112年台北科大車輛工程碩士班-工程數學詳解

 國立臺北科技大學 112學年度碩士班招生考試

系所組別 :1301、 1302、 1303車輛工程系碩士班
第一節 工程數學 試題

解答： $$令u={y\over x} \Rightarrow u'={y'\over x}-{y\over x^2} \Rightarrow y'=xu'+{y\over x}=xu'+u代回原式\\ \Rightarrow x(xu'+u)=x+xu \Rightarrow x^2u' =x \Rightarrow u'={1\over x} \Rightarrow u=\ln x+c\\ \Rightarrow {y\over x}=\ln x+c \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=x\ln x+cx}$$

解答： $$y_2=uy_1=ue^{-x} \Rightarrow y_2'=u'e^{-x}-ue^{-x} \Rightarrow y_2''=u''e^{-x}-2u'e^{-x}+ue^{-x} \\ \Rightarrow y_2'''=u'''e^{-x}-3u''e^{-x}+3u'e^{-x}-ue^{-x} 代回原式y'''-2y''-y'+2y=0\\ \Rightarrow (u'''e^{-x}-3u''e^{-x}+3u'e^{-x}-ue^{-x})-2(u''e^{-x}-2u'e^{-x}+ue^{-x})-(u'e^{-x}-ue^{-x})+2ue^{-x}=0 \\ \Rightarrow u'''e^{-x}-5u''e^{-x}+6u'e^{-x}=0 \Rightarrow e^{-x}(v''-5v'+6v)=0\; (取v=u')\\ \Rightarrow v''-5v'+6v=0 \Rightarrow v=c_1e^{3x} +c_2e^{2x} \Rightarrow u={c_1\over 3}e^{3x}+{c_2\over 2}e^{2x}+c_3\\ \Rightarrow y_2={c_1\over 3}e^{2x}+{c_2\over 2}e^{x}+c_3e^{-x} \Rightarrow 其解的另外基底為\bbox[red,2pt]{e^x及e^{2x}}$$

解答： $$A=\begin{bmatrix} 0& 1\\-3/4& -2\end{bmatrix} \Rightarrow \det(A-\lambda I)=0 \Rightarrow (\lambda+{3\over 2})(\lambda+{1\over 2})=0 \Rightarrow \lambda_1=-{3\over 2},\lambda_2=-{1\over 2}\\\lambda_1=-{3\over 2}: (A-\lambda_1 I)x=0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 3/2& 1\\-3/4& -1/2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix}=0 \Rightarrow x_1=-2x_3/3 \Rightarrow 取v_1=\begin{bmatrix} -2/3\\1\end{bmatrix}\\ \lambda_2=-{1\over 2}: (A-\lambda_2I)x=0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1/2& 1\\-3/4& -3/2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix}=0 \Rightarrow x_1=-2x_2 \Rightarrow 取v_2=\begin{bmatrix} -2\\1\end{bmatrix}\\ 因此\vec y(t)=c_1e^{\lambda_1 t}v_1+ c_2e^{\lambda_2 t}v_2 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\vec y=c_1e^{-3t/2}\begin{bmatrix} -2/3\\1\end{bmatrix} +c_2e^{-t/2}\begin{bmatrix} -2\\1\end{bmatrix}}$$

解答： $$y''+9y=10e^{-t} \Rightarrow L\{y'' \}+9L\{y\}=10L\{e^{-t}\}\\ \Rightarrow s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+9Y(s) =10\cdot {1\over s+1} \Rightarrow Y(s)={10\over (s+1)(s^2+9)}\\ \Rightarrow y(t)=L^{-1}\{ Y(s)\}= L^{-1}\left\{{10\over (s+1)(s^2+9)}\right\} = L^{-1}\left\{{1\over s+1 } +{1\over 3}\cdot {3\over s^2+3^2}-{s\over s^2+3^2}\right\} \\=e^{-t}+{1\over 3}\sin(3t)-\cos(3t) \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=e^{-t}+{1\over 3}\sin(3t)-\cos(3t)}$$

解答： $$\mathbf{(a)}\;A=\begin{bmatrix} 0& 1& 0\\ -1& 0 & 4\\0 & 4 & 0\end{bmatrix} \xrightarrow{-R_2\to R_2,-4R_1+R_3\to R_3}\begin{bmatrix} 0& 1& 0\\ 1& 0 & -4\\0 & 0 & 0\end{bmatrix} \xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1& 0 & -4\\0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \\ \Rightarrow rref(A)=\begin{bmatrix} 1& 0 & -4\\0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \Rightarrow rank(A)= \bbox[red,2pt]2\\ \mathbf{(b)}\; rref(A)=\begin{bmatrix} 1& 0 & -4\\0& 1& 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{RS(A)=\{(1,0,-4),(0,1,0)\}\\[1ex] CS(A)=\left\{\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}\right\}}}\\ \mathbf{(c)}\; \det(A)=0+0+0-0-0-0=\bbox[red,2pt]0 \\\mathbf{(d)}\;\det(A)=0 \Rightarrow 反矩\bbox[red,2pt]{不存在}$$

==================== END ==================

解題僅供參考