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2024年5月28日 星期二

113年高雄市立高中聯合教甄-數學詳解

高雄市113學年度市立高級中等學校聯合教師甄選

一、 計算證明題 (1 至 7 題每題 4 分, 8 至 16 題每題 8 分,共 100 分
請寫下完整計算過程,否則不予計分。

解答:Γ:y24x2=1P(n,1+4n2)Γdn=n|2n1+4n2|5limn(ndn)=|limn2n1+4n25/n|=15|limn11+14n212n2|=15|limn(11+14n2)(12n2)|=15|limn14n31+14n21n3|=15|(14)|=145
解答:β=c+di,,β2+1=cdi(c+di)2+1=c2d2+1+2cdi=cdi{c2d2+1=c2cd=d{c=1/2d=7/212±7i2,x2+x+2=03x3+ax2+bx2=(x2+x+2)(3x1)=3x3+2x2+5x2(a,b)=(2,5)
解答:z=3xy{f(x,y)=x+y2(3xy)=3x+3y6g(x,y)=x2+y2+(3xy)29{fx=λgxfy=λgyg=0{3=λ(4x+2y6)3=λ(2x+4y6)2x+y=x+2yx=yg(x,x)=02x2+(32x)29=06x212x=06x(x2)=0{x=0y=0z=3x+y2z=6x=2y=2z=1x+y2z=6(M,m)=(6,6)
解答:(1+1x)x+1=(x+1x)x+1=((xx+1)1)x+1=((11x+1)1)x+1=(1+1(x+1))(x+1)=(1+12024)2024(x+1)=2024x=2025
解答:{OA=(5,4)OB=(6,9){C(5s,4s)D(6t,9t)4s=9ts=94tC(454t,9t)OCD=OAB454t9t6t9t=54696214t2=69t2=49t=23{C(152,6)D(4,6)¯CD=4+152=232
解答:{L1:x+my=0L2:m(x1)+3=y{A(0,0)B(1,3)L1L2¯PA¯PB¯PA=¯PB¯PA=a2a2=¯AB2=10¯PA¯PB=a2=5
解答:T=[cos60sin60sin60cos60]=[1/23/23/21/2][xy]=T[xy][xy]=T1[xy]=[cos60sin60sin60cos60][xy]=[12(x+3y)12(3x+y)]x2+2y2=14(x+3y)2+24(3x+y)2=17x223xy+5y2=4Γ2:7x223xy+5y2=4
解答:{L1:(t,t,3t),tRL2:(2+s,12s,s),sR{L1u=(1,1,3)L2v=(1,2,1)P(t,t,3t)L1L2A(2+s,12s,s)PA=(2+st,12s+t,s+3t)PAv=0s=t23PA=(43,t+13,2t+23)|PA|=5t2+2t+73==33|PA|2=33(5t2+2t+73)
解答:{a=(2,2,1)b=(1,3,2)c=(2,3,1){ab=6bc=9ca=11|a|2=9|b|2=14|c|2=14|asbtc|2=(asbtc)(asbtc)=f(s,t)=9+14s2+14t212s+18st22t{fs=28s+18t12=0ft=28t+18s22=0{14s+9t=69s+14t=11(s,t)=(323,2023)
解答:
B1A1O=θB2A2O=2θ{¯OB2=26sin2θ¯OA2=26cos2θB2A2O=1226sin2θ26cos2θ=120sin4θ=120169cos4θ=±119169sin2θ=1cos4θ2=513,1213B1A1O=1226sinθ26cosθ=169sin2θ={169513=651691213=156B1A1O=65,156
解答:P=y+z(x+y+z)2024+(xyz)2024=(x+P)2024+(xP)2024=2024n=0(C2024nPnx2024n+C2024n(P)nx2024n)=1012k=0C20242kP2kx20242kP2k=(y+z)2k2k+11012k=0C20242kP2kx20242k1+3+5++2025=10132=1026169
解答:\cases{\sin a+\sin b=\sqrt 2/2 \cdots(1)\\ \cos a+\cos b=\sqrt 6/2 \cdots(2)} \Rightarrow {(1)\over (2)}={\sin a+\sin b\over \cos a+\cos b} ={2\sin{a+b\over 2} \cos{a-b\over 2} \over 2\cos {a+b\over 2} \cos{a-b\over 2}}={1\over \sqrt 3} \\ \Rightarrow \tan {a+b\over 2}={1\over \sqrt 3} \Rightarrow \tan(a+b)={2\tan{a+b\over 2}\over 1-\tan^2{a+b\over 2}} = \sqrt 3 \Rightarrow \sin(a+b)=\bbox[red, 2pt]{\sqrt 3\over 2} \\ \bbox[cyan,2pt]{另解}:令複數\cases{z_1= \cos a+i \sin a\\ z_2= \cos b+i \sin b} \Rightarrow z=z_1+z_2= (\cos a+\cos b)+ i(\sin a+\sin b) ={\sqrt 6\over 2}+ i{\sqrt 2\over 2} \\ =\sqrt 2\left({\sqrt 3\over 2}+ i{1\over 2}\right) =\sqrt 2(\cos 30^\circ +i\sin 30^\circ) \Rightarrow {a+b\over 2}=30^\circ \Rightarrow a+b=60^\circ \Rightarrow \sin(a+b)=\bbox[red, 2pt] {\sqrt 3\over 2}\\ 參考資料: \href{http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2008s/1ans.pdf}{中山大學雙週一題九十六學年度第二學期}
解答:
\cases{\overline{AB}=2\\\overline{BC}=1\\ \overline{AC}=\sqrt 3} \Rightarrow \cases{\angle A=30^\circ\\ \angle B=60^\circ \\ \angle C=90^\circ} ,並假設\overline{EF}= \overline{DE}= \overline{DF}=a\\ \theta+\angle FED+\angle DEB=180^\circ =  \angle BDE+\angle B+\angle DEB \\\Rightarrow \theta+60^\circ+ \angle DEB=\angle BDE+60^\circ+ \angle DEB \Rightarrow \angle BDE=\theta \\\cases{\triangle BDE: {a\over \sin 60^\circ} ={\overline{BE}\over \sin \theta} \\ \triangle FCE: \overline{CE}= a\sin \theta} \Rightarrow \overline{CE}+\overline{BE}= a\sin \theta+{2\over \sqrt 3}a \sin \theta=1 \\ \Rightarrow a={1\over \cos \theta+{2\over \sqrt 3}\sin \theta} ={1\over \sqrt{7\over 3}(\sqrt{3\over 7}\cos \theta+ {2\over \sqrt 7} \sin \theta)} = {1\over \sqrt{7\over 3} \sin(\theta+ \alpha)} \\ \Rightarrow 當\theta+ \alpha={\pi\over 2}時,a 有最小值,此時\sin \theta =\bbox[red, 2pt]{2\sqrt{7} \over 7}
解答:連續自然數列\langle a_n\rangle  \Rightarrow a_n=a_1+(n-1)\\\log 2+\log(1+{1\over a_1}) +\log(1+{1\over a_2})+\cdots +\log(1+{1\over a_n})\\= \log 2+ \log(1+{1\over a_1}) + \log(1+{1\over a_1+1}) + \cdots +\log(1+{1\over a_1+(n-1)})\\= \log 2\cdot {a_1+1\over a_1}\cdot {a_1+2\over a_1+1}\cdots {a_1+n\over a_1+(n-1)}=\log2(1+{n\over a_1}) =\log n\\ \Rightarrow \\ \Rightarrow n={2\over 1-{2\over  a_1}} \Rightarrow 當a_1=3時,n=6為最大值 \Rightarrow S_6=3+4+5+6+7+8 =\bbox[red, 2pt]{33}
解答:

