111年地方特考-四等統計-統計學概要詳解

 111 年特種考試地方政府公務人員考試試題

等 別：四等考試
類 科：統計
科 目：統計學概要

解答: $$\mathbf{(一)}\; 鐘形分佈可視為常態分佈,即X\sim N(50,10^2) \\\Rightarrow P(30\lt X\lt 50) =P({30-50\over 10}\lt Z\lt {50-50\over 10}) \\\qquad =P(-2\lt Z\lt 0)=0.5-P(Z\lt -2)=0.5-0.0228= 0.4772 \\\Rightarrow 共有0.4772\times 250=119.3  \Rightarrow 約\bbox[red, 2pt]{119}個 \\\mathbf{(二)}\;　資料集分佈未知,僅能以柴比雪夫不等式推算,即P(|x-\mu|\le k\sigma) \ge 1-{1\over k^2}\\ \qquad P(50\le X\le 90) \Rightarrow P(-20\le X-70\le 20)= P(|X-70|\le 2\cdot 10) \ge 1-{1\over 2^2}=0.75 \\\qquad 至少有160\times 0.75=\bbox[red, 2pt]{120}個觀察值$$

解答: $$\mathbf{(一)}\;E(X)=\sum xP(X=x) ={1\over 4}(-1+0+4+8)={11\over 4}=\bbox[red,2pt]{2.75}\\ \mathbf{(二)}\; E(X^2) =\sum x^2P(X=x)={1\over 4}(1+0+16+64)={81\over 4} \\ \qquad \Rightarrow Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2={81\over 4}-({11\over 4})^2={203\over 16}= \bbox[red,2pt]{12.6875}\\ \mathbf{(三)}\; Var(X+1)=E((X+1)^2)-(E(X+1))^2 =E(X^2+2X+1)-(E(X)+1)^2\\ \qquad =E(X^2)+2E(X)+1-((E(X))^2+2E(X)+1)=E(X^2)-(E(X))^2=Var(X)\\ \qquad \Rightarrow \bbox[red,2pt]{相等}　\\\mathbf{(四)}\; Var(-X)=E((-X)^2)-(E(-X))^2= E(X^2)-(-E(X))^2 \\\qquad = E(X^2)-(E(X))^2=Var(X) \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{相等}$$

解答: $$\mathbf{(一)}\;f_X(X)={x+1\over 23}+ {x+2\over 23} ={2x+3\over 23} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{f_X(x)={2x+3\over 23},x=1,2,4}\\ f_Y(Y)={1+y\over 23}+ {2+y\over 23}+ {4+y\over 23}={3y+7\over 23} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{f_Y(y)={3y+7\over 23},y=1,2}\\ \mathbf{(二)} \cases{f_X(1)=3/23\\ f_Y(1)=10/23\\ f_{X,Y}(x=y=1)=2/23} \Rightarrow f_X(1)f_Y(1) \ne f_{}(x=y=1) \Rightarrow \bbox[red, 2pt]否$$

解答: $$\mathbf{(一)}\;\bbox[red, 2pt]{\cases{H_0:女員工平均工資大於男員工平均工資\\ H_1:男員工平均工資大於女員工平均工資}}\\　\mathbf{(二)}\; 兩獨立常態母體變異數檢定,\cases{H_0:男員工工資變異數\sigma_x= 女員工工資變異數 \sigma_y\\ H_1:\sigma_x \ne \sigma_y}\\\cases{\bar x={1\over 15}\sum x_i =122.56/15 =8.17\\ \bar y={1\over 7}\sum y_i=56.43/8=7.05} \Rightarrow \cases{s_x^2= {1\over 14}\sum(x_i-\bar x)= 152.595/14=10.9\\ s_y^2={1\over 7}\sum(y_i-\bar y) =23.662/7=3.38} \\ \Rightarrow 檢定統計量Ｆ={s_x^2/s_y^2} =10.9/3.38=3.22 \lt 3.5292=f(0.05,14,7) \\ \Rightarrow 沒有足夠證據推翻H_0,即兩組資料變異數\bbox[red,2pt]{相等}\\　\mathbf{(三)}\;兩獨立常態母體,小樣本,平均數差異檢定,再加上\mathbf{(二)}可知兩母體變異數相等\\ 因此檢定統計量t={(\bar x-\bar y)-(\mu_x-\mu_y)\over S_p\sqrt{{1\over n_1}+{1\over n_2}}},其中S_p^2=\sigma_x^2 =\sigma_y^2 ={(n_1-1)s_x^2 +(n_2-1)s_y^2\over n_1+n_2-2} \\={14\cdot 10.8+7\cdot 3.38\over 15+8-2}= 8.393 \Rightarrow t={(8.17-7.05)-0\over \sqrt{8.393} \cdot \sqrt{{1\over 15}+{1\over 8}}} =\bbox[red, 2pt]{0.883} \\\mathbf{(四)}\; \cases{\alpha=0.05\\ n_1=15\\ n_2=8} \Rightarrow t_{0.05,15+8-2}=t_{0.05,21}= 1.721 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{棄卻域C=\{t\mid t\gt 1.721\} }\\ 又0.883 \not \in C \Rightarrow \bbox[red,2pt]{沒有足夠證據顯示女員工平均工資低於男員工}$$

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