112年升官等-統計學詳解

 112年公務人員升官等考試

等 級：薦任
類科（別）：統計
科 目：統計學
考試時間： 2 小時

解答: $$\mathbf{(一)}\;資料由小至大排序:\\\begin{array}{c|ccccccccccccc}n& 1& 2& 3& 4& 5&6&7 & 8 & 9 & 10 &11 &12&13\\\hline a_n & 10& 15& 20 & 25 & 30 &35 & 40& 45& 50 &55 & 60 &115& 120\end{array}\\ 因此\cases{13/4=3.25 \Rightarrow Q_1=a_4=25\\ 13/2=6.5 \Rightarrow Q_2=a_7 =40\\ 13\times 3/4=9.75 \Rightarrow Q_3=a_{10}=55\\ IQR=Q_3-Q_1=55-25=30} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{Q_1=25\\ Q_2=40 \\ Q_3=55\\ IQR=30}} \\\mathbf{(二)}\; \cases{離群值\gt Q_3+1.5IQR= 55+1.5\cdot 30=100\\ 離群值　\lt Q_1-1.5IQR=25-1.5\cdot 30=-20}\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{離群值: 115,120}$$

解答: $$標準常態:f(x)={1\over \sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} \Rightarrow f(0)={1\over \sqrt{2\pi}} \approx 0.4 \Rightarrow 實線為標準常態分配\\ \Rightarrow 虛線為\bbox[red,2pt]{T分配}$$

解答: $$\mathbf{(一)}\;Ｘ\sim U[0,100] \Rightarrow f(x)={1\over 100},0\le x\le 100 \Rightarrow E(X)=50\\  \Rightarrow  E(\sqrt X) =\int_0^{100}{\sqrt x\over 100}\,dx =\left. \left[ {1\over 150} x^{3/2} \right] \right|_0^{100} ={1000\over 150}={20\over 3} \\ \Rightarrow E(Y)=E(10\sqrt X) =10E(\sqrt X) ={200\over 3} \Rightarrow 平均成績由\bbox[red,2pt]{50增為{200\over 3}}\\　\mathbf{(二)}\; Var(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2 =E(100X)-({200\over 3})^2 =100E(X)-{40000 \over 9} \\=100\cdot 50-{40000\over 9} =\bbox[red,2pt]{5000\over 9}$$

解答: $$\mathbf{(一)}\;\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline i & 1 & 2& 3& 4& 5& 6& 7 & 8 & 9 &10\\\hline 觀察值O_i& 11& 9 & 8& 9 & 11& 7 & 10 &12 & 9 & 14\\\hline 期望值E_i& 10& 10& 10& 10& 10& 10& 10& 10& 10& 10\\\hline \end{array} \\ \Rightarrow 檢定統計量\chi^2=\sum_{i=1}^{10} {(O_i-E_i)^2\over E_i} ={1\over 10}(1+1+4+1+1+9+0+4+1+16)=3.8\\ 自由度df=(2-1)\times (10-1)=9, 查閱試題所附資料可得\chi_{v=9,\alpha=0.05}=16.919 \gt 3.8\\因此我們有 \bbox[red,2pt]{\cases{虛無假設H_0:每個號碼被搖出來的機率是相同的\\ 對立假設H_1:每個號碼被搖出來的機率是不同的\\ 檢定統計量=3.8\\ 臨界值=16.919\\ 結論:無足夠證據拒絕H_0,即每個號碼被搖出來的機率是相同的}} \\\mathbf{(二)}\;查表可知\cases{\chi_{9,0.9}=4.1682\\ \chi_{9,0.95}=3.3251}且 4.1682\gt 3.8\gt 3.3251\\ \Rightarrow P值大約={(4.1682-3.8)\cdot 0.95+(3.8-3.3251)\cdot 0.9\over 4.1682-3.3251}\approx \bbox[red,2pt]{0.92}$$

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解題僅供參考,其它歷年試題及詳解