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2024年5月28日 星期二

113年高雄市立高中聯合教甄-數學詳解

高雄市113學年度市立高級中等學校聯合教師甄選

一、 計算證明題 (1 至 7 題每題 4 分, 8 至 16 題每題 8 分,共 100 分
請寫下完整計算過程,否則不予計分。

解答:Γ:y24x2=1P(n,1+4n2)Γdn=n|2n1+4n2|5limn(ndn)=|limn2n1+4n25/n|=15|limn11+14n212n2|=15|limn(11+14n2)(12n2)|=15|limn14n31+14n21n3|=15|(14)|=145
解答:β=c+di,,β2+1=cdi(c+di)2+1=c2d2+1+2cdi=cdi{c2d2+1=c2cd=d{c=1/2d=7/212±7i2,x2+x+2=03x3+ax2+bx2=(x2+x+2)(3x1)=3x3+2x2+5x2(a,b)=(2,5)
解答:z=3xy{f(x,y)=x+y2(3xy)=3x+3y6g(x,y)=x2+y2+(3xy)29{fx=λgxfy=λgyg=0{3=λ(4x+2y6)3=λ(2x+4y6)2x+y=x+2yx=yg(x,x)=02x2+(32x)29=06x212x=06x(x2)=0{x=0y=0z=3x+y2z=6x=2y=2z=1x+y2z=6(M,m)=(6,6)
解答:(1+1x)x+1=(x+1x)x+1=((xx+1)1)x+1=((11x+1)1)x+1=(1+1(x+1))(x+1)=(1+12024)2024(x+1)=2024x=2025
解答:{OA=(5,4)OB=(6,9){C(5s,4s)D(6t,9t)4s=9ts=94tC(454t,9t)OCD=OAB454t9t6t9t=54696214t2=69t2=49t=23{C(152,6)D(4,6)¯CD=4+152=232
解答:{L1:x+my=0L2:m(x1)+3=y{A(0,0)B(1,3)L1L2¯PA¯PB¯PA=¯PB¯PA=a2a2=¯AB2=10¯PA¯PB=a2=5
解答:T=[cos60sin60sin60cos60]=[1/23/23/21/2][xy]=T[xy][xy]=T1[xy]=[cos60sin60sin60cos60][xy]=[12(x+3y)12(3x+y)]x2+2y2=14(x+3y)2+24(3x+y)2=17x223xy+5y2=4Γ2:7x223xy+5y2=4
解答:{L1:(t,t,3t),tRL2:(2+s,12s,s),sR{L1u=(1,1,3)L2v=(1,2,1)P(t,t,3t)L1L2A(2+s,12s,s)PA=(2+st,12s+t,s+3t)PAv=0s=t23PA=(43,t+13,2t+23)|PA|=5t2+2t+73==33|PA|2=33(5t2+2t+73)
解答:{a=(2,2,1)b=(1,3,2)c=(2,3,1){ab=6bc=9ca=11|a|2=9|b|2=14|c|2=14|asbtc|2=(asbtc)(asbtc)=f(s,t)=9+14s2+14t212s+18st22t{fs=28s+18t12=0ft=28t+18s22=0{14s+9t=69s+14t=11(s,t)=(323,2023)
解答:
B1A1O=θB2A2O=2θ{¯OB2=26sin2θ¯OA2=26cos2θB2A2O=1226sin2θ26cos2θ=120sin4θ=120169cos4θ=±119169sin2θ=1cos4θ2=513,1213B1A1O=1226sinθ26cosθ=169sin2θ={169513=651691213=156B1A1O=65,156
解答:P=y+z(x+y+z)2024+(xyz)2024=(x+P)2024+(xP)2024=2024n=0(C2024nPnx2024n+C2024n(P)nx2024n)=1012k=0C20242kP2kx20242kP2k=(y+z)2k2k+11012k=0C20242kP2kx20242k1+3+5++2025=10132=1026169
解答:{sina+sinb=2/2(1)cosa+cosb=6/2(2)(1)(2)=sina+sinbcosa+cosb=2sina+b2cosab22cosa+b2cosab2=13tana+b2=13tan(a+b)=2tana+b21tan2a+b2=3sin(a+b)=32:{z1=cosa+isinaz2=cosb+isinbz=z1+z2=(cosa+cosb)+i(sina+sinb)=62+i22=2(32+i12)=2(cos30+isin30)a+b2=30a+b=60sin(a+b)=32:
解答:
{¯AB=2¯BC=1¯AC=3{A=30B=60C=90,¯EF=¯DE=¯DF=aθ+FED+DEB=180=BDE+B+DEBθ+60+DEB=BDE+60+DEBBDE=θ{BDE:asin60=¯BEsinθFCE:¯CE=asinθ¯CE+¯BE=asinθ+23asinθ=1a=1cosθ+23sinθ=173(37cosθ+27sinθ)=173sin(θ+α)θ+α=π2,a,sinθ=277
解答:anan=a1+(n1)log2+log(1+1a1)+log(1+1a2)++log(1+1an)=log2+log(1+1a1)+log(1+1a1+1)++log(1+1a1+(n1))=log2a1+1a1a1+2a1+1a1+na1+(n1)=log2(1+na1)=lognn=212a1a1=3,n=6S6=3+4+5+6+7+8=33
解答:

