%60%×60%+40%×40%=3652=913,故選(D)
解答:rθ=13πr⇒θ=π3=60∘⇒甲在北緯(90∘−60∘)=30∘,故選(B)
解答:1=180∘π≈57∘⇒sin60∘>sin1>cos1又{(tanπ)/2=√3/2cos(−π/6)=√3/2因此12tanπ3=cos−π6>sin1>cos1⇒cos1最小,故選(B)
解答:假設A=[stuv]⇒{A[12]=[56]A[34]=[78]⇒{s+2t=5u+2v=63s+4t=73u+4v=8⇒{s=−3t=4u=−4v=5⇒A=[−34−45]⇒A[2648]=[10141216]⇒a+b+c+d=52,故選(D)
解答:P(sin(θ+45∘),sin2θ)在第二象限⇒{sin(θ+45∘)=√22(sinθ+cosθ)<0sin2θ=2sinθcosθ>0⇒{cosθ<0sinθ<0,故選(C)
解答:餘弦定理:cos∠A=¯AB2+¯AC2−¯BC22⋅¯AB⋅¯AC⇒cos60∘=12=25+64−¯BC22⋅5⋅8⇒¯BC2=89−40=49⇒¯BC=7,故選(C)
解答:需刪除中間的數字2或3,刪除3後變異較大,故選(C)
解答:【兩半】一定是封閉曲線,不可能是拋物線,故選(D)
(一)共 10 題,題號自第 31 題至第 40 題,每題 4 分,計 40 分。
解答:(B)×:{a=3b=2c=−2,符合a>b,但ac=−6<−4=bc(C)×:若ab<0,則√ab非實數(E)×:{a=√2b=−√2⇒{a+b=0為有理數ab=−2也是有理數,但a,b均不是有理數,故選(AD)
解答:(A)×:y=34x+3⇒斜率為34≠−34(B)×:y=0時,x=−4≠4(C)◯:x=0時,y=12/4=3(D)◯:12⋅4⋅3=6(E)×:(0,0)與(−3,4)的中點(−3/2,2)不在L上,故選(CD)
解答:{A(a,a,0)B(0,−a,−a)⇒¯AB=√a2+4a2+a2=√6a=3√2⇒a=3√2√6=√3,故選(B)
解答:(→u−→v)⋅(→u−→v)=|→u|2−2→u⋅→v+|→v|2=92+(−8)2⇒144−2⋅0+|→v|2=145⇒|→v|2=1⇒|→v|=1,故選(A)
解答:y=f(x)=(m2+1)x2+(m+1)x+1⇒{m2+1>0f(0)=1⇒圓形凹向上且通過(0,1),故選(A)
解答:圓C:x2+y2−6x−8y=0⇒(x−3)2+(y−4)2=52⇒{圓心O(3,4)圓半徑r=5又¯OA=√52+(−12)2=13>r⇒A在圓外⇒¯AP最短距離=¯OA−r=13−5=8,故選(B)
解答:√19+6√10=√19+2√90=√9+√10=3+√10,整數部分為3+3=6,故選(D)
解答:令公比為r,則{a1+a2+a3=a1+a1r+a1r2=5=a1(1+r+r2)=5a4+a5+a6=a1r3+a1r4+a1r5=a1r3(1+r+r2)=−40兩式相除⇒1r3=−18⇒r=−2⇒a1(1−2+(−2)2)=5⇒a1=53因此a1+⋯+a9=a1(1+r+⋯+r8)=a1⋅1−r91−r=53⋅1+5123=5⋅57=285,故選(C)
解答:在九節沒有充電站的車廂間有十個間隔,可在十個間隔任選三個設置充電站的車廂因此有C103種設置方法,故選(B)
解答:假設{黃球有a個藍球有b個⇒{Ca2/C92=1/6Cb2/C92=1/12⇒{a=4b=3⇒紅球有9−4−3=2個,故選(B)
解答:logx=−12.34⇒x=10−12.34=10−13⋅100.66=4.57×10a由於0<100.66<10,因此a=−13,故選(A)
解答:{log2=alog3=b⇒{10a=210b=3⇒103b−a+1=(10b)3⋅(10a)−1⋅10=33⋅12⋅10=135,故選(D)
解答:(A)log49=log9log4=2log32log2=log3log2=log23(B)log2030=log30log20=log10+log3log10+log2=1+log31+log2≠log3log2(C)log√2√3=log√3log√2=(1/2)log3(1/2)log2=log3log2=log23(D)log31−log5=log31−(1−log2)==log3log2=log23,故選(B)
解答:{a1+a2+a3=51a6=7⇒{3a1+3d=51a1+5d=7⇒{a1=39/2d=−5/2⇒an=392−(n−1)⋅52<0⇒5n>44⇒n≥9,故選(B)
解答:3次出現1正面5次出現3正面=C31C53=310,故選(C)
解答:戴眼鏡的男生所有戴眼鏡=60%×60%60%×60%+40%×40%=3652=913,故選(D)
解答:rθ=13πr⇒θ=π3=60∘⇒甲在北緯(90∘−60∘)=30∘,故選(B)
解答:1=180∘π≈57∘⇒sin60∘>sin1>cos1又{(tanπ)/2=√3/2cos(−π/6)=√3/2因此12tanπ3=cos−π6>sin1>cos1⇒cos1最小,故選(B)
