112年專門職業及技術人員高等考試
等 別:高等考試
類 科:電機工程技師
科 目:工程數學(包括線性代數、微分方程、複變函數與機率)
解答:$$g(t)=\begin{cases} 1,& 5\le t\lt 20\\ 0, &t\lt 5或t\gt 20\end{cases} \Rightarrow g(t)=u(t-5)-u(t-20) \Rightarrow L\{g(t)\}={1\over s}(e^{-5s}-e^{-20s})\\ 2L\{y''\}+ L\{y'\}+2L\{y\} =L\{g(t)\}\\ \Rightarrow 2(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0))+sY(s)-y(0)+2Y(s)={1\over s}(e^{-5s}-e^{-20s})\\ \Rightarrow (2s^2+s+2)Y(s)={1\over s}(e^{-5s}-e^{-20s}) \Rightarrow Y(s)={1\over s(2s^2+s+2)}(e^{-5s}-e^{-20s})\\ L^{-1}\left\{ {1\over s(2s^2+s+2)}\right\}= L^{-1}\left\{{1\over 2s}-{1\over 2}{s+1/2\over 2s^2+s+2} \right\} = L^{-1}\left\{{1\over 2s}-{1\over 2}{s+1/2\over 2(s+1/4)^2+15/8} \right\} \\ ={1\over 2}-e^{-t/4}\left({1\over 2}\cos {\sqrt{15}\over 4}t+ {1\over 2\sqrt{15}}\sin{\sqrt{15}\over 4}t \right) \\ \Rightarrow y= L^{-1}\left\{ {1\over s(2s^2+s+2)}\cdot {1\over s}(e^{-5s}-e^{-20s})\right\} \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y={1\over 2}u(t-5)\left(1-e^{-(t-5)/4}\left(\cos {\sqrt{15}\over 4}(t-5)- {1\over \sqrt{15}}\sin{\sqrt{15}\over 4} (t-5) \right)\right)-}\\ \qquad \bbox[red, 2pt]{{1\over 2}u(t-20)\left(1-e^{-(t-20)/4}\left( \cos {\sqrt{15}\over 4}(t-20)- {1\over \sqrt{15}}\sin{\sqrt{15}\over 4} (t-20) \right)\right)}$$解答:$$f(x)=\begin{cases}-2x,& -2\le x\lt 0\\ 2x,& 0\le x\lt \bbox[cyan,2pt]2 \end{cases}, f(x+4)=f(x) \Rightarrow f(x)為偶函數 \Rightarrow b_n=0\\ a_0={1\over 4}\int_{-2}^2 f(x)\,dx = {1\over 4 } \left(\int_{-2}^0 -2x\,dx +\int_0^2 2x\,dx \right)=2\\ a_n={1\over 2}\int_{-2}^2 f(x) \cos{n\pi x\over 2}\,dx ={1\over 2}\left(\int_{-2}^0 -2x\cos{n\pi x\over 2} \,dx + \int_0^2 2x\cos{n\pi x\over 2}\,dx\right)\\= \int_0^2 2x\cos{n\pi x\over 2}\,dx= 2\left. \left[{2\over n\pi}x\sin {n\pi x\over 2}+{4\over n^2\pi^2} \cos{n\pi x\over 2} \right]\right|_0^2 =2\left({4\over n^2\pi^2}((-1)^n-1) \right) \\= {8\over n^2\pi^2}\left[ (-1)^n-1\right] \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{f(x)=2+ \sum_{n=1}^\infty{8\over n^2\pi^2}\left[ (-1)^n-1\right]\cos (nx)}\\ $$
