桃園市立陽明高中 113 學年度教師甄選數學科筆試測驗題目卷
一、填充題: (12 題,每題 5 分,共 60 分)
解答:{L1:3x−4y=6L2:11x+2y=22⇒A=L1∩L2=(2,0)⇒↔AD:y=2x−4L3⊥↔AD⇒L3斜率=−12⇒L3:y=−12(x+2)−8⇒{B=L2∩L3=(4,−11)C=L2∩L3=(−6,−6)⇒{¯BC=5√5¯AD=4√5⇒△ABC=12⋅5√5⋅4√5=50解答:n∑k=1k4=130n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)⇒n5係數=15limn→∞80nn∑k=1(5k−2n)4=limn→∞50000n5n∑k=1(k−25)4=50000×15=10000
解答:數列中沒有23,因此 23=兩個數的平均,此兩數有 (6,40),(10,36),(21,25)符合條件的情形:{A,6,40,B⇒{A=3B=42⇒只有1種A,10,36,B⇒{A=3,6,7B=40,42⇒有3×2=6種A,21,25,B⇒{A=3,6,7,10,11,14B=33,36,40,42⇒有6×4=24種因此共有1+6+24−31種,機率為31C124=31495
解答:3B3C的排列數=6!3!3!=20,詳如下表編號字串1BCBCBC2CBCBCB3BCCBCB4CBCBBC5BCBCCB6CBBCBC7BCCBBC8CCBBCB9BCBBCC10CCBCBB11BBCCBC12CBBCCB13BBCBCC14CBCCBB15CBBBCC16CCBBBC17BBCCCB18BCCCBB19CCCBBB20BBBCCC⇒{1−2:沒有同字相鄰,有7空隔插入4個A,2C74=703−6:有1個同字相鄰,剩下6空隔插入3個A,4C63=807−14:有2個同字相鄰,剩下5空隔插入2個A,8C52=8015−18:有3個同字相鄰,剩下4空隔插入1個A,4C41=1619−20:有4個同字相鄰,4個A剛好用完,2因此同字不相鄰共有70+80+80+16+2=248
解答:529=232⇒2217+2417=(23−1)17+(23+1)17=17∑k=0(C17k⋅23k(−1)17−k+C17k⋅23k)=29∑k=1C172k−1232k−1≡2C171⋅23 mod 529≡253 mod 529
解答:529=232⇒2217+2417=(23−1)17+(23+1)17=17∑k=0(C17k⋅23k(−1)17−k+C17k⋅23k)=29∑k=1C172k−1232k−1≡2C171⋅23 mod 529≡253 mod 529
解答:{A(1,−4,4)B(3,−2,2)C(4,2,−2)⇒{→AB=(2,2,−2)→AC=(3,6,−6)⇒(1,b,c)∥(3,6,−6)⇒{b=2c=−2⇒E:x+2y−2z+d=0又{↔AB:x−11=y+41=z−4−1⇒P(t+1,t−4,−t+4)↔AC:x−11=y+42=z−4−2⇒Q(s+1,2s−4,−2s+4),s,t∈R{P在E上Q在E上⇒{d=15−5td=15−9s⇒5t=9s⇒s=59t{△ABC面積=|→AB×→AC|=|(0,6,6)|=6√2△APQ面積=|→AP×→AQ|=(0,st,st)=st√2=6√2=30⋅st√2⇒st=15⇒59t2=15⇒t=35(若t=−35⇒P∉¯AB⇒不合),⇒P(85,−175,175)∈E⇒85−345−345+d=0⇒d=12
解答:x2+(m+1)x−3(m+1)=0⇒判別式D=(m+1)2+12(m+1)=(m+1)(m+13)由於係數為整數且有整數根,因此D≥0且D為一完全平方數⇒{D=0D=4×16=(−4)×(−16)⇒{m=−1,−3m=3,−17