解答:假設A=[stuv]⇒{A[12]=[56]A[34]=[78]⇒{s+2t=5u+2v=63s+4t=73u+4v=8⇒{s=−3t=4u=−4v=5⇒A=[−34−45]⇒A[2648]=[10141216]⇒a+b+c+d=52,故選(D)
解答:P(sin(θ+45∘),sin2θ)在第二象限⇒{sin(θ+45∘)=√22(sinθ+cosθ)<0sin2θ=2sinθcosθ>0⇒{cosθ<0sinθ<0,故選(C)
解答:餘弦定理:cos∠A=¯AB2+¯AC2−¯BC22⋅¯AB⋅¯AC⇒cos60∘=12=25+64−¯BC22⋅5⋅8⇒¯BC2=89−40=49⇒¯BC=7,故選(C)
解答:需刪除中間的數字2或3,刪除3後變異較大,故選(C)
解答:【兩半】一定是封閉曲線,不可能是拋物線,故選(D)
貳、多重選擇題:
(一)共 10 題,題號自第 31 題至第 40 題,每題 4 分,計 40 分。
(二)每題 5 個選項各自獨立其中至少有 1 個選項是正確的,每題皆不倒扣,5 個選項全部
答對得該題全部分數,只錯 1 個選項可得一半分數,錯 2 個或 2 個以上選項不給分。
(三)請將正確答案以 2B 鉛筆劃記於答案卡內。
解答:(B)×:{a=3b=2c=−2,符合a>b,但ac=−6<−4=bc(C)×:若ab<0,則√ab非實數(E)×:{a=√2b=−√2⇒{a+b=0為有理數ab=−2也是有理數,但a,b均不是有理數,故選(AD)解答:(A)×:y=34x+3⇒斜率為34≠−34(B)×:y=0時,x=−4≠4(C)◯:x=0時,y=12/4=3(D)◯:12⋅4⋅3=6(E)×:(0,0)與(−3,4)的中點(−3/2,2)不在L上,故選(CD)
解答:(A)◯:{AB為3×3BA為2×2⇒AB≠BA(B)×:A=[0000]⇒AB=BA=[0000],但A−1不存在(C)×:若AB≠BA,則(A+B)(A−B)≠A2−B2(D)◯:(A+I)(A+I)(A+I)=(A2+2A+I)(A+I)=A3+3A2+3A+I(E)◯:AB=I⇒A,B互為反矩陣,即{A−1=BB−1=A⇒BA=A−1A=I,故選(ADE)
解答:(D)×:(a−b)8中a3b5係數=−C83,故選(ABCE)
解答:10x=8⇒x=log8(A)◯:100x=(102)x=(10x)2=82=64(B)×:(0.1)x=(110)x=110x=18≠−8(C)×:10√x=2√2⇒√x=log(2√2)=32log2⇒x=(32log2)2≠log8(D)×:(log2)3≠log8(E)◯:x=log8=3log2=3⋅0.301=0.903⇒0.8<x<1,故選(AE)
解答:(A)◯:相關係數介於±1之間(B)×:垂直線的斜率不在±1之間(C)×:垂直線的相關係數不是±1(D)◯:仍維持線性關性(E)◯:標準化亦為線性運算,故選(ADE)
解答:(A)×:sinθ−cosθ=13⇒√2(1√2sinθ−1√2cosθ)=13⇒√2sin(θ−45∘)=13⇒sin(θ−45∘)=13√2>sin0∘⇒θ>45∘(B)◯:(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=19⇒sinθcosθ=49(C)×:(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+89=179⇒sinθ+cosθ=√173≠53(D)◯:sin3θ−cos3θ=(sinθ−cosθ)(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ)=13⋅(1+49)=1327(E)×:{sinθ−cosθ=1/3sinθ+cosθ=√17/3⇒{sinθ=(1+√17)/6cosθ=(√17−1)/6⇒tanθ=√17+1√17−1≠98,故選(BD)
解答:(A)×:f(x)=(x−1)4=4∑k=0C4kxk(−1)4−k⇒x2係數=C42(−1)2=6≠−6(B)◯:f(1)=04=0(C)◯:f(−1)=(−2)4=16(D)◯:(x−1)4=(x2−2x+1)2=((x+1)2−4x)2=(x+1)4−8x(x+1)2+16x2=((x+1)2−4x)2=(x+1)4−8x(x+1)2+16(x+1)2−32x−16(E)×:(x−1)4=(x2−2x+1)2=((x2−1)−2x+2)2=(x2−1)2+2(−2x+2)(x2−1)+4x2−8x+4=(x2−1)2+2(−2x+2)(x2−1)+4(x2−1)−8x+8⇒餘式為−8x+8,故選(BCD)
