高雄市113學年度市立高級中等學校聯合教師甄選
一、 計算證明題 (1 至 7 題每題 4 分, 8 至 16 題每題 8 分,共 100 分
請寫下完整計算過程,否則不予計分。
解答:假設β=c+di,由於兩虛根成共軛複數,因此β2+1=c−di⇒(c+di)2+1=c2−d2+1+2cdi=c−di⇒{c2−d2+1=c2cd=−d⇒{c=−1/2d=√7/2⇒兩虛根為−12±√7i2,同時也是x2+x+2=0的兩根⇒3x3+ax2+bx−2=(x2+x+2)(3x−1)=3x3+2x2+5x−2⇒(a,b)=(2,5)
解答:z=3−x−y⇒{f(x,y)=x+y−2(3−x−y)=3x+3y−6g(x,y)=x2+y2+(3−x−y)2−9⇒{fx=λgxfy=λgyg=0⇒{3=λ(4x+2y−6)3=λ(2x+4y−6)⇒2x+y=x+2y⇒x=y⇒g(x,x)=0⇒2x2+(3−2x)2−9=0⇒6x2−12x=0⇒6x(x−2)=0⇒{x=0⇒y=0⇒z=3⇒x+y−2z=−6x=2⇒y=2⇒z=−1⇒x+y−2z=6⇒(M,m)=(6,−6)
解答:(1+1x)x+1=(x+1x)x+1=((xx+1)−1)x+1=((1−1x+1)−1)x+1=(1+1−(x+1))−(x+1)=(1+12024)2024⇒−(x+1)=2024⇒x=−2025
解答:{→OA=(−5,4)→OB=(6,9)⇒{C(−5s,4s)D(6t,9t)⇒4s=9t⇒s=94t⇒C(−454t,9t)⇒△OCD面積=△OAB面積⇒‖−454t9t6t9t‖=‖−5469‖⇒6214t2=69⇒t2=49⇒t=23⇒{C(−152,6)D(4,6)⇒¯CD=4+152=232
解答:{L1:x+my=0L2:m(x−1)+3=y⇒{A(0,0)B(1,3)L1⊥L2⇒¯PA⋅¯PB最大值出現在¯PA=¯PB假設¯PA=a⇒2a2=¯AB2=10⇒¯PA⋅¯PB=a2=5
解答:旋轉矩陣T=[cos60∘−sin60∘sin60∘cos60∘]=[1/2−√3/2√3/21/2][x′y′]=T[xy]⇒[xy]=T−1[x′y′]=[cos60∘sin60∘−sin60∘cos60∘][x′y′]=[12(x′+√3y′)12(−√3x′+y′)]⇒x2+2y2=14(x′+√3y′)2+24(−√3x′+y′)2=1⇒7x′2−2√3x′y′+5y′2=4⇒Γ2:7x2−2√3xy+5y2=4
解答:{L1:(t,−t,−3t),t∈RL2:(2+s,−1−2s,−s),s∈R⇒{L1方向向量→u=(1,−1,−3)L2方向向量→v=(1,−2,−1)假設P(t,−t,−3t)∈L1在L2的投影點為A(2+s,−1−2s,−s)⇒→PA=(2+s−t,−1−2s+t,−s+3t)⇒→PA⋅→v=0⇒s=t−23⇒→PA=(43,−t+13,2t+23)⇒|→PA|=√5t2+2t+73=正△的高⇒△面積=√33|→PA|2=√33(5t2+2t+73)
解答:{→a=(−2,2,1)→b=(1,3,2)→c=(−2,3,1)⇒{→a⋅→b=6→b⋅→c=9→c⋅→a=11|→a|2=9|→b|2=14|→c|2=14⇒|→a−s→b−t→c|2=(→a−s→b−t→c)⋅(→a−s→b−t→c)=f(s,t)=9+14s2+14t2−12s+18st−22t⇒{fs=28s+18t−12=0ft=28t+18s−22=0⇒{14s+9t=69s+14t=11⇒(s,t)=(−323,2023)
解答:
∠B1A1O=θ⇒∠B2A2O=2θ⇒{¯OB2=26sin2θ¯OA2=26cos2θ⇒△B2A2O=12⋅26sin2θ⋅26cos2θ=120⇒sin4θ=120169⇒cos4θ=±119169⇒sin2θ=√1−cos4θ2=513,1213⇒△B1A1O=12⋅26sinθ⋅26cosθ=169sin2θ={169⋅513=65169⋅1213=156⇒△B1A1O=65,156
解答:P=y+z⇒(x+y+z)2024+(x−y−z)2024=(x+P)2024+(x−P)2024=2024∑n=0(C2024nPnx2024−n+C2024n(−P)nx2024−n)=1012∑k=0C20242kP2kx2024−2kP2k=(y+z)2k有2k+1項⇒1012∑k=0C20242kP2kx2024−2k有1+3+5+⋯+2025=10132=1026169
