106年身心障礙學生四技二專甄試-數學(C)-詳解

106學年度身心障礙學生升學大專校院甄試試題

甄試類(群)組別：四技二專組

考試科目(編號)：數學(C)

單選題，共 20 題，每題 5 分

解：
$$\begin{cases}A(1,2)\\ B(-3,5)\\ C(7,10) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow {AB}=(-4,3))\\ \overrightarrow{AC}=(6,8) \end{cases} \Rightarrow \triangle 面積={1\over 2}\sqrt{\lvert \overrightarrow{AB}\rvert^2 \lvert \overrightarrow{AC}\rvert^2 -(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC})^2} \\= {1\over 2}\sqrt{5^2\cdot 10^2-0^2} ={1\over 2}\times 50=25，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$\begin{vmatrix} 4 & 3& 2\\ 241 & 147 &116 \\ -118 & -86 & -55\end{vmatrix} \xrightarrow{2r_3+r_2}\begin{vmatrix} 4 & 3& 2\\ 5 & -25 &6 \\ -118 & -86 & -55\end{vmatrix} \xrightarrow{25r_1+r_3}\begin{vmatrix} 4 & 3& 2\\ 5 & -25 &6 \\ -18 & -11 & -5\end{vmatrix} \\ =500-110-324-900+75+264=-495，故選\bbox[red,2pt]{(以上皆非)}$$

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解： $$(a+bi)(-1+2i)=-a+2ai-bi-2b =(-a-2b)+(2a-b)i =2+3i \Rightarrow \begin{cases} -a-2b=2 \\ 2a-b=3\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=4/5 \\ b=-7/5\end{cases} \Rightarrow a-b= 4/5+7/5=11/5 ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$x<{-1\over 2}或x>1 \Rightarrow (x-1)(x+{1\over 2})>0 \Rightarrow x^2-{1\over 2}x-{1\over 2}>0 \Rightarrow -4x^2+2x+2<0 \\ \Rightarrow \begin{cases} a=-4\\ b=2\end{cases} \Rightarrow a+b=-4+2=-2，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$利用長除法可得:\\2x^4-x^3+ax^2+bx-3=(2x^2+x+(a+5))(x-2)(x+1)+(a+b+7)x+(2a+7)\\ \Rightarrow 餘式為(a+b+7)x+(2a+7)=3x-5 \Rightarrow \begin{cases} a+b+7=3\\ 2a+7=5\end{cases} \Rightarrow a+b=-4，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$f(x)=\cfrac{1}{x^2} \Rightarrow f'(x)=-\cfrac{2}{x^3} \Rightarrow \lim_{h\to 0}{f(-3+h)-f(h)\over 2h} = {1\over 2}\lim_{h\to 0}{f(-3+h)-f(h)\over h}\\ = {1\over 2}f'(-3)=\cfrac{1}{27}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$圓C:x^2+2x+y^2-4y=k \Rightarrow (x+1)^2+(y-2)^2=k+5 \Rightarrow 圓心O(-1,2),半徑r=\sqrt{k+5}\\ 圓C與直線L相切\Rightarrow dist(O,L)=r \Rightarrow \left|{-3+8+10\over \sqrt{3^2+4^2}} \right| ={15\over 5}=3=\sqrt{k+5} \Rightarrow k=4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\log_{12}(x+3)=1-\log_{12}(x+2) =\log_{12}{12\over x+2} \Rightarrow x+3={12\over x+2} \Rightarrow x^2+5x+6=12\\ \Rightarrow (x+6)(x-1)=0 \Rightarrow x=1(-6不合, \because x+3>0)\Rightarrow 3x+1=4，故選\bbox[red,2pt]{( D)}$$

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解：
$$事件A=\{(1,3),(3,1),(2,2),(3,5),(5,3),(4,4),(2,6),(6,2),(6,6)\}共有9種情形\\ \Rightarrow p(A)={9\over 36}={1\over 4}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$|x-2|,0\le x\le 4=\begin{cases}x-2 & 2\le x\le 4\\ 2-x & 0\le x\le 2 \end{cases} \Rightarrow \int_0^4{3|x-2|dx} =3\int_0^2 {2-x\;dx}+ 3\int_2^4{x-2\;dx}\\ =3\left( \left. \left[ 2x-{1\over 2}x^2\right]\right|_0^2 +\left. \left[ {1\over 2}x^2 -2x\right]\right|_2^4\right) = 3(2+2)=12，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f\left( x \right) =ax^{ 3 }+bx^{ 2 }+1\Rightarrow f'\left( x \right) =3ax^{ 2 }+2bx\\ \begin{cases} f\left( 2 \right) =\frac { -1 }{ 3 }  \\ f'(2)=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 8a+4b+1=\frac { -1 }{ 3 }  \\ 12a+4b=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2a+b=\frac { -1 }{ 3 }  \\ 3a+b=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=\frac { 1 }{ 3 }  \\ b=-1 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
$$\begin{cases} a={ 3 }^{ 7 }\times { 5 }^{ 3 } \\ b={ 3 }^{ 4 }\times { 5 }^{ 7 } \end{cases}\Rightarrow a\times b={ 3 }^{ 7+4 }\times { 5 }^{ 3+7 }={ 3 }^{ 11 }\times { 5 }^{ 10 }=3\times { 3 }^{ 10 }\times { 5 }^{ 10 }=3\times { 15 }^{ 10 }，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$f\left( x \right) ={ \left( -x \right)  }^{ 2n }+{ \left( -x \right)  }^{ 2n-1 }+{ \left( -x \right)  }^{ 2n-2 }+{ \left( -x \right)  }+1\Rightarrow f\left( 1 \right) =1-1+1-1+1=1， 故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：
$$y=x^{ 2 }-2x+6=(x-1)^ 2+5\Rightarrow (y-5)=(x-1)^2\Rightarrow 頂點(1,5)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$直線不過第一象限，斜率為負值 \Rightarrow a<0，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$\sin{75^o}\cos{75^o}\csc{30^o} = {1\over 2}\times 2\sin{75^o}\cos{75^o} \times {1\over \sin{30^o} }= {1\over 2}\times \sin{150^o} \times 2 ={1\over 2}\times {1\over 2} \times 2 ={1\over 2}  \\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$\overline{AC}平行Y軸，且\overline{AC}=4 \Rightarrow 中點P=(1,3) \Rightarrow B=(1+2,3) =(3,3), D=(1-2,3)=(-1,3) \\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$千位數不可為0，個位數必須為0或5；\\ 千位數不可為0，個位數為0: 3\times 2\times 1=6個四位數\\ 千位數不可為0，個位數為5: 2\times 2\times 1=4個四位數\\ 因此共有6+4=10個四位數符合要求，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$中心點O(5,4)，O至Y軸相距5、O至X軸相距4，因此a=5,b=4\\ \Rightarrow {(x-5)^2\over 25} +{(y-4)^2 \over 16}=1 \Rightarrow (10,4)在橢圓上，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$10^{1\over 3}\times 10^{-1\over 9}\times 10^{1\over 27}\times 10^{-1\over 81}  =10^{({1\over 3} -{1\over 9}+{1\over 27} -{1\over 81})}  =10^{20\over 81}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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-- end --