解答:(A)◯:an=a1+(n−1)d⇒{an+3=(a1+3)+(n−1)d3an=3a1+(n−1)3d⇒{⟨an+3⟩為首項a1+3,公差為d的等差數列⟨3an⟩為首項3a1,公差為3d的等差數列(B)×:bn=b1rn−1⇒bn+1+3bn+3=b1rn+3b1rn−1+3非定值⇒⟨bn+3⟩非等比數列(C)×:anbn−an−1bn−1=(a1+(n−1)d)b1rn−1−(a1+(n−2)d)b1rn−2非定值(D)×:an+1bn+1anbn=(a1+nd)b1rn(a1+(n−1)d)b1rn−1非定值(E)◯:⟨a2n⟩為等差⇒a2n−a2n−1=(an+an−1)(an−an−1)=(2a1+(2n−3)d)d為一常數⇒d=0,故選(AE)
解答:(A)◯:{A(0,−1)B(7,0)⇒→AB=(7−0,0−(−1))=(7,1)(B)×:{→AB=(7,1)→BC=(−5,5)⇒→AB⋅→BC=−35+5=−30≠30(C)◯{¯AB=¯BC=5√2¯CA=2√10⇒cos∠A=50+40−502⋅5√2⋅2√10=1√5>0⇒最大的角∠A為銳角(D)×:¯BH=¯ABsin∠A=5√2⋅2√5=√40≠√30(E)◯:→AB⋅→AC¯AC2×→AC=2040×(2,6)=(1,3),故選(ACE)
解答:(D)×:(a−b)8中a3b5係數=−C83,故選(ABCE)
解答:10x=8⇒x=log8(A)◯:100x=(102)x=(10x)2=82=64(B)×:(0.1)x=(110)x=110x=18≠−8(C)×:10√x=2√2⇒√x=log(2√2)=32log2⇒x=(32log2)2≠log8(D)×:(log2)3≠log8(E)◯:x=log8=3log2=3⋅0.301=0.903⇒0.8<x<1,故選(AE)
解答:(A)◯:相關係數介於±1之間(B)×:垂直線的斜率不在±1之間(C)×:垂直線的相關係數不是±1(D)◯:仍維持線性關性(E)◯:標準化亦為線性運算,故選(ADE)
解答:(A)×:sinθ−cosθ=13⇒√2(1√2sinθ−1√2cosθ)=13⇒√2sin(θ−45∘)=13⇒sin(θ−45∘)=13√2>sin0∘⇒θ>45∘(B)◯:(sinθ−cosθ)2=1−2sinθcosθ=19⇒sinθcosθ=49(C)×:(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+89=179⇒sinθ+cosθ=√173≠53(D)◯:sin3θ−cos3θ=(sinθ−cosθ)(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ)=13⋅(1+49)=1327(E)×:{sinθ−cosθ=1/3sinθ+cosθ=√17/3⇒{sinθ=(1+√17)/6cosθ=(√17−1)/6⇒tanθ=√17+1√17−1≠98,故選(BD)
解答:(A)×:f(x)=(x−1)4=4∑k=0C4kxk(−1)4−k⇒x2係數=C42(−1)2=6≠−6(B)◯:f(1)=04=0(C)◯:f(−1)=(−2)4=16(D)◯:(x−1)4=(x2−2x+1)2=((x+1)2−4x)2=(x+1)4−8x(x+1)2+16x2=((x+1)2−4x)2=(x+1)4−8x(x+1)2+16(x+1)2−32x−16(E)×:(x−1)4=(x2−2x+1)2=((x2−1)−2x+2)2=(x2−1)2+2(−2x+2)(x2−1)+4x2−8x+4=(x2−1)2+2(−2x+2)(x2−1)+4(x2−1)−8x+8⇒餘式為−8x+8,故選(BCD)
解答:(A)◯:an=a1+(n−1)d⇒{an+3=(a1+3)+(n−1)d3an=3a1+(n−1)3d⇒{⟨an+3⟩為首項a1+3,公差為d的等差數列⟨3an⟩為首項3a1,公差為3d的等差數列(B)×:bn=b1rn−1⇒bn+1+3bn+3=b1rn+3b1rn−1+3非定值⇒⟨bn+3⟩非等比數列(C)×:anbn−an−1bn−1=(a1+(n−1)d)b1rn−1−(a1+(n−2)d)b1rn−2非定值(D)×:an+1bn+1anbn=(a1+nd)b1rn(a1+(n−1)d)b1rn−1非定值(E)◯:⟨a2n⟩為等差⇒a2n−a2n−1=(an+an−1)(an−an−1)=(2a1+(2n−3)d)d為一常數⇒d=0,故選(AE)
解答:(A)◯:{A(0,−1)B(7,0)⇒→AB=(7−0,0−(−1))=(7,1)(B)×:{→AB=(7,1)→BC=(−5,5)⇒→AB⋅→BC=−35+5=−30≠30(C)◯{¯AB=¯BC=5√2¯CA=2√10⇒cos∠A=50+40−502⋅5√2⋅2√10=1√5>0⇒最大的角∠A為銳角(D)×:¯BH=¯ABsin∠A=5√2⋅2√5=√40≠√30(E)◯:→AB⋅→AC¯AC2×→AC=2040×(2,6)=(1,3),故選(ACE)
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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
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