解答:{sina+sinb=√2/2⋯(1)cosa+cosb=√6/2⋯(2)⇒(1)(2)=sina+sinbcosa+cosb=2sina+b2cosa−b22cosa+b2cosa−b2=1√3⇒tana+b2=1√3⇒tan(a+b)=2tana+b21−tan2a+b2=√3⇒sin(a+b)=√32另解:令複數{z1=cosa+isinaz2=cosb+isinb⇒z=z1+z2=(cosa+cosb)+i(sina+sinb)=√62+i√22=√2(√32+i12)=√2(cos30∘+isin30∘)⇒a+b2=30∘⇒a+b=60∘⇒sin(a+b)=√32參考資料:中山大學雙週一題九十六學年度第二學期
解答:
解答:P=y+z⇒(x+y+z)2024+(x−y−z)2024=(x+P)2024+(x−P)2024=2024∑n=0(C2024nPnx2024−n+C2024n(−P)nx2024−n)=1012∑k=0C20242kP2kx2024−2kP2k=(y+z)2k有2k+1項⇒1012∑k=0C20242kP2kx2024−2k有1+3+5+⋯+2025=10132=1026169
解答:{sina+sinb=√2/2⋯(1)cosa+cosb=√6/2⋯(2)⇒(1)(2)=sina+sinbcosa+cosb=2sina+b2cosa−b22cosa+b2cosa−b2=1√3⇒tana+b2=1√3⇒tan(a+b)=2tana+b21−tan2a+b2=√3⇒sin(a+b)=√32另解:令複數{z1=cosa+isinaz2=cosb+isinb⇒z=z1+z2=(cosa+cosb)+i(sina+sinb)=√62+i√22=√2(√32+i12)=√2(cos30∘+isin30∘)⇒a+b2=30∘⇒a+b=60∘⇒sin(a+b)=√32參考資料:中山大學雙週一題九十六學年度第二學期
解答:
{¯AB=2¯BC=1¯AC=√3⇒{∠A=30∘∠B=60∘∠C=90∘,並假設¯EF=¯DE=¯DF=aθ+∠FED+∠DEB=180∘=∠BDE+∠B+∠DEB⇒θ+60∘+∠DEB=∠BDE+60∘+∠DEB⇒∠BDE=θ{△BDE:asin60∘=¯BEsinθ△FCE:¯CE=asinθ⇒¯CE+¯BE=asinθ+2√3asinθ=1⇒a=1cosθ+2√3sinθ=1√73(√37cosθ+2√7sinθ)=1√73sin(θ+α)⇒當θ+α=π2時,a有最小值,此時sinθ=2√77
解答:連續自然數列⟨an⟩⇒an=a1+(n−1)log2+log(1+1a1)+log(1+1a2)+⋯+log(1+1an)=log2+log(1+1a1)+log(1+1a1+1)+⋯+log(1+1a1+(n−1))=log2⋅a1+1a1⋅a1+2a1+1⋯a1+na1+(n−1)=log2(1+na1)=logn⇒⇒n=21−2a1⇒當a1=3時,n=6為最大值⇒S6=3+4+5+6+7+8=33
解答:
解答:連續自然數列⟨an⟩⇒an=a1+(n−1)log2+log(1+1a1)+log(1+1a2)+⋯+log(1+1an)=log2+log(1+1a1)+log(1+1a1+1)+⋯+log(1+1a1+(n−1))=log2⋅a1+1a1⋅a1+2a1+1⋯a1+na1+(n−1)=log2(1+na1)=logn⇒⇒n=21−2a1⇒當a1=3時,n=6為最大值⇒S6=3+4+5+6+7+8=33
解答:
z=x+yi⇒Arg(z+3)=34π⇒(x+3,y)=k(cos34π+isin34π)=k(−√22+i√22)⇒y=−(x+3)為一直線L⇒P(z)∈L欲求1|z−3i|+|z+6|之最大值,相當於求|z−3i|+|z+6|之最小值而|z−3i|+|z+6|=¯AP+¯BP,其中{A(0,3)B(−6,0)⇒¯AP+¯BP=¯AB=3√5為最小值⇒1|z−3i|+|z+6|之最大值=13√5=√515
