(一)M(X,Y)(t1,t2)=exp(2t1+t2+12t1t2+52t21+2t22)⇒{X∼N(μx=2,σ2x=5)Y∼N(μy=1,σ2y=4)ρ=1/4√5X|Y=y∼N(μx+ρσxσy(y−μy),σ2x(1−ρ2))=N(2+14√5⋅√52(y−1),5(1−(14√5)2))=N(2+18(y−1),7916)⇒X|Y=1∼N(2,7916)⇒f(X|Y=1)=1σ√2πe(x−μ)22σ2=1√7916√2πe(x−2)22⋅7916=4√158πe8(x−2)279⇒f(X|Y=1)=4√158πe8(x−2)279,−∞<x<∞(二)Var(X)=Var(E(X|Y))+E(Var(X|Y))⇒Var(E(X|Y))=Var(X)−E(Var(X|Y))=σ2x−E(σ2x(1−ρ2))=σ2x−σ2x(1−ρ2)=σ2xρ2=5×(14√5)2=116(三)X|Y=1∼N(2,7916)⇒P(X>2|Y=1)=P(Z>2−2√7916)=P(Z>0)=12(四)Y為常態分配⇒(Y−12)為常態分配⇒(Y−12)2為chi-square分配,即(Y−12)2∼χ2(1)∼Gamma(α=1/2,β=2)⇒Z=(Y−1)2∼Gamma(α=1/2,β=8)⇒f(z)=1Γ(α)βαzα−1e−zβ=1Γ(1/2)81/2z(1/2−1)e−z8=1√8πz−1/2e−1/8⇒f(z)=1√8πz−1/2e−1/8,z>0
解:
(一)Yi=β1√Xi+εi⇒εi=Yi−β1√Xi⇒ε2i=(Yi−β1√Xi)2⇒SSE=n∑i=1ε2i=n∑i=1(Yi−β1√Xi)2令∂∂β1SSE=0⇒2n∑i=1(Yi−β1√Xi)(−√Xi)=0⇒n∑i=1(Yi√Xi−β1Xi)=0⇒n∑i=1(Yi√Xi)=β1n∑i=1(Xi)⇒^β1=∑ni=1Yi√Xi∑ni=1Xi(二)Var(^β1)=Var(∑ni=1Yi√Xi∑ni=1Xi)=∑ni=1Var(Yi)Xi(∑ni=1Xi)2=σ2∑ni=1Xi(∑ni=1Xi)2=σ2∑ni=1Xi⇒Var(^β1)=σ2∑ni=1Xi(三)XiYi√XiYi√Xi422495315422416104401111∑Xi=34∑Yi=20∑Yi√Xi=64⇒^β1=∑Yi√Xi∑Xi=6434≈1.88⇒XiYi√XiYi√Xiai=Yi−^β1√Xia2i4224−1.763.097695315−0.640.40964224−1.763.097616104402.486.15041111−0.880.7744∑ai=13.53⇒MSE=SSEn−1=∑(Yi−^β1Yi√Xi)25−1=13.53×644≈3.3825{H0:β1=0H1:β1≠0α=0.05⇒拒絕區域R={t∣|t|>t0.025(4)=2.776}檢定統計量t∗=^β1−β1√MSE∑Xi=1.88√3.382534≈5.96∈R⇒拒絕H0(四)Yi=β0+β1√Xi+εi⇒^β1=∑Yi√Xi−(∑√Xi)∑Yi/n∑Xi−(∑√Xi)2/n=64−12×20/534−122/5≈3.08⇒偏誤為1.88−3.08=−1.2
解:
(一)X代表從早上八點到下午五點接種疫苗人數⇒X∼P(λ),其中λ=6(人/時)且t=9⇒f(x)=e−λt(λt)xx!⇒f(0)=e−54(二)S∼Gamma(α=100,β=1/6)⇒Var(S)=αβ2=10036=259
考選部未公布答案,解題僅供參考
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