解答:$$\mathbf{(一)}\;\cases{甲射50發皆不中靶心的機率=(1-0.75)^{50} =0.25^{50} \\ 乙射53發皆不中靶心的機率=(1-0.72)^{53} =0.28^{53} \\ 丙射60發皆不中靶心的機率=(1-0.7)^{60} =0.3^{60} } \\ \Rightarrow 三人射中靶心的機率=1-三人都沒射中靶心的機率=\bbox[red, 2pt]{1-0.25^{50}\cdot 0.28^{53}\cdot 0.3^{60}} \\ \mathbf{(二)}\; {乙至少射中一發靶心機率\over 三人至少射中一發靶心的機率}=\bbox[red, 2pt]{{1-0.28^{53} \over 1-0.25^{50}\cdot 0.28^{53}\cdot 0.3^{60}}}$$
解答:$$u=e^{-x}(x\sin y-y\cos y) \Rightarrow \cases{\frac{\partial u}{\partial x} =e^{-x}(-x\sin y+y\cos y+\sin y)\\ \frac{\partial u}{\partial y} =e^{-x}(x\cos y-\cos y+y\sin y)} \\ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \Rightarrow v=\int e^{-x}(-x\sin y+y\cos y+\sin y)\,dy=e^{-x}(x\cos y+ y\sin y )+ \phi(x)\\ 又\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \Rightarrow v=-\int e^{-x}(x\cos y- \cos y+y \sin y)\,dx =e^{-x}(x\cos y+y\sin y)+ \varphi(y)\\ \Rightarrow \phi(x) =\varphi(y)=C 為常數 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{v=e^{-x}(x\cos y+y \sin y)+C}$$
解答:$$\vec F=(\cos t+t\sin t, \sin t-t\cos t,t^2) \Rightarrow \vec F'=( t\cos t, t\sin t, 2t) \\ \Rightarrow \Vert \vec F'\Vert = \sqrt{t^2\cos^2 t+t^2\sin^2 t+4t^2}=\sqrt 5 t\\ \Rightarrow \vec T={\vec F'\over \Vert\vec F'\Vert} ={1\over \sqrt 5 t}( t\cos t, t\sin t, 2t) = \bbox[red, 2pt]{({\cos t \over \sqrt 5}, {\sin t\over \sqrt 5}, {2\over \sqrt 5})}\\ \vec F'(t)=(t\cos t,t\sin t,2t) \Rightarrow \vec F''(t)=(\cos t-t\sin t,\sin t+t\cos t,2)\\ \Rightarrow \vec F'(t) \times \vec F''(t)=(-2t^2\cos t,-2t^2\sin t, t^2) \Rightarrow \Vert \vec F'(t) \times \vec F''(t) \Vert = \sqrt 5 t^2\\ \Rightarrow \kappa = \cfrac{\Vert \vec F'(t) \times \vec F''(t) \Vert}{ \Vert \vec F'(t) \Vert^3 } ={\sqrt 5 t^2\over (\sqrt 5 t)^3} =\bbox[red, 2pt]{1\over 5t}$$
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解題僅供參考
哪個地方?
回覆刪除還有第6題
回覆刪除我覺的那題好像出錯
忘了還有第二頁, 第六題解答已貼上
刪除第一題拉式化成兩分式似乎化錯了,第三題機率也有問題,照朱大算式全不中趨近於1
回覆刪除第一題已修訂,並用電腦重算一遍,應該是對的. 至於第三題, 應該沒錯!!!
刪除第一題反拉化成兩分式,第二式的二分之一多寫了
刪除看了好多遍,終於看出哪裡有誤!! 已修訂,謝謝
刪除第四題,反紅地方錯了,答案應該是倒數第二行加常數項
回覆刪除已修訂,謝謝!
刪除朱大,您好,曲率單位是長度分之一,要再檢視看看嗎?
回覆刪除我再想想!!!
刪除已修訂, 看看對不對, 謝謝指正!!
刪除3-1 的意思是三人發射子彈的 命中數/總發射子彈數,3-2的意思是隨機挑選一顆已命中的子彈,該子彈為乙射出之機率
回覆刪除3-6題目要求的特徵向量為特徵向量
回覆刪除第六題才對
刪除為"單位"特徵向量
刪除看了很多次才理解你的意見, 已修訂為 單位向量!!, 謝謝
刪除你好,請問第4題是偏微分的範圍嗎~? (很久沒有讀不太熟......)
回覆刪除應該是複變函數的範圍, 不是偏微分
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