z=x+yi \Rightarrow \text{Arg}(z+3)={3\over 4}\pi \Rightarrow (x+3, y)=k(\cos{3\over 4}\pi+i\sin {3\over 4}\pi) =k(-{\sqrt 2\over 2}+i{\sqrt 2\over 2})\\ \Rightarrow y=-(x+3) 為一直線L \Rightarrow P(z)\in L\\ 欲求{1\over |z-3i|+|z+6|}之最大值,相當於求|z-3i|+|z+6|之最小值\\ 而|z-3i| + |z +6|= \overline{AP}+ \overline{BP}, 其中\cases{A(0,3)\\ B(-6,0)} \Rightarrow \overline{AP} +\overline{BP} =\overline{AB}=3\sqrt 5為最小值\\ \Rightarrow {1\over |z-3i|+|z+6|}之最大值={1\over 3\sqrt 5}=\bbox[red, 2pt]{\sqrt 5\over 15}
解答:假設\cases{S0:數字為3的倍數\\ S1:數字除以3餘1 \\ S2:數字除以3餘2} \Rightarrow \cases{P(S0\to S0)=2/7\\ P(S1\to S0)=2/7\\ P(S2\to S0) = 3/7 \\P(S0\to S1)=3/7\\ P(S1\to S1)=2/7\\ P(S2\to S1)= 2/7 \\P(S0\to S2)=2/7\\ P(S1\to S2)=3/7\\ P(S2\to S_2)=2/7} \Rightarrow 轉移矩陣A={1\over 7}\begin{bmatrix}2 & 2 &3 \\3 & 2& 2\\ 2& 3& 2 \end{bmatrix} \\  B=\begin{bmatrix}2 & 2 &3 \\3 & 2& 2\\ 2& 3& 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & \omega & \omega^2 \\1 & \omega^2 &\omega\\ 1 & 1& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}7 & 0& 0 \\0 & \omega^2 & 0\\ 0 & 0 & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1/3 & 1/3 & 1/3 \\\omega^2/3 & \omega/3 & 1/3\\ \omega/3 & \omega^2/3& 1/3 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow B^n={1\over 3} \begin{bmatrix}1 & \omega & \omega^2 \\1 & \omega^2 &\omega\\ 1 & 1& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}7^n & 0& 0 \\0 & \omega^{2n} & 0\\ 0 & 0 & \omega^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\\omega^2 & \omega & 1\\ \omega & \omega^2 & 1 \end{bmatrix} \\= {1\over 3} \begin{bmatrix} 7^n+\omega^\left(2n \right)+ \omega^\left(n \right)  &  7^n+ \omega^\left( n+ 1 \right) +\omega^\left(2n+2\right)  &  7^n+ \omega^\left( n+2\right)+\omega^\left(2n+1\right)  \\ 7^n+ \omega^\left(2n +1\right) +\omega^\left(n+ 2\right)  &  7^n+ \omega^\left(2n \right) +\omega^\left(n \right)  &  7^n+ \omega^\left(2n +2\right) +\omega^\left(n+ 1\right)  \\ 7^n+ \omega^\left( 2n+2 \right)+ \omega^\left(n+1\right)  &  7^n+ \omega^\left(n+ 2\right)+\omega^\left(2n+1\right)  &  7^n+\omega^\left( 2n\right)+\omega^n  \end{bmatrix} \\ \Rightarrow A^n={1\over 7^n}B^n \Rightarrow A^n \begin{bmatrix}1 \\0\\ 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \alpha  \\\beta \\\gamma \end{bmatrix} \Rightarrow \beta ={1\over 7^n} \cdot {1\over 3}(7^n+ \omega^{2n+ 1}+\omega^{n+2}) \\ \Rightarrow P_n= \bbox[red, 2pt]{{1\over 3}(1+{\omega^{2n+1}\over 7^n} +{\omega^{n+2}\over 7^n}),\omega=-{1\over 2}+{\sqrt 3\over 2}i}
======================== END =====================
主辦單位未公告答案,解題僅供參考


