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2023年11月20日 星期一

112年台北科大機電整合碩士班乙-工程數學詳解

國立 臺北科技 大學 112學 年度碩 士班招 生考試

系所組別 :1120機械工程系機電整合碩士班乙組
第一節 工程數學 試題

解答1.(2xy)dx+(x21)dy=02x1x2dx=1ydy2x1x2dx=1ydyln(x21)+c1=lnyy=c2x212.xy+y=x2y2y+1xy=xy2Bernoullii Equationu=1yu=yy2uy2+yx=xy2u1x1y=xuux=xI(x)=e1/xdx=1xuxux2=1(ux)=1ux=x+c1u=1y=x2+c1xy=1c1xx2y=1c2x+x2
解答1.y=xmy=m(m1)xm24x2y+17y=4m(m1)xm+17xm=(4m24m+17)xm=04m24m+17=0m=12±2iy=c1x1/2+2i+c2x1/22i=c1xx2i+c2xx2i=c1xe2ilnx+c2xe2ilnxy=x(Acos(2lnx)+Bsin(2lnx))2.y+3y+2y=0λ2+3λ+2=0λ=2,1yh=c1e2x+c2exyp=ax2+bx+cyp=2ax+byp=2ay+3y+2y=2ax2+(6a+2b)x+2a+3b+2c=2x2{2a=26a+2b=02a+3b+2c=0{a=1b=3c=7/2yp=x23x+72y=yh+ypy=c1e2x+c2ex+x23x+72
解答1.L{tcos(3t)}=ddsL{cos(3t)}=dds(ss2+32)=1s2+32+2s2(s2+32)2=s232(s2+32)22.L{y}+3L{y}+2L{y}=2L{u(t1)}s2Y(s)sy(0)y(0)+3(sY(s)y(0))+2Y(s)=2essY(s)=2es(s2+3s+2)sy(t)=L1(2es(s2+3s+2)s)=L1(es(2s+1+1s+2+1s))=u(t1)(2e(t1)+e2(t1)+1)y=u(t1)(2e(t1)+e2(t1)+1)
解答1.A=[4635]det
解答\mathbf{1.}\;f(t)=\begin{cases}-1,& -\pi\lt t\lt 0\\ 1,& 0\lt t\lt \pi \end{cases} \Rightarrow f(t)為奇函數\Rightarrow a_n=0,n=0,1,2,...\\ b_n={1\over \pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin (nx)\,dx ={1\over \pi}\int_{-\pi}^0 -\sin (nx)\,dx +{1\over \pi}\int_{0}^\pi \sin (nx)\,dx  \\= {1\over \pi} \left(\left.\left[ {1\over n}\cos(nx) \right] \right|_{-\pi}^0+\left.\left[ -{1\over n}\cos(nx)\right] \right|_{0}^\pi\right) ={2\over n\pi}(1-(-1)^n)=\begin{cases} 4/n\pi,& n是奇數\\ 0,& n是偶數\end{cases}\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{a_n=0,n=0,1,2,\dots\\ b_n=\cases{4/n\pi,n是偶數\\ 0,n是奇數},n\in\mathbb N}} \\\mathbf{2.}\;F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}\,dt =\int_{-\infty}^1 e^{2(t-1)}\;e^{-j\omega t}\,dt+\int_{1}^\infty e^{-2(t-1)}\;e^{-j\omega t}\,dt \\= e^{-2}\int_{-\infty}^1 e^{(2-j\omega)t} \,dt+e^2\int_{1}^\infty e^{-(2+j\omega)t} \,dt =e^{-2}\left. \left[ {1\over 2-j\omega}e^{(2-j\omega)t}\right] \right|_{-\infty}^1+ e^{2}\left. \left[ {1\over -2-j\omega}e^{-(2+j\omega)t} \right] \right|_{1}^\infty \\={1\over 2-j\omega}e^{-j\omega}-{1\over -2-j\omega}e^{-j\omega} =e^{-j\omega}\left({1\over 2-j\omega}+{1\over 2+j\omega}\right) =\bbox[red,2pt]{e^{-j\omega}\cdot {4\over 4+\omega^2}}
 

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解題僅供參考

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