國立臺北科技大學 l12學 年度碩 士班招生考試
系所組別 :2401、 2402、 2403光 電工程系碩士班
第一節 工程數學 試題
解答:令{A(1,1,2)B(3,1,5)C(1,7,4)D(4,5,2)⇒{→AB=(2,0,3)→AC=(0,6,2)→AD=(3,4,0)⇒四面體體積=16‖203062340‖=706=353
解答:
(a)A=[23a23−23b1313c−23]⇒AT=[23−2313abc2313−23]⇒AAT=I(∵
解答:\text{Stokes' Theorem }\oint_C \vec F\cdot d\vec r =\iint_S \text{curl }\vec F\cdot d\vec S\\曲面S的底面邊界為一圓:x^2+y^2=4,其逆時鐘路徑可表示成\vec r(t)=(2\cos t,2\sin t ,2),0\le t\le 2\pi\\ \Rightarrow d\vec r=(-2\sin t,2\cos t,0)dt;\;同理\vec F=(y,-2xz,yz^2)= (2\sin t,-8\cos t, 8\sin t)\\ 因此左式\oint_C \vec F\cdot d\vec r= \int_0^{2\pi} (2\sin t,-8\cos t, 8\sin t)\cdot (-2\sin t,2\cos t,0)dt\\= \int_0^{2\pi} (-4\sin^2 t-16\cos^2 t)\,dt= \int_0^{2\pi} (-4 -12\cos^2 t)\,dt= \int_0^{2\pi} (-10 -6\cos 2t)\,dt= \bbox[cyan,2pt]{-20\pi}\\接著計算右式,\text{curl }\vec F=\begin{vmatrix}\vec i &\vec j & \vec k \\\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\y & -2xz &yz^2 \end{vmatrix} =(2x+z^2, 0,-2z-1)\\ 令\vec r=(x,y,{1\over 2}(x^2+y^2)) \Rightarrow \cases{\vec r_x=(1,0,x)\\ \vec r_y=(0,1,y)} \Rightarrow \vec r_x\times \vec r_y=(-x,-y,1)\\ 因此右式\iint_S \text{curl }\vec F\cdot d\vec S =\iint_S (2x+z^2 ,0,-2z-1) \cdot (-x,-y,1)\,dxdy \\=\iint_S -2x^2-xz^2-2z-1\,dxdy=\iint_S -2x^2-{1\over 4}x(x^2+y^2)^2-(x^2+y^2)-1\,dxdy\\ =\int_0^{2\pi }\int_0^2 (-2r^2\cos^2\theta-{1\over 4}r^5\cos \theta-r^2-1)r\,drd\theta =\int_0^{2\pi} (-8\cos^2\theta -{32\over 7}\cos\theta -6)\,d\theta \\= \int_0^{2\pi} (-4\cos(2\theta)-{32\over 7}\cos\theta-10)\,d\theta = \bbox[cyan,2pt]{-20\pi}\\\Rightarrow 左式=右式=-20\pi,\bbox[red,2pt]{故得證}
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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
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