解答:假設{S0:數字為3的倍數S1:數字除以3餘1S2:數字除以3餘2⇒{P(S0→S0)=2/7P(S1→S0)=2/7P(S2→S0)=3/7P(S0→S1)=3/7P(S1→S1)=2/7P(S2→S1)=2/7P(S0→S2)=2/7P(S1→S2)=3/7P(S2→S2)=2/7⇒轉移矩陣A=17[223322232]B=[223322232]=[1ωω21ω2ω111][7000ω2000ω][1/31/31/3ω2/3ω/31/3ω/3ω2/31/3]⇒Bn=13[1ωω21ω2ω111][7n000ω2n000ωn][111ω2ω1ωω21]=13[7n+ω(2n)+ω(n)7n+ω(n+1)+ω(2n+2)7n+ω(n+2)+ω(2n+1)7n+ω(2n+1)+ω(n+2)7n+ω(2n)+ω(n)7n+ω(2n+2)+ω(n+1)7n+ω(2n+2)+ω(n+1)7n+ω(n+2)+ω(2n+1)7n+ω(2n)+ωn]⇒An=17nBn⇒An[100]=[αβγ]⇒β=17n⋅13(7n+ω2n+1+ωn+2)⇒Pn=13(1+ω2n+17n+ωn+27n),ω=−12+√32i
解答:假設{S0:數字為3的倍數S1:數字除以3餘1S2:數字除以3餘2⇒{P(S0→S0)=2/7P(S1→S0)=2/7P(S2→S0)=3/7P(S0→S1)=3/7P(S1→S1)=2/7P(S2→S1)=2/7P(S0→S2)=2/7P(S1→S2)=3/7P(S2→S2)=2/7⇒轉移矩陣A=17[223322232]B=[223322232]=[1ωω21ω2ω111][7000ω2000ω][1/31/31/3ω2/3ω/31/3ω/3ω2/31/3]⇒Bn=13[1ωω21ω2ω111][7n000ω2n000ωn][111ω2ω1ωω21]=13[7n+ω(2n)+ω(n)7n+ω(n+1)+ω(2n+2)7n+ω(n+2)+ω(2n+1)7n+ω(2n+1)+ω(n+2)7n+ω(2n)+ω(n)7n+ω(2n+2)+ω(n+1)7n+ω(2n+2)+ω(n+1)7n+ω(n+2)+ω(2n+1)7n+ω(2n)+ωn]⇒An=17nBn⇒An[100]=[αβγ]⇒β=17n⋅13(7n+ω2n+1+ωn+2)⇒Pn=13(1+ω2n+17n+ωn+27n),ω=−12+√32i
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主辦單位未公告答案,解題僅供參考
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解題僅供參考,歷年試題及詳解
先點出已經有錯誤的部分(還未全部做過)
回覆刪除第1題,修正d_n,d_n=√1+4n^2-2n/√5(點到直線求距離),故答案應為1/4√5
第2題,因兩虛根分別為:(−1/2)±(√7i/2),這兩根為x^2+x+2=0的解,故(a,b)=(2,5)
謝謝!,已修訂,學校沒公告答案,但有人急著看,只能先這樣
刪除第十題 可能少考慮cos4倍角是負的
回覆刪除第十六題 答案誤植,與倒數第二行數值不同
第十題的cos4θ 也許是負的,但不影響結果,第十六題筆誤已修訂,謝謝!
刪除啊啊版主你講錯了,這題答案應該有兩個。
刪除如果cos4θ 是負的,後續利用半角公式算出sin2θ=12/13,會得到另一個答案156。
第10題應該有兩個答案156跟65,156出現在cos4倍角為負的情形
刪除謝謝,已修訂
刪除想請問一下,第16題第2列的算式是怎麼出現的呢?
回覆刪除用矩陣對角化來求矩陣的n次方
刪除了解了,謝謝老師
刪除第三題 (x^2+y^2)(1+1)>=(x+y)^2,然後全部代換z的不等式可求出z的範圍
回覆刪除請問12題不用考慮sin(a+b)為負的可能嗎
回覆刪除可以用sin(a+b)=2(tan((a+b)/2))/1+(tan((a+b)/2))^2,會發現只有一個解,這題出自於96年中山大學雙週一題
刪除感謝提供的資料, 中山大學【雙週一題】提供了三種解法,第二種解法就沒有sin(a+b) 為負的情形, 我再把它加到【另解】供大家參考!
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