z=x+yiArg(z+3)=34π(x+3,y)=k(cos34π+isin34π)=k(22+i22)y=(x+3)LP(z)L1|z3i|+|z+6|,|z3i|+|z+6||z3i|+|z+6|=¯AP+¯BP,{A(0,3)B(6,0)¯AP+¯BP=¯AB=351|z3i|+|z+6|=135=515
解答:{S0:3S1:31S2:32{P(S0S0)=2/7P(S1S0)=2/7P(S2S0)=3/7P(S0S1)=3/7P(S1S1)=2/7P(S2S1)=2/7P(S0S2)=2/7P(S1S2)=3/7P(S2S2)=2/7A=17[223322232]B=[223322232]=[1ωω21ω2ω111][7000ω2000ω][1/31/31/3ω2/3ω/31/3ω/3ω2/31/3]Bn=13[1ωω21ω2ω111][7n000ω2n000ωn][111ω2ω1ωω21]=13[7n+ω(2n)+ω(n)7n+ω(n+1)+ω(2n+2)7n+ω(n+2)+ω(2n+1)7n+ω(2n+1)+ω(n+2)7n+ω(2n)+ω(n)7n+ω(2n+2)+ω(n+1)7n+ω(2n+2)+ω(n+1)7n+ω(n+2)+ω(2n+1)7n+ω(2n)+ωn]An=17nBnAn[100]=[αβγ]β=17n13(7n+ω2n+1+ωn+2)Pn=13(1+ω2n+17n+ωn+27n),ω=12+32i
======================== END =====================
主辦單位未公告答案,解題僅供參考


================== END =======================
解題僅供參考,歷年試題及詳解

14 則留言:

  1. 先點出已經有錯誤的部分(還未全部做過)
    第1題,修正d_n,d_n=√1+4n^2-2n/√5(點到直線求距離),故答案應為1/4√5
    第2題,因兩虛根分別為:(−1/2)±(√7i/2),這兩根為x^2+x+2=0的解,故(a,b)=(2,5)

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    1. 謝謝!,已修訂,學校沒公告答案,但有人急著看,只能先這樣

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  2. 第十題 可能少考慮cos4倍角是負的
    第十六題 答案誤植,與倒數第二行數值不同

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    1. 第十題的cos4θ 也許是負的,但不影響結果,第十六題筆誤已修訂,謝謝!

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    2. 啊啊版主你講錯了,這題答案應該有兩個。
      如果cos4θ 是負的,後續利用半角公式算出sin2θ=12/13,會得到另一個答案156。

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    3. 第10題應該有兩個答案156跟65,156出現在cos4倍角為負的情形

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  3. 想請問一下,第16題第2列的算式是怎麼出現的呢?

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  4. 第三題 (x^2+y^2)(1+1)>=(x+y)^2,然後全部代換z的不等式可求出z的範圍

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  5. 請問12題不用考慮sin(a+b)為負的可能嗎

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    1. 可以用sin(a+b)=2(tan((a+b)/2))/1+(tan((a+b)/2))^2,會發現只有一個解,這題出自於96年中山大學雙週一題

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    2. 感謝提供的資料, 中山大學【雙週一題】提供了三種解法,第二種解法就沒有sin(a+b) 為負的情形, 我再把它加到【另解】供大家參考!

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