國立 臺北科技 大學 112學 年度碩 士班招 生考試
系所組別 :1120機械工程系機電整合碩士班乙組
第一節 工程數學 試題
解答:1.令y=xm⇒y″=m(m−1)xm−2⇒4x2y″+17y=4m(m−1)xm+17xm=(4m2−4m+17)xm=0⇒4m2−4m+17=0⇒m=12±2i⇒y=c1x1/2+2i+c2x1/2−2i=c1√x⋅x2i+c2√x⋅x−2i=c1√xe2ilnx+c2√xe−2ilnx⇒y=√x(Acos(2lnx)+Bsin(2lnx))2.先求齊次解,y″+3y′+2y=0⇒λ2+3λ+2=0⇒λ=−2,−1⇒yh=c1e−2x+c2e−x令yp=ax2+bx+c⇒y′p=2ax+b⇒y″p=2a⇒y″+3y′+2y=2ax2+(6a+2b)x+2a+3b+2c=2x2⇒{2a=26a+2b=02a+3b+2c=0⇒{a=1b=−3c=7/2⇒yp=x2−3x+72⇒y=yh+yp⇒y=c1e−2x+c2e−x+x2−3x+72
解答:1.L{tcos(3t)}=−ddsL{cos(3t)}=−dds(ss2+32)=−1s2+32+2s2(s2+32)2=s2−32(s2+32)22.L{y″}+3L{y′}+2L{y}=2L{u(t−1)}⇒s2Y(s)−sy(0)−y′(0)+3(sY(s)−y(0))+2Y(s)=2⋅e−ss⇒Y(s)=2e−s(s2+3s+2)s⇒y(t)=L−1(2e−s(s2+3s+2)s)=L−1(e−s(−2s+1+1s+2+1s))=u(t−1)(−2e−(t−1)+e−2(t−1)+1)⇒y=u(t−1)(−2e−(t−1)+e−2(t−1)+1)
解答:1.A=[−4−635]⇒det(A−λI)=(λ+1)(λ−2)=0⇒λ=−1,2λ1=−1⇒(A−λ1I)x=0⇒[−3−636][x1x2]=0⇒x1=−2x2,取v1=[−21]λ2=2⇒(A−λ2I)x=0⇒[−6−633][x1x2]=0⇒x1=−x2,取v2=[−11]因此特徵值為−1,2,相對應的特徵向量為[−21],[−11]2.A=PDP−1=[−2−111][−1002][−2−111]−1=[−2−111][−1002][−1−112]3.A30=(PDP−1)30=PD30P−1=[−2−111][100230][−1−112]=[2−2302−231−1+230−1+231]
解答:1.f(t)={−1,−π<t<01,0<t<π⇒f(t)為奇函數⇒an=0,n=0,1,2,...bn=1π∫π−πf(x)sin(nx)dx=1π∫0−π−sin(nx)dx+1π∫π0sin(nx)dx=1π([1ncos(nx)]|0−π+[−1ncos(nx)]|π0)=2nπ(1−(−1)n)={4/nπ,n是奇數0,n是偶數⇒{an=0,n=0,1,2,…bn={4/nπ,n是偶數0,n是奇數,n∈N2.F(ω)=∫∞−∞f(t)e−jωtdt=∫1−∞e2(t−1)e−jωtdt+∫∞1e−2(t−1)e−jωtdt=e−2∫1−∞e(2−jω)tdt+e2∫∞1e−(2+jω)tdt=e−2[12−jωe(2−jω)t]|1−∞+e2[1−2−jωe−(2+jω)t]|∞1=12−jωe−jω−1−2−jωe−jω=e−jω(12−jω+12+jω)=e−jω⋅44+ω2
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解題僅供參考
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