110年北科大車輛工程碩士班-工程數學詳解

 國立臺北科技大學110學年度碩士班招生考試

系所組別:車輛工程
科目:工程數學

解答: $$\cases{y_1'=-3y_1+y_2-6e^{2t}\\ y_2'=y_1-3y_2 +2e^{2t}} \Rightarrow \mathbf y'=A\mathbf y+\mathbf b\\ A= \begin{bmatrix} -3 & 1 \\1 & -3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1 & 1 \\1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-4 & 0 \\0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}  \Rightarrow e^{tA} =\begin{bmatrix}-1 & 1 \\1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}e^{-4t} & 0 \\0 & e^{-2t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \\   \text{homogeneous solution for }\mathbf y'=A\mathbf y \Rightarrow   \mathbf y_h =e^{tA} \mathbf y_0 \\ \Rightarrow \mathbf y_h =\begin{bmatrix}-1 & 1 \\1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}e^{-4t} & 0 \\0 & e^{-2t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_1 \\c_2  \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1 & 1 \\1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{-4t} & 0 \\0 & e^{-2t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_3 \\c_4  \end{bmatrix} \\\Rightarrow  \mathbf y_h =\begin{bmatrix}-e^{-4t} & e^{-2t} \\e^{-4t} & e^{-2t}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_3 \\c_4  \end{bmatrix}\\ \text{Apply variation of parameters, }\mathbf y_p = \begin{bmatrix} -e^{-4t} & e^{-2t} \\e^{-4t} & e^{-2t} \end{bmatrix} \int \begin{bmatrix}-e^{-4t} & e^{-2t} \\e^{-4t} & e^{-2t}\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} -6e^{2t} \\2e^{2t} \end{bmatrix}\,dt \\=\begin{bmatrix} -e^{-4t} & e^{-2t} \\e^{-4t} & e^{-2t} \end{bmatrix} \int \begin{bmatrix} \frac{-e^{4t}}{2} & \frac{e^{4t}}{2} \\\frac{e^{2t}} {2} & \frac{e^{2t}}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -6e^{2t} \\2e^{2t} \end{bmatrix}\,dt =\begin{bmatrix} -e^{-4t} & e^{-2t} \\e^{-4t} & e^{-2t} \end{bmatrix} \int \begin{bmatrix}4e^{6t} \\-2e^{4t} \end{bmatrix} \,dt \\= \begin{bmatrix} -e^{-4t} & e^{-2t} \\e^{-4t} & e^{-2t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{2\over 3}e^{6t} \\-{1\over 2}e^{4t} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-{7\over 6}e^{2t}  \\{1\over 6}e^{2t}  \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \mathbf y= \mathbf y_h+ \mathbf y_p \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\mathbf y=\begin{bmatrix}-e^{-4t} & e^{-2t} \\e^{-4t} & e^{-2t}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_3 \\c_4  \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}-{7\over 6}e^{2t}  \\{1\over 6}e^{2t}  \end{bmatrix}}$$

解答: $$y=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \Rightarrow y'= \sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1} \Rightarrow y''=\sum_{n=0}^\infty n(n-1)a_nx^{n-2} \\ y(0)=y'(0)=1 \Rightarrow a_0=a_1=1 \\ \Rightarrow y''+4xy'+2y =\sum_{n=0}^\infty ((4n+2)a_n+ (n+2)(n+1)a_{n+2})x^n =0\\ \Rightarrow a_{n+2}=-{4n+2 \over (n+2)(n+1)}a_n, n=0,1,2,\dots \Rightarrow \cases{a_0=a_1=1\\a_{n+2}=({2\over n+1}-{6\over n+2})a_n ,n=0,1,2,\dots}\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=1+x-x^2-x^3+{5\over 6}x^4+{13\over 20}x^5 +\cdots}$$

解答: $$F(x_1,x_2)=7x_1^2 +6x_1x_2+7x_2^2 =[x_1,x_2] \begin{bmatrix}7 & 3 \\3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix} \equiv \mathbf x^t A \mathbf x \\ A= \begin{bmatrix} 7 & 3 \\3 & 7 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -1/\sqrt 2 & 1/\sqrt 2 \\1/\sqrt 2 & 1/ \sqrt 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}4 & 0 \\0 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1/\sqrt 2 & 1/\sqrt 2 \\1/\sqrt 2 & 1/\sqrt 2 \end{bmatrix} \equiv QDQ^t \\ \Rightarrow F(x_1,x_2)=  \mathbf x^t A \mathbf x = \mathbf x^t QDQ^t \mathbf x =(Q^t\mathbf x)^t D(Q^t\mathbf x) \equiv \mathbf y^t D\mathbf y\\ \Rightarrow \begin{bmatrix}y_1 \\y_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -1/\sqrt 2 & 1/\sqrt 2 \\1/\sqrt 2 & 1/\sqrt 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix} \Rightarrow  \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/\sqrt 2 & 1/\sqrt 2 \\1/\sqrt 2 & 1/\sqrt 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_1 \\y_2 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{x_1=(y_2-y_1)/\sqrt 2 \\ x_2= (y_2+y_1)/ \sqrt 2}} \\ F(y_1,y_2)=[y_1,y_2]\begin{bmatrix}4& 0 \\0 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_1 \\y_2 \end{bmatrix} =4y_1^2+10y_2^2 = 200 \Rightarrow {y_1^2\over 50} +{y_2^2\over 20}=1, \bbox[red, 2pt]{ellipse}$$

解答: $$C_1:(0,0,0)\to (0,1,0) \Rightarrow \cases{x(t)=0\\ y(t)=t\\ z(t)=0},0\le t\le 1 \Rightarrow \cases{dx=0\\ dy=dt\\ dz=0} \\ \Rightarrow \int_{c_1 }x^2ydx+ (x^3+1)dy +9z^2dz = \int_0^1 1dt =1\\ C_2:(0,1,0)\to (1,1,1) \Rightarrow \cases{x(t)=t\\ y(t)=1\\ z(t)=t}, 0\le t\le 1 \Rightarrow \cases{dx=dt\\ dy=0\\ dz=dt}\\ \Rightarrow \int_{c_1 }x^2ydx+ (x^3+1)dy +9z^2dz = \int_0^1 t^2dt +9t^2\,dt ={10\over 3} \\ \Rightarrow \int_{(0,0,0)}^{(1,1,1)} x^2ydx +(x^3+1)dy +9z^2dz = 1+{10\over 3} =\bbox[red, 2pt]{13\over 3}$$

==================== END ======================

解題僅供參考,其他歷年試題及詳解