113 年臺北市立陽明高級中學 數學科 第 1 次教師甄選
解答:計算每一個括號內的分數,1,12,13,…,199,1100的數量,剛好1n出現n2次總和=100∑n=1(n2⋅1n)=100∑n=1n=100⋅1012=5050解答:
解答:a+b+c+d+e+f+8+11+12+1710=a+b+c+d+e+f6⇒a+b+c+d+e+f=72a2+b2+c2+d2+e2+f2+82+112+122+17210=a2+b2+c2+d2+e2+f26⇒a2+b2+c2+d2+e2+f2=927⇒變異數=9276−(726)2=212
解答:考慮n除以2,22,23,24商數為奇數的情形:n是奇數⇒f(n)=n⇒25∑n=1(2n−1)=625n=2k⇒f(n)=1⇒5∑k=1f(2k)=5n=2k(k是奇數)⇒f(n)=k⇒f(6)+f(10)+(14)+f(18)+f(22)+f(26)+f(30)+f(34)+f(38)+f(42)+f(46)+f(50)=12∑n=1(2n+1)=168n=22k(k是奇數)⇒f(n)=k⇒f(12)+f(20)+f(28)+f(36)+f(44)=3+5+7+9+11=35n=23k(k是奇數)⇒f(n)=k⇒f(24)+f(40)=3+5=8n=24k(k是奇數)⇒f(n)=k⇒f(48)=3總和=625+5+168+35+8+3=844
解答:log2x−5(x3−7x2+11x+4)=2⇒(2x−5)2=x3−7x2+11x+4⇒x3−11x2+31x−21=0⇒(x−1)(x−3)(x−7)=0⇒{x=1x=3x=7⇒底數2x−5={−3<0不合1不合9⇒x=7
解答:{f(x,y)=18x+10y2g(x,y)=2x2+5y2−7x⇒{fx=λgxfy=λgyg=0⇒{18=λ(4x−7)⋯(1)20y=λ(10y)⋯(2)(2)⇒{λ=2⇒x=4⇒y無實數解y=0⇒2x2−7x=0⇒x=0,7/2⇒{f(0,0)=0f(7/2,0)=63⇒最大值63
解答:Case I 甲抽中紅→乙抽中紅機率=415×314=235Case II 甲抽中紅→乙抽中白→乙抽中紅機率=415×114×313=2455Case III 甲抽中白→甲抽中紅→乙抽中紅機率=115×414×313=2455機率總和=235+2455+2455=691
解答:
解答:
9×7+8×6=63+48=111
解答:假設10x3−39x2+29x−6=0的三根為α,β,γ⇒{α+β+γ=39/10αβ+βγ+γα=29/10αβγ=6/10⇒(α+2)(β+2)(γ+2)=αβγ+2(αβ+βγ+γα)+4(α+β+γ)+8=610+2⋅2910+4⋅3910+8=30
解答:
解答:假設10x3−39x2+29x−6=0的三根為α,β,γ⇒{α+β+γ=39/10αβ+βγ+γα=29/10αβγ=6/10⇒(α+2)(β+2)(γ+2)=αβγ+2(αβ+βγ+γα)+4(α+β+γ)+8=610+2⋅2910+4⋅3910+8=30
解答:
假設正八面體稜長為4,各頂點坐標{A(−2,−2,0)B(2,−2,0)C(2,2,0)D(−2,2,0)P(0,0,2√2)Q(0,0,−2√2)⇒六面體頂點{E=(A+B+P)/3=(0,−4/3,2√2/3)F=(A+B+Q)/3=(0,−4/3,−2√2/3)⇒¯EF=4√23⇒六面體體積八面體體積=(4√23)3√2343=29
解答:
假設三角形三邊長為x,y,ℓ−x−y,則{0≤x0≤y0≤ℓ−x−y⇒{0≤x0≤y0≤x+y≤ℓ{兩邊之和大於第三邊兩邊之差小於第三邊⇒{x+y≥ℓ/20≤x≤ℓ/20≤y≤ℓ/2構成三角形條件的機率=△OAB△CDE=ℓ2/2ℓ2/8=14
解答:{|b−c|cos(A/2)=5(b+c)sin(A/2)=10⇒(b−c)2cos2(A/2)+(b+c)2sin2(A/2)=125⇒(b2+c2)cos2(A/2)+(b2+c2)sin2(A/2)−2bc(cos2(A/2)−sin2(A/2))=125⇒b2+c2−2bccosA=a2=125⇒a=5√2
