112年台北科大土木碩士班-工程數學詳解

國立 臺北科技 大學 l12學 年度碩 士班招 生考試

系所組別 :3120土 木工程系土木與防災碩士班乙組
第二節 工程數學 試題

解答：$$\mathbf{1.}\; {dy\over dx}={y\cos x\over 1+2y^2} \Rightarrow {1+2y^2\over y}\,dy=\cos x\,dx \Rightarrow \int (2y+{1\over y})\,dy =\int \cos x\,dx \Rightarrow y^2+\ln y=\sin x+c_1\\ 又y(0)=1 \Rightarrow 1+0=0+c_1 \Rightarrow c_1=1 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y^2+\ln y=\sin x +1}\\ \mathbf{2.}\;令y=vx \Rightarrow y'=v+xv' \Rightarrow 3x^2v+x^2v^2+(x^2+x^2v)(v+xv')=0 \\ \Rightarrow 4x^2v+2x^2v^2+x^3v'+x^vv'=0 \Rightarrow 4v+2v^2+x(1+v)v'=0 \\ \Rightarrow {1+v\over 4v+2v^2}dv =-{1\over x}dx \Rightarrow {1\over 4}\ln(2v^2+4v)=-\ln x+c_1 \\ \Rightarrow \ln(2v^2+4v)=-\ln x^4+c_2 \Rightarrow \ln(2x^4v^2+4x^4v)=c_2 \\ \Rightarrow \ln(2x^4\cdot {y^2\over x^2}+4x^4\cdot {y\over x})=\ln(2x^2y^2+4x^3y) =c_2 \Rightarrow 2x^2y^2+4x^3y=c_3\\ \Rightarrow 2x^2y^2+4x^3y-c_3=0 \Rightarrow y={-4x^3\pm \sqrt{16x^6+8c_3x^2}\over 4x^2} ={-4x^3\pm \sqrt{16x^6+16c_4x^2}\over 4x^2} \\=-x\pm {\sqrt{x^4+c_4}\over x} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y={-x\pm {\sqrt{x^4+c}\over x}}}\\\mathbf{3.}\; 先求齊次解, y''-3y'-4y=0 \Rightarrow y_h=c_1e^{4x}+c_2e^{-x}\\ 再令y_p=Ae^t\cos(2t)+Be^t\sin(2t) \Rightarrow y_p'=(A+2B)e^t\cos(2t)+(-2A+ B)e^t\sin(2t) \\ \Rightarrow y_p''=(-3A+4B)e^t\cos(2t)+(-4A-3B)e^t\sin(2t) \\ \Rightarrow y_p''-3y_p'-4y_p= (-10A-2B)e^t \cos(2t)+(2A-10B)e^t\sin (2t)= -8e^t\cos(2t) \\ \Rightarrow \cases{-10A-2B=-8\\ 2A-10B=0} \Rightarrow \cases{A=10/13\\ B=2/13} \Rightarrow y_p={10\over 13}e^t\cos(2t)+{2\over 13} e^t\sin(2t) \\ \Rightarrow y=y_h+y_p \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y= c_1e^{4x}+c_2e^{-x}+{10\over 13}e^t\cos(2t)+{2\over 13} e^t\sin(2t)}\\ \mathbf{4.}\; y^{(4)}-y=0 \Rightarrow \lambda^4-1=0 \Rightarrow \lambda=\pm 1,\pm i \Rightarrow y=c_1e^x +c_2e^{-x}+c_3\cos x+c_4\sin x\\ \Rightarrow y'=c_1e^x -c_2e^{-x}-c_3\sin x+c_4\cos x \Rightarrow y''=c_1e^x+c_2e^{-x}-c_3 \cos x-c_4\sin x\\ \Rightarrow y'''=c_1e^x-c_2e^{-x}+c_3\sin x-c_4\cos x\\ \cases{y(0)=7/2\\ y'(0)=-4\\ y''(0)=5/2\\ y'''(0)=-2} \Rightarrow \cases{c_1+c_2+c_3=7/2\\ c_1-c_2+c_4=-4\\ c_1+c_2-c_3=5/2\\ c_1-c_2-c_4=-2} \Rightarrow \cases{c_1=0\\ c_2=3\\ c_3=1/2\\ c_4=-1} \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=3e^{-x}+{1\over 2}\cos x-\sin x}$$

解答：$$A=\begin{bmatrix} 7& 0 &-3\\ -9&-2& 3\\ 18& 0 & -8 \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A-\lambda I)=0 \Rightarrow -(\lambda-1)(\lambda+2)^2=0 \Rightarrow \lambda= 1,-2\\ \lambda_1=1 \Rightarrow (A-\lambda _1I)x=0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 6& 0 &-3\\ -9&-3 & 3\\ 18& 0 & -9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix}=0 \Rightarrow \cases{x_1 =x_3/2\\ x_2= -x_3/2 },取v_1=\begin{bmatrix} 1/2\\ -1/2\\ 1\end{bmatrix}\\ \lambda_2=-2 \Rightarrow (A-\lambda _2I)x=0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 9& 0 &-3\\ -9&0 & 3\\ 18& 0 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix}=0 \Rightarrow x_1=x_3/3,取v_2=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{bmatrix},v_3=\begin{bmatrix} 1/3\\ 0\\ 1\end{bmatrix}\\ 因此特徵值為\bbox[red,2pt]{1,-2}，相對應的特徵向量\bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix} 1/2\\ -1/2\\ 1\end{bmatrix}，\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\end{bmatrix},及\begin{bmatrix} 1/3\\ 0\\ 1\end{bmatrix}}$$

解答：$$L\{y''\}-L\{y'\}-2L\{y\}=L\{\sin 3t\} \Rightarrow (s^2Y(s)-s+1)-(sY(s)-1)-2Y(s)={3\over s^2+3^2} \\ \Rightarrow (s^2-s-2)Y(s) ={3\over s^2+9}+s-2 \Rightarrow Y(s)={3\over (s^2+9)(s-2)(s+1)} +{1\over s+1} \\={9\over 10(s+1)} +{1\over 13(s-2)}+{3s\over 130(s^2+9)}-{33\over 130(s^2+9)}\\ \Rightarrow y(t)=L^{-1}\left\{{9\over 10(s+1)} +{1\over 13(s-2)}+{3s\over 130(s^2+9)}-{33\over 130(s^2+9)}\right\}\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y(t)={9\over 10}e^{-t}+{1\over 13}e^{2t} +{3\over 130}\cos(3t)-{11\over 130}\sin(3t)}$$

=========================== END ==============================

解題僅供參考