國立中山大學112學年度碩士班暨碩士在職專班招生考試
科目名稱:工程數學【材光系碩士班選考,材料前瞻應材碩士班選考,材光聯合碩士班選考】
解答:積分因子μ(x)=e∫tanxdx=secx⇒y′secx+ysecxtanx=secxsin(2x)⇒(ysecx)′=2sinx⇒ysecx=∫2sinxdx=−2cosx+C⇒y=−2cos2x+Ccosx將初始值y(0)=1代入上式⇒−2+C=1⇒C=3⇒y=−2cos2x+3cosx
解答:y′+y=−xy⇒2yy′+2y2=−2x⇒v′+2v=−2x,其中v(x)=y2(x) 積分因子 μ=e∫2dx=e2x⇒v′e2x+2ve2x=−2xe2x⇒(ve2x)′=−2xe2x⇒ve2x=∫−2xe2xdx=12e2x(1−2x)+C⇒v=y2=12(1−2x)+Ce−2xy(0)=1⇒C=12⇒y2=12(1−2x+e−2x)⇒y=√1−2x+e−2x2解答:先求齊次解:xy′+4y=0,取y=xm⇒y′=mxm−1代回原式⇒(m+4)xm=0⇒m=−4⇒yh=Cx−4又取yp=Ax4⇒y′p=4Ax3代回原式⇒8Ax4=8x4⇒A=1⇒yp=x4y=yh+yp=Cx−4+x4,由於y(1)=2⇒2=C+1⇒C=1⇒y=x4+1x4
解答:取y=xm⇒y′=mxm−1⇒y″=m(m−1)xm−2⇒y‴=m(m−1)(m−2)xm−3⇒x3y‴+3x2y″−6xy′−6y=(m(m−1)(m−2)+3m(m−1)−6m−6)xm=0⇒(m+1)(m+2)(m−3)xm=0⇒m=−1,−2,3⇒y=C1x−1+C2x−2+C3x3
解答:先求齊次解:y″−3y′+2y=0⇒(λ−2)(λ−1)=0⇒λ=1,2⇒yh=C1ex+C2e2x取yp=Axe2x+Bx2+Cx+D⇒y′p=Ae2x+2Axe2x+2Bx+C⇒y″p=4Ae2x+4Axe2x+2B⇒y″p−3y′p+2yp=Ae2x+2Bx2+(2C−6B)x+2B−3C+2D=3e2x+2x2−7⇒{A=3B=1C=3D=0⇒yp=3xe2x+x2+3x⇒y=yh+yp=C1ex+C2e2x+3xe2x+x2+3x⇒y′=C1ex+(2C2+3)e2x+6xe2x+2x+3⇒{y(0)=1=C1+C2y′(0)=0=C1+2C2+6⇒{C1=8C2=−7⇒y=8ex−7e2x+3xe2x+x2+3x
解答:{y′1=−y1−y2y′2=y1−y2⇒y′=[−1−11−1]y=Ay求矩陣A的特徵值及特徵向量:det(A−λI)=0⇒λ2+2λ+2=0⇒λ=−1±iλ1=−1+i⇒(A−λ1I)x=0⇒x1=ix2,取v1=[i1]λ2=−1−i⇒(A−λ2I)x=0⇒x1=−ix2,取v2=[1i]因此A=PDP−1,其中P=[i11i],D=[−1+i00−1−i]⇒y′=PDP−1y⇒P−1y′=DP−1y⇒z′=Dz,其中z=P−1y⇒z′=[−1+i00−1−i][z1z2]=[(−1+i)z1(−1−i)z2]⇒{z1=C1e(−1+i)xz2=C2e(−1−i)x⇒y=Pz=[i11i][C1e(−1+i)xC2e(−1−i)x]=[iC1e(−1+i)x+C2e(−1−i)xC1e(−1+i)x+iC2e(−1−i)x]初始值{y1(0)=1y2(0)=0⇒{iC1+C2=1C1+iC2=0⇒{C1=−i/2C2=1/2⇒{y1=12e−x(eix+e−ix)=e−xcosxy2=12e−x(−ieix+ie−ix)=e−xsinx⇒{y1=e−xcosxy2=e−xsinx
解答:(a)L−1{2s4}−L−1{48s6}=13L−1{3!s4}−25L−1{5!s6}=13t4−25t5(b)L−1{6s+72s2+4s+10}=L−1{3⋅s+1(s+1)2+22+14⋅2(s+1)2+22}=3e−tcos(2t)+14e−tsin(2t)
解答:L{y″}−14L{y}=s2Y(s)−sy(0)−y′(0)−14Y(s)=(s2−14)Y(s)−12s=0⇒Y(s)=12ss2−1/4=6s+1/2+6s−1/2⇒y(t)=L−1{Y(s)}=6L−1{1s+1/2}+6L−1{1s−1/2}=6(e−t/2+et/2)⇒y(t)=6(e−t/2+et/2)

解答:取w(t)=y(t+2)⇒y″+2y′−3y=w″+2w′−3w=0⇒L{w″}+2L{w′}−3L{w}=s2W(s)−sw(0)−w′(0)+2(sW(s)−w(0))−3W(s)=(s2+2s−3)W(s)+3s+11=0⇒W(s)=−3s+11s2+2s−3=12⋅1s+3−72⋅1s−1⇒w(t)=L−1{W(s)}=12e−3t−72et⇒w(t−2)=y(t)=12e−3(t−2)−72et−2
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