解答:
解答:T=[P(A→A)P(B→A)P(C→A)P(D→A)P(E→A)P(A→B)P(B→B)P(C→B)P(D→B)P(E→B)P(A→C)P(B→C)P(C→C)P(D→C)P(E→C)P(A→D)P(B→D)P(C→D)P(D→D)P(E→D)P(A→E)P(B→E)P(C→E)P(D→E)P(E→E)]=[01/41/41/401/301/41/41/31/31/401/41/31/31/41/401/301/41/41/40]Tx=x⇒[01/41/41/401/301/41/41/31/31/401/41/31/31/41/401/301/41/41/40][ABCDE]=[ABCDE]⇒{14(B+C+D)=A14(B+C+D)=E且A+B+C+D+E=1⇒32(B+C+D)=1⇒B+C+D=23⇒A=14⋅23=16拋物線Γ:y=2x−x2=x(2−x)⇒Γ與x軸交於O(0,0),A(2,0)⇒Γ與x軸所圍面積=∫20(2x−x2)dx=43Γ與直線L:y=mx交於P(2−m,2m−m2)⇒Γ與L所圍面積=∫2−m0(2x−x2−mx)dx=[x2−13x3−m2x2]|2−m0=(2−m)2(13−16m)=16(2−m)3=23⇒m=2−3√4
解答:
假設圓A、圓B、圓C、圓D的圓心分別為CA,CB,CC,CD,並假設CC與CD的中點為P圓C的半徑為r⇒{¯CBCC=r+2¯CCP=r⇒¯CBP=√(r+2)2−r2=√4r+4⇒¯CAP=√4r+4−1又¯CACC=3−r⇒(3−r)2=(√4r+4−1)2+r2⇒√4r+4=5r−2⇒r(25r−24)=0⇒r=2425
解答:學校提供
解答:x2+(m+1)x−3(m+1)=0⇒判別式D=(m+1)2+12(m+1)=(m+1)(m+13)由於係數為整數且有整數根,因此D≥0且D為一完全平方數⇒{D=0D=4×16=(−4)×(−16)⇒{m=−1,−3m=3,−17
解答:{P在單位圓上¯OP與x軸正向夾角θ⇒P(cosθ,sinθ)⇒{P旋轉3θ為Q1(cos4θ,sin4θ)P對y=x鏡射得Q2=(sinθ,cosθ)⇒Q=Q1=Q2⇒{sinθ=cos4θcosθ=sin4θ⇒cos4θcosθ−sinθsin4θ=0⇒cos5θ=0⇒θ=π10,3π10,5π10,7π10,9π10,共5個
解答:
解答:T=[P(A→A)P(B→A)P(C→A)P(D→A)P(E→A)P(A→B)P(B→B)P(C→B)P(D→B)P(E→B)P(A→C)P(B→C)P(C→C)P(D→C)P(E→C)P(A→D)P(B→D)P(C→D)P(D→D)P(E→D)P(A→E)P(B→E)P(C→E)P(D→E)P(E→E)]=[01/41/41/401/301/41/41/31/31/401/41/31/31/41/401/301/41/41/40]Tx=x⇒[01/41/41/401/301/41/41/31/31/401/41/31/31/41/401/301/41/41/40][ABCDE]=[ABCDE]⇒{14(B+C+D)=A14(B+C+D)=E且A+B+C+D+E=1⇒32(B+C+D)=1⇒B+C+D=23⇒A=14⋅23=16拋物線Γ:y=2x−x2=x(2−x)⇒Γ與x軸交於O(0,0),A(2,0)⇒Γ與x軸所圍面積=∫20(2x−x2)dx=43Γ與直線L:y=mx交於P(2−m,2m−m2)⇒Γ與L所圍面積=∫2−m0(2x−x2−mx)dx=[x2−13x3−m2x2]|2−m0=(2−m)2(13−16m)=16(2−m)3=23⇒m=2−3√4
解答:
解答:學校提供
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