================== END =======================
解題僅供參考,歷年試題及詳解

14 則留言:

  1. 先點出已經有錯誤的部分(還未全部做過)
    第1題,修正d_n,d_n=√1+4n^2-2n/√5(點到直線求距離),故答案應為1/4√5
    第2題,因兩虛根分別為:(−1/2)±(√7i/2),這兩根為x^2+x+2=0的解,故(a,b)=(2,5)

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    1. 謝謝!,已修訂,學校沒公告答案,但有人急著看,只能先這樣

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  2. 第十題 可能少考慮cos4倍角是負的
    第十六題 答案誤植,與倒數第二行數值不同

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    1. 第十題的cos4θ 也許是負的,但不影響結果,第十六題筆誤已修訂,謝謝!

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    2. 啊啊版主你講錯了,這題答案應該有兩個。
      如果cos4θ 是負的,後續利用半角公式算出sin2θ=12/13,會得到另一個答案156。

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    3. 第10題應該有兩個答案156跟65,156出現在cos4倍角為負的情形

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  3. 想請問一下,第16題第2列的算式是怎麼出現的呢?

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  4. 第三題 (x^2+y^2)(1+1)>=(x+y)^2,然後全部代換z的不等式可求出z的範圍

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  5. 請問12題不用考慮sin(a+b)為負的可能嗎

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    1. 可以用sin(a+b)=2(tan((a+b)/2))/1+(tan((a+b)/2))^2,會發現只有一個解,這題出自於96年中山大學雙週一題

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    2. 感謝提供的資料, 中山大學【雙週一題】提供了三種解法,第二種解法就沒有sin(a+b) 為負的情形, 我再把它加到【另解】供大家參考!

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