解答:本題送分
解答:A=[−6−123−11−7−12]⇒[A∣I]=[−6−121003−11010−7−12001](−1/6)R1→R1→[116−13−16003−11010−7−12001]R2−3R1→R2,R3+7R1→R3→[116−13−16000−3221210016−13−7601](−2/3)R2→R2→[116−13−160001−43−13−230016−13−7601]R1−(1/6)R2→R1,R3−(1/6)R2→R3→[10−19−1919001−43−13−23000−19−109191]−9R3→R3→[10−19−1919001−43−13−23000110−1−9]R1+(1/9)R3→R1,R2+(4/3)R3→R2→[10010−101013−2−1200110−1−9]⇒A−1=[10−113−2−1210−1−9]
解答:4!×4!=576
解答:cos(cos−1x)=cos(cos−112+cos−117)⇒x=12⋅17−sin(cos−112)sin(cos−117)⇒x=114−√32⋅4√37=−1114
解答:y=1+x1−x=21−x−1⇒y′=2(1−x)2f(y)=x⇒f′(y)y′=1⇒f′(y)=1y′=(1−x)22y=3⇒21−x−1=3⇒x=12⇒f′(y=3)=(1−(1/2))22=18
解答:f(x)=∫x1t(t2−4)dt⇒f′(x)=x(x2−4)⇒f″(x)=3x2−4f′(x)=0⇒x=0,±2⇒{f″(0)=−4<0f″(±2)=8>0⇒x=0時有極大值f(0)=∫01t(t2−4)dt=74⇒(a,b)=(0,74)
解答:學校提供
解答:{|b−c|cos(A/2)=5(b+c)sin(A/2)=10⇒(b−c)2cos2(A/2)+(b+c)2sin2(A/2)=125⇒(b2+c2)cos2(A/2)+(b2+c2)sin2(A/2)−2bc(cos2(A/2)−sin2(A/2))=125⇒b2+c2−2bccosA=a2=125⇒a=5√2
解答:本題送分
解答:A=[−6−123−11−7−12]⇒[A∣I]=[−6−121003−11010−7−12001](−1/6)R1→R1→[116−13−16003−11010−7−12001]R2−3R1→R2,R3+7R1→R3→[116−13−16000−3221210016−13−7601](−2/3)R2→R2→[116−13−160001−43−13−230016−13−7601]R1−(1/6)R2→R1,R3−(1/6)R2→R3→[10−19−1919001−43−13−23000−19−109191]−9R3→R3→[10−19−1919001−43−13−23000110−1−9]R1+(1/9)R3→R1,R2+(4/3)R3→R2→[10010−101013−2−1200110−1−9]⇒A−1=[10−113−2−1210−1−9]
解答:4!×4!=576
解答:cos(cos−1x)=cos(cos−112+cos−117)⇒x=12⋅17−sin(cos−112)sin(cos−117)⇒x=114−√32⋅4√37=−1114
解答:y=1+x1−x=21−x−1⇒y′=2(1−x)2f(y)=x⇒f′(y)y′=1⇒f′(y)=1y′=(1−x)22y=3⇒21−x−1=3⇒x=12⇒f′(y=3)=(1−(1/2))22=18
解答:f(x)=∫x1t(t2−4)dt⇒f′(x)=x(x2−4)⇒f″(x)=3x2−4f′(x)=0⇒x=0,±2⇒{f″(0)=−4<0f″(±2)=8>0⇒x=0時有極大值f(0)=∫01t(t2−4)dt=74⇒(a,b)=(0,74)
